Lois de Kirchhoff : loi des nœuds, loi des mailles et exemple à deux mailles

8 min de lecture · Équipe bitGateLab

La loi d'Ohm suffit lorsqu'il n'y a qu'un seul chemin pour le courant. Dès qu'apparaissent plusieurs branches et plus d'une source, il vous faut deux règles supplémentaires : les lois de Kirchhoff. L'une porte sur les courants aux nœuds, l'autre sur les tensions le long d'une boucle fermée. Associées à la loi d'Ohm, elles permettent de résoudre n'importe quel circuit résistif. Ici, vous allez voir les deux lois, la convention de signes qui évite la plupart des erreurs et un exemple complet à deux mailles.

Nœuds, branches et mailles

Avant d'appliquer les lois, il est utile de nommer les parties d'un circuit :

Nœud : point où se rejoignent deux éléments ou plus. Tous les fils reliés entre eux sans élément intermédiaire forment un seul et même nœud.
Branche : chemin entre deux nœuds qui contient un élément (ou plusieurs en série). Le même courant circule dans toute une branche.
Boucle : tout parcours fermé qui ne passe pas deux fois par le même nœud.
Maille : boucle qui ne contient aucune autre boucle à l'intérieur, comme l'ouverture d'une fenêtre.

Loi des nœuds (loi de Kirchhoff des courants)

La charge ne s'accumule pas dans un nœud : tout ce qui entre doit ressortir. C'est pourquoi la somme des courants qui entrent dans un nœud est égale à la somme de ceux qui en sortent. Autrement dit, si vous comptez positivement ceux qui entrent et négativement ceux qui sortent, la somme algébrique est nulle :

Σ I_entrants = Σ I_sortants        ou encore        Σ I = 0

Exemple 1. Un courant de 5 mA entre dans un nœud. Par deux branches sortent 2 mA et 1.5 mA. Combien sort par la troisième branche ?

Loi des nœuds : 5 mA = 2 mA + 1.5 mA + I_x.
I_x = 5 − 3.5 = 1.5 mA, sortant du nœud.

Loi des mailles (loi de Kirchhoff des tensions)

Si vous parcourez une boucle fermée et revenez au point de départ, vous retrouvez le même potentiel. C'est pourquoi la somme algébrique des tensions le long de n'importe quelle boucle est nulle : les élévations de tension (dans les sources) sont exactement compensées par les chutes (dans les résistances).

Σ V = 0   le long d'une boucle fermée

Exemple 2. Une pile de 9 V alimente trois résistances en série. Sur deux d'entre elles, vous mesurez 3 V et 4.5 V. Quelle est la chute de tension sur la troisième ?

Loi des mailles : 9 V − 3 V − 4.5 V − V₃ = 0.
V₃ = 1.5 V.

Convention de signes

La plupart des erreurs avec Kirchhoff sont des erreurs de signe, pas de concept. Suivez toujours la même procédure :

Supposez un sens pour chaque courant et dessinez-le par une flèche. Peu importe si vous vous trompez : si le résultat est négatif, le courant réel va dans l'autre sens et sa valeur est correcte.
Marquez la polarité de chaque résistance d'après le courant supposé : le courant entre par l'extrémité + et sort par l'extrémité −. Ainsi, dans une résistance, la chute vaut I · R dans le sens du courant.
Parcourez la boucle dans un sens fixe. En traversant un élément de − vers +, vous ajoutez sa tension (élévation) ; en le traversant de + vers −, vous la soustrayez (chute).

Avec cette convention, le signe d'une source ne dépend que de sa polarité physique, et celui d'une résistance dépend du sens dans lequel vous la parcourez : dans le sens du courant supposé ou à contresens.

Exemple complet : circuit à deux mailles

Observez le circuit de la figure. Il comporte deux sources, V₁ = 12 V et V₂ = 6 V, toutes deux avec la borne positive en haut, et trois résistances : R₁ = 1 kΩ, R₂ = 2 kΩ (la branche centrale, commune aux deux mailles) et R₃ = 1 kΩ.

Deux sources alimentent le nœud A. Les flèches indiquent les sens supposés de I₁, I₂ et I₃.

Exemple 3. Calculez les trois courants de branche et la tension du nœud A par rapport au nœud B.

Sens supposés : I₁ sort de V₁ et va vers A par R₁ ; I₃ sort de V₂ et va vers A par R₃ ; I₂ descend de A vers B par R₂.
Loi des nœuds au nœud A : I₁ + I₃ = I₂.
Loi des mailles dans la maille de gauche (parcours dans le sens horaire à partir de B) : vous montez de 12 V dans V₁, descendez de 1·I₁ dans R₁ et descendez de 2·I₂ dans R₂. En travaillant en kΩ et en mA : 12 − I₁ − 2I₂ = 0.
Loi des mailles dans la maille de droite (parcours dans le sens antihoraire à partir de B) : vous montez de 6 V dans V₂, descendez de 1·I₃ dans R₃ et descendez de 2·I₂ dans R₂ : 6 − I₃ − 2I₂ = 0.
Isolez : I₁ = 12 − 2I₂ et I₃ = 6 − 2I₂.
Remplacez dans la loi des nœuds : (12 − 2I₂) + (6 − 2I₂) = I₂, c'est-à-dire 18 = 5I₂, d'où I₂ = 3.6 mA.
Donc I₁ = 12 − 7.2 = 4.8 mA et I₃ = 6 − 7.2 = −1.2 mA.
Le signe négatif indique que I₃ circule en réalité de A vers V₂ : la source de 12 V est en train de « charger » celle de 6 V.
Tension du nœud A : V_AB = 2 kΩ × 3.6 mA = 7.2 V.

Vérifications. Loi des nœuds : 4.8 + (−1.2) = 3.6 mA. Bilan de puissance : V₁ fournit 12 × 4.8 = 57.6 mW ; V₂ absorbe 6 × 1.2 = 7.2 mW ; les résistances dissipent 4.8² × 1 + 3.6² × 2 + 1.2² × 1 = 23.04 + 25.92 + 1.44 = 50.4 mW. Et 57.6 − 7.2 = 50.4 mW. Tout concorde.

À retenir : dans un circuit à n nœuds, il n'y a que n − 1 équations indépendantes issues de la loi des nœuds, et le nombre d'équations indépendantes issues de la loi des mailles est égal au nombre de mailles. Ici : 2 nœuds donnent 1 équation de nœud, plus 2 mailles, soit 3 équations au total pour 3 inconnues.

Erreurs fréquentes

Changer de sens de parcours au milieu d'une boucle ou mélanger les conventions d'une maille à l'autre.
Choisir le signe de la chute dans une résistance sans regarder le sens supposé du courant.
« Corriger » un courant négatif en changeant son signe dans les équations suivantes. Utilisez-le tel quel ; le signe contient déjà l'information.
Écrire la loi des nœuds à tous les nœuds : l'une des équations est toujours redondante et le système semble avoir une solution alors qu'il n'est pas indépendant.
Oublier qu'une source qui reçoit le courant par sa borne positive absorbe de la puissance au lieu d'en fournir.

Essayez dans le simulateur

L'exemple à deux mailles est idéal pour une vérification par la mesure, surtout pour le courant négatif de la branche de droite. Montez le circuit et comparez chaque lecture aux valeurs calculées.

Placez deux sources CC, l'une de 12 V et l'autre de 6 V, avec la borne positive vers le haut.
Placez R₁ = 1 kΩ, R₂ = 2 kΩ et R₃ = 1 kΩ et reliez-les comme sur la figure.
Lancez l'analyse CC et observez la tension du nœud A ; elle doit indiquer 7.2 V.
Mesurez le courant de chaque branche avec le multimètre. Observez que celui de R₃ circule dans le sens contraire au sens supposé.
Passez V₂ à 9 V et mesurez de nouveau : I₃ est-il toujours négatif ?

Exercices

Dans un nœud entrent des courants de 3 mA et 7 mA, et il en sort 4 mA ainsi qu'un courant inconnu I. Calculez I.

Voir la réponse

3 + 7 = 4 + I, donc I = 6 mA, sortant du nœud.
Une source de 15 V alimente trois résistances en série. La première présente une chute de 4 V et la deuxième de 6 V. Quelle est la chute sur la troisième ?

Voir la réponse

15 − 4 − 6 − V₃ = 0, donc V₃ = 5 V.
Dans le circuit de la figure, remplacez V₂ par un fil (0 V). Calculez I₁, I₂, I₃ et V_AB.

Voir la réponse

Équations : I₁ = 12 − 2I₂, I₃ = 0 − 2I₂ = −2I₂. Loi des nœuds : 12 − 2I₂ − 2I₂ = I₂, d'où I₂ = 2.4 mA. Donc I₁ = 7.2 mA, I₃ = −4.8 mA et V_AB = 2 × 2.4 = 4.8 V. Vérification : 7.2 − 4.8 = 2.4 mA.
Vous résolvez un circuit et obtenez I = −2 mA dans une branche où vous aviez supposé que le courant descendait. Qu'est-ce que cela signifie ?

Voir la réponse

Qu'en réalité 2 mA circulent vers le haut. Le calcul est correct ; seul le sens supposé était inversé.

Révisez les bases dans Loi d'Ohm et puissance et poursuivez avec série, parallèle et diviseurs.