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Leggi di Kirchhoff: correnti, tensioni ed esempio a due maglie

8 min di lettura · Team bitGateLab

La legge di Ohm basta quando la corrente ha un solo percorso. Appena compaiono più rami e più di un generatore servono altre due regole: le leggi di Kirchhoff. Una riguarda le correnti nei nodi e l'altra le tensioni lungo un percorso chiuso. Insieme alla legge di Ohm ti permettono di risolvere qualsiasi circuito resistivo. Qui vedrai entrambe le leggi, la convenzione dei segni che evita la maggior parte degli errori e un esempio completo a due maglie.

Nodi, rami e maglie

Prima di applicare le leggi conviene dare un nome alle parti di un circuito:

• Nodo: punto in cui si uniscono due o più elementi. Tutti i fili collegati tra loro senza elementi interposti formano un unico nodo.
• Ramo: percorso tra due nodi che contiene un elemento (o più elementi in serie). Lungo tutto un ramo circola la stessa corrente.
• Percorso chiuso: qualsiasi cammino che torna al punto di partenza senza passare due volte per lo stesso nodo.
• Maglia: percorso chiuso che non ne contiene altri al suo interno, come il riquadro di una finestra.

Legge di Kirchhoff delle correnti (KCL)

La carica non si accumula in un nodo: tutto ciò che entra deve uscire. Perciò la somma delle correnti entranti in un nodo è uguale alla somma di quelle uscenti. Detto in altro modo, se conti come positive le correnti entranti e come negative quelle uscenti, la somma algebrica è zero:

Σ Ientranti = Σ Iuscenti        oppure        Σ I = 0

Legge di Kirchhoff delle tensioni (KVL)

Se segui un percorso chiuso e torni al punto di partenza, ritrovi lo stesso potenziale. Perciò la somma algebrica delle tensioni lungo qualsiasi percorso chiuso è zero: le salite di tensione (nei generatori) sono compensate esattamente dalle cadute (nei resistori).

Σ V = 0   lungo un percorso chiuso

Convenzione dei segni

La maggior parte degli errori con Kirchhoff è di segno, non di concetto. Segui sempre lo stesso procedimento:

1. Ipotizza un verso per ogni corrente e disegnalo con una freccia. Non importa se sbagli: se il risultato è negativo, la corrente reale scorre nel verso opposto e il suo valore assoluto è corretto.
2. Segna la polarità di ogni resistore in base alla corrente ipotizzata: la corrente entra dall'estremo + ed esce dal −. Così, in un resistore la caduta è I · R nel verso della corrente.
3. Segui il percorso chiuso in un verso fisso. Attraversando un elemento da − a + sommi la sua tensione (salita); attraversandolo da + a − la sottrai (caduta).

Con questa convenzione, in un generatore il segno dipende solo dalla sua polarità fisica, mentre in un resistore dipende dal fatto che tu lo attraversi nel verso della corrente ipotizzata o in quello opposto.

Esempio completo: circuito a due maglie

Osserva il circuito in figura. Ha due generatori, V₁ = 12 V e V₂ = 6 V, entrambi con il morsetto positivo in alto, e tre resistori: R₁ = 1 kΩ, R₂ = 2 kΩ (il ramo centrale, comune alle due maglie) e R₃ = 1 kΩ.

Errori comuni

• Cambiare il verso di percorrenza a metà di una maglia o mescolare convenzioni diverse tra una maglia e l'altra.
• Assegnare il segno alla caduta su un resistore senza guardare il verso ipotizzato della corrente.
• «Correggere» una corrente negativa cambiandole il segno nelle equazioni successive. Usala così com'è; il segno contiene già l'informazione.
• Scrivere la KCL in tutti i nodi: una delle equazioni risulta sempre ripetuta e il sistema sembra avere soluzione ma non è indipendente.
• Dimenticare che il generatore in cui la corrente entra dal morsetto positivo assorbe potenza invece di erogarla.

Provalo nel simulatore

L'esempio a due maglie è ideale da verificare con le misure, soprattutto la corrente negativa del ramo destro. Monta il circuito e confronta ogni lettura con i valori calcolati.

1. Inserisci due sorgenti di tensione CC, una da 12 V e una da 6 V, con il morsetto positivo verso l'alto.
2. Inserisci R₁ = 1 kΩ, R₂ = 2 kΩ e R₃ = 1 kΩ e collegali come in figura.
3. Esegui l'analisi in CC e osserva la tensione del nodo A; deve segnare 7.2 V.
4. Misura la corrente di ogni ramo con il multimetro. Nota che quella in R₃ ha il verso opposto a quello ipotizzato.
5. Porta V₂ a 9 V e ripeti la misura: I₃ è ancora negativa?

Esercizi

1. In un nodo entrano correnti di 3 mA e 7 mA, ed escono 4 mA e una corrente incognita I. Calcola I.

   Mostra la soluzione

   3 + 7 = 4 + I, quindi I = 6 mA, uscente dal nodo.

2. Un generatore da 15 V alimenta tre resistori in serie. Sul primo cadono 4 V e sul secondo 6 V. Quanta tensione cade sul terzo?

   Mostra la soluzione

   15 − 4 − 6 − V₃ = 0, quindi V₃ = 5 V.

3. Nel circuito in figura, sostituisci V₂ con un filo (0 V). Calcola I₁, I₂, I₃ e V_AB.

   Mostra la soluzione

   Equazioni: I₁ = 12 − 2I₂, I₃ = 0 − 2I₂ = −2I₂. KCL: 12 − 2I₂ − 2I₂ = I₂, da cui I₂ = 2.4 mA. Quindi I₁ = 7.2 mA, I₃ = −4.8 mA e V_AB = 2 × 2.4 = 4.8 V. Verifica: 7.2 − 4.8 = 2.4 mA.

4. Risolvi un circuito e ottieni I = −2 mA in un ramo in cui avevi ipotizzato che la corrente scendesse. Che cosa significa?

   Mostra la soluzione

   Che in realtà circolano 2 mA verso l'alto. Il calcolo è corretto; solo il verso ipotizzato era quello opposto.

Ripassa le basi in Legge di Ohm e potenza e prosegui con serie, parallelo e partitori.