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Leis de Kirchhoff: correntes, tensões e exemplo com duas malhas

Leitura de 8 min · Equipe bitGateLab

A lei de Ohm basta quando há um único caminho para a corrente. Assim que aparecem vários ramos e mais de uma fonte, você precisa de mais duas regras: as leis de Kirchhoff. Uma trata das correntes nos nós e a outra das tensões ao longo de um laço fechado. Juntas, com a lei de Ohm, elas permitem resolver qualquer circuito resistivo. Aqui você vai ver as duas leis, a convenção de sinais que evita a maioria dos erros e um exemplo completo com duas malhas.

Nós, ramos e malhas

Antes de aplicar as leis, convém dar nome às partes de um circuito:

Nó: ponto onde se unem dois ou mais elementos. Todos os fios ligados entre si, sem elementos entre eles, formam um mesmo nó.
Ramo: caminho entre dois nós que contém um elemento (ou vários em série). Por todo o ramo circula a mesma corrente.
Laço: qualquer percurso fechado que não passa duas vezes pelo mesmo nó.
Malha: laço que não contém outros laços em seu interior, como o vão de uma janela.

Lei de Kirchhoff das correntes (LKC)

A carga não se acumula em um nó: tudo o que entra tem de sair. Por isso, a soma das correntes que entram em um nó é igual à soma das que saem. Dito de outra forma, se você contar como positivas as que entram e como negativas as que saem, a soma algébrica é zero:

Σ I_entram = Σ I_saem        ou então        Σ I = 0

Exemplo 1. Em um nó entra uma corrente de 5 mA. Por dois ramos saem 2 mA e 1.5 mA. Quanto sai pelo terceiro ramo?

LKC: 5 mA = 2 mA + 1.5 mA + I_x.
I_x = 5 − 3.5 = 1.5 mA, saindo do nó.

Lei de Kirchhoff das tensões (LKT)

Se você percorrer um laço fechado e voltar ao ponto de partida, retorna ao mesmo potencial. Por isso, a soma algébrica das tensões ao longo de qualquer laço é zero: as elevações de tensão (nas fontes) são compensadas exatamente pelas quedas (nos resistores).

Σ V = 0   ao longo de um laço fechado

Exemplo 2. Uma bateria de 9 V alimenta três resistores em série. Em dois deles você mede 3 V e 4.5 V. Quanto cai no terceiro?

LKT: 9 V − 3 V − 4.5 V − V₃ = 0.
V₃ = 1.5 V.

Convenção de sinais

A maioria dos erros com Kirchhoff é de sinal, não de conceito. Siga sempre o mesmo procedimento:

Suponha um sentido para cada corrente e desenhe-o com uma seta. Não importa se o palpite estiver errado: se o resultado der negativo, a corrente real vai no sentido contrário e o valor absoluto está correto.
Marque a polaridade de cada resistor de acordo com a corrente suposta: a corrente entra pela extremidade + e sai pela −. Assim, em um resistor a queda é I · R no sentido da corrente.
Percorra o laço em um sentido fixo. Ao atravessar um elemento de − para +, você soma a tensão dele (elevação); ao atravessá-lo de + para −, você a subtrai (queda).

Com essa convenção, em uma fonte o sinal depende apenas da polaridade física dela, e em um resistor depende de você percorrê-lo a favor ou contra a corrente suposta.

Exemplo completo: circuito de duas malhas

Observe o circuito da figura. Ele tem duas fontes, V₁ = 12 V e V₂ = 6 V, ambas com o terminal positivo para cima, e três resistores: R₁ = 1 kΩ, R₂ = 2 kΩ (o ramo central, compartilhado pelas duas malhas) e R₃ = 1 kΩ.

Duas fontes alimentam o nó A. As setas indicam os sentidos supostos de I₁, I₂ e I₃.

Exemplo 3. Calcule as três correntes de ramo e a tensão do nó A em relação ao nó B.

Sentidos supostos: I₁ sai de V₁ e vai para A por R₁; I₃ sai de V₂ e vai para A por R₃; I₂ desce de A para B por R₂.
LKC no nó A: I₁ + I₃ = I₂.
LKT na malha esquerda (percurso horário a partir de B): você sobe 12 V em V₁, desce 1·I₁ em R₁ e desce 2·I₂ em R₂. Trabalhando em kΩ e mA: 12 − I₁ − 2I₂ = 0.
LKT na malha direita (percurso anti-horário a partir de B): você sobe 6 V em V₂, desce 1·I₃ em R₃ e desce 2·I₂ em R₂: 6 − I₃ − 2I₂ = 0.
Isole as correntes: I₁ = 12 − 2I₂ e I₃ = 6 − 2I₂.
Substitua na LKC: (12 − 2I₂) + (6 − 2I₂) = I₂, ou seja, 18 = 5I₂, de onde I₂ = 3.6 mA.
Então I₁ = 12 − 7.2 = 4.8 mA e I₃ = 6 − 7.2 = −1.2 mA.
O sinal negativo diz que I₃ na verdade circula de A para V₂: a fonte de 12 V está "carregando" a de 6 V.
Tensão do nó A: V_AB = 2 kΩ × 3.6 mA = 7.2 V.

Verificações. LKC: 4.8 + (−1.2) = 3.6 mA. Balanço de potência: V₁ fornece 12 × 4.8 = 57.6 mW; V₂ absorve 6 × 1.2 = 7.2 mW; os resistores dissipam 4.8² × 1 + 3.6² × 2 + 1.2² × 1 = 23.04 + 25.92 + 1.44 = 50.4 mW. E 57.6 − 7.2 = 50.4 mW. Tudo fecha.

Ponto-chave: em um circuito com n nós há apenas n − 1 equações de LKC independentes, e o número de equações de LKT independentes é igual ao número de malhas. Aqui: 2 nós dão 1 equação de LKC, mais 2 malhas, total de 3 equações para 3 incógnitas.

Erros comuns

Mudar o sentido de percurso no meio de um laço ou misturar convenções entre uma malha e outra.
Adotar o sinal da queda em um resistor sem olhar o sentido suposto da corrente.
"Corrigir" uma corrente negativa trocando o sinal dela nas equações seguintes. Use-a tal como saiu; o sinal já contém a informação.
Escrever a LKC em todos os nós: uma das equações sempre sai repetida, e o sistema parece ter solução, mas não é independente.
Esquecer que a fonte que recebe corrente pelo terminal positivo absorve potência em vez de fornecê-la.

Experimente no simulador

O exemplo de duas malhas é ideal para verificar com medições, principalmente a corrente negativa do ramo direito. Monte o circuito e compare cada leitura com o que foi calculado.

Coloque duas fontes CC, uma de 12 V e outra de 6 V, com o terminal positivo para cima.
Coloque R₁ = 1 kΩ, R₂ = 2 kΩ e R₃ = 1 kΩ e ligue-os como na figura.
Execute a análise CC e observe a tensão do nó A; ela deve marcar 7.2 V.
Meça a corrente de cada ramo com o multímetro. Observe que a de R₃ tem o sentido contrário ao suposto.
Mude V₂ para 9 V e meça de novo: I₃ continua negativa?

Exercícios

Em um nó entram correntes de 3 mA e 7 mA, e saem 4 mA e uma corrente desconhecida I. Calcule I.

Ver resposta

3 + 7 = 4 + I, portanto I = 6 mA, saindo do nó.
Uma fonte de 15 V alimenta três resistores em série. No primeiro caem 4 V e no segundo 6 V. Quanto cai no terceiro?

Ver resposta

15 − 4 − 6 − V₃ = 0, portanto V₃ = 5 V.
No circuito da figura, substitua V₂ por um fio (0 V). Calcule I₁, I₂, I₃ e V_AB.

Ver resposta

Equações: I₁ = 12 − 2I₂, I₃ = 0 − 2I₂ = −2I₂. LKC: 12 − 2I₂ − 2I₂ = I₂, de onde I₂ = 2.4 mA. Então I₁ = 7.2 mA, I₃ = −4.8 mA e V_AB = 2 × 2.4 = 4.8 V. Verificação: 7.2 − 4.8 = 2.4 mA.
Você resolve um circuito e obtém I = −2 mA em um ramo onde supôs que a corrente descia. O que isso significa?

Ver resposta

Que na verdade circulam 2 mA para cima. O cálculo está correto; apenas o sentido suposto era o contrário.

Revise a base em Lei de Ohm e potência e continue com série, paralelo e divisores.