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基尔霍夫定律：电流定律、电压定律与双网孔电路例题
阅读约 8 分钟 · bitGateLab 团队
当电流只有一条通路时，欧姆定律就够用了。一旦出现多条支路和不止一个电源，你还需要另外两条规则：基尔霍夫定律。一条讲的是节点处的电流，另一条讲的是沿闭合回路的电压。它们与欧姆定律结合，可以求解任何电阻电路。本课将介绍这两条定律、能避免大多数错误的符号约定，以及一个完整的双网孔例题。
节点、支路和网孔
应用定律之前，先给电路的各个部分起好名字：
- 节点：两个或更多元件相连接的点。所有直接用导线连在一起、中间没有元件的地方，属于同一个节点。
- 支路：两个节点之间包含一个元件（或几个串联元件）的通路。同一条支路上处处电流相同。
- 回路：任何不重复经过同一节点的闭合路径。
- 网孔：内部不再包含其他回路的回路，就像窗户上的一个窗格。
基尔霍夫电流定律（KCL）
电荷不会在节点上堆积：流入多少，就必须流出多少。因此，流入节点的电流之和等于流出节点的电流之和。换一种写法：如果把流入的电流记为正、流出的记为负，那么它们的代数和为零：
Σ I入 = Σ I出 或 Σ I = 0
例 1：有 5 mA 的电流流入一个节点。其中两条支路分别流出 2 mA 和 1.5 mA。第三条支路流出多少？
- KCL：5 mA = 2 mA + 1.5 mA + Ix。
- Ix = 5 − 3.5 = 1.5 mA，方向为流出节点。
基尔霍夫电压定律（KVL）
沿着一个闭合回路走一圈回到起点，你就回到了同一个电位。因此，沿任一回路的电压代数和为零：电压的升高（在电源上）正好被电压的降落（在电阻上）抵消。
Σ V = 0 （沿任一闭合回路）
例 2：一节 9 V 电池给三个串联的电阻供电。在其中两个电阻上测得 3 V 和 4.5 V。第三个电阻上的压降是多少？
- KVL：9 V − 3 V − 4.5 V − V3 = 0。
- V3 = 1.5 V。
符号约定
用基尔霍夫定律时，大多数错误出在符号上，而不是概念上。请始终按同一套步骤来做：
- 为每个电流假设一个方向，并用箭头画出来。猜错了也没关系：如果结果为负，说明实际电流方向相反，而数值大小是对的。
- 按假设的电流方向标出每个电阻的极性：电流从 + 端流入，从 − 端流出。这样，电阻上沿电流方向的压降就是 I · R。
- 按固定的方向绕行回路。从 − 到 + 穿过一个元件时，加上它的电压（电压升）；从 + 到 − 穿过时，减去它的电压（电压降）。
按照这个约定，电源的符号只取决于它实际的极性，而电阻的符号取决于你是顺着还是逆着假设的电流方向绕行。
完整例题：双网孔电路
看图中的电路。它有两个电源，V1 = 12 V 和 V2 = 6 V，正极都在上方；还有三个电阻：R1 = 1 kΩ、R2 = 2 kΩ（中间支路，为两个网孔所共有）和 R3 = 1 kΩ。
例 3：求三条支路的电流，以及节点 A 相对于节点 B 的电压。
- 假设方向：I1 从 V1 流出，经 R1 流向 A；I3 从 V2 流出，经 R3 流向 A；I2 经 R2 从 A 向下流到 B。
- 对节点 A 列 KCL：I1 + I3 = I2。
- 对左网孔列 KVL（从 B 出发顺时针绕行）：经过 V1 升高 12 V，接着降低 1·I1（R1 上的压降），再降低 2·I2（R2 上的压降）。以 kΩ 和 mA 为单位：12 − I1 − 2I2 = 0。
- 对右网孔列 KVL（从 B 出发逆时针绕行）：经过 V2 升高 6 V，接着降低 1·I3（R3 上的压降），再降低 2·I2（R2 上的压降）：6 − I3 − 2I2 = 0。
- 解出：I1 = 12 − 2I2，I3 = 6 − 2I2。
- 代入 KCL：(12 − 2I2) + (6 − 2I2) = I2，即 18 = 5I2，由此得 I2 = 3.6 mA。
- 于是 I1 = 12 − 7.2 = 4.8 mA，I3 = 6 − 7.2 = −1.2 mA。
- 负号说明 I3 实际上是从 A 流向 V2：12 V 的电源正在给 6 V 的电源“充电”。
- 节点 A 的电压：VAB = 2 kΩ × 3.6 mA = 7.2 V。
验算。KCL：4.8 + (−1.2) = 3.6 mA。功率平衡：V1 提供 12 × 4.8 = 57.6 mW；V2 吸收 6 × 1.2 = 7.2 mW；各电阻耗散 4.8² × 1 + 3.6² × 2 + 1.2² × 1 = 23.04 + 25.92 + 1.44 = 50.4 mW。而 57.6 − 7.2 = 50.4 mW。完全吻合。
要点：在有 n 个节点的电路中，只有 n − 1 个独立的 KCL 方程，而独立的 KVL 方程数等于网孔数。本例中：2 个节点给出 1 个 KCL 方程，加上 2 个网孔，共 3 个方程，对应 3 个未知量。
常见错误
- 绕行回路到一半改变方向，或者在不同网孔之间混用约定。
- 确定电阻压降的符号时，没有看假设的电流方向。
- 为了“纠正”负的电流，在后面的方程中把它的符号改掉。应按算出来的结果原样使用；符号本身已经包含了信息。
- 对所有节点都列 KCL：其中总有一个方程是重复的，方程组看似有解，其实并不独立。
- 忘记电流从正极流入的电源是在吸收功率，而不是提供功率。
在模拟器中试一试
双网孔例题非常适合用测量来验证，尤其是右支路的负电流。搭建电路，把每个读数与计算结果比较。
- 放置两个直流电源，一个 12 V，另一个 6 V，正极朝上。
- 放置 R1 = 1 kΩ、R2 = 2 kΩ 和 R3 = 1 kΩ，按图连接。
- 运行直流分析，观察节点 A 的电压；应显示 7.2 V。
- 用万用表测量每条支路的电流。注意 R3 的电流方向与假设相反。
- 把 V2 改为 9 V 再测一次：I3 仍然是负的吗？
练习题
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流入一个节点的电流为 3 mA 和 7 mA，流出的电流为 4 mA 和一个未知电流 I。求 I。
查看答案
3 + 7 = 4 + I，所以 I = 6 mA，方向为流出节点。
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一个 15 V 的电源给三个串联的电阻供电。第一个电阻上的压降为 4 V，第二个为 6 V。第三个上的压降是多少？
查看答案
15 − 4 − 6 − V3 = 0，所以 V3 = 5 V。
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在图中的电路里，把 V2 换成一根导线（0 V）。求 I1、I2、I3 和 VAB。
查看答案
方程：I1 = 12 − 2I2，I3 = 0 − 2I2 = −2I2。KCL：12 − 2I2 − 2I2 = I2，由此得 I2 = 2.4 mA。于是 I1 = 7.2 mA，I3 = −4.8 mA，VAB = 2 × 2.4 = 4.8 V。验算：7.2 − 4.8 = 2.4 mA。
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你求解一个电路，在一条假设电流向下的支路上得到 I = −2 mA。这意味着什么？
查看答案
实际上有 2 mA 的电流向上流。计算是正确的，只是假设的方向与实际相反。
可在欧姆定律与功率一课中复习基础，然后继续学习串联、并联、分压与分流。