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Kirchhoffsche Gesetze: Knotenregel, Maschenregel und Beispiel mit zwei Maschen

8 Min. Lesezeit · bitGateLab-Team

Das ohmsche Gesetz reicht aus, solange es nur einen einzigen Weg für den Strom gibt. Sobald mehrere Zweige und mehr als eine Quelle auftreten, brauchst du zwei weitere Regeln: die kirchhoffschen Gesetze. Die eine handelt von den Strömen in den Knoten, die andere von den Spannungen entlang einer geschlossenen Schleife. Zusammen mit dem ohmschen Gesetz kannst du damit jede Widerstandsschaltung lösen. Hier lernst du beide Gesetze kennen, die Vorzeichenkonvention, die die meisten Fehler vermeidet, und ein vollständiges Beispiel mit zwei Maschen.

Knoten, Zweige und Maschen

Bevor du die Gesetze anwendest, lohnt es sich, die Teile einer Schaltung zu benennen:

Knoten: Punkt, an dem zwei oder mehr Bauteile zusammentreffen. Alle Leitungen, die ohne Bauteile dazwischen verbunden sind, bilden ein und denselben Knoten.
Zweig: Weg zwischen zwei Knoten, der ein Bauteil (oder mehrere in Reihe) enthält. Durch einen ganzen Zweig fließt derselbe Strom.
Schleife: jeder geschlossene Weg, der keinen Knoten zweimal durchläuft.
Masche: Schleife, die keine weiteren Schleifen in ihrem Inneren enthält, wie das Feld eines Fensters.

Kirchhoffsche Knotenregel (KCL)

In einem Knoten sammelt sich keine Ladung an: Alles, was hineinfließt, muss auch wieder herausfließen. Deshalb ist die Summe der Ströme, die in einen Knoten hineinfließen, gleich der Summe der Ströme, die herausfließen. Anders geschrieben: Zählst du die zufließenden Ströme positiv und die abfließenden negativ, ist die vorzeichenrichtige Summe null:

Σ I_zu = Σ I_ab        oder        Σ I = 0

Beispiel 1. In einen Knoten fließt ein Strom von 5 mA hinein. Über zwei Zweige fließen 2 mA und 1.5 mA ab. Wie viel fließt über den dritten Zweig ab?

Knotenregel: 5 mA = 2 mA + 1.5 mA + I_x.
I_x = 5 − 3.5 = 1.5 mA, aus dem Knoten heraus.

Kirchhoffsche Maschenregel (KVL)

Wenn du eine geschlossene Schleife durchläufst und zum Ausgangspunkt zurückkehrst, bist du wieder auf demselben Potential. Deshalb ist die vorzeichenrichtige Summe der Spannungen entlang jeder Schleife null: Die Spannungsanstiege (an den Quellen) werden von den Spannungsabfällen (an den Widerständen) genau ausgeglichen.

Σ V = 0   entlang einer geschlossenen Schleife

Beispiel 2. Eine Batterie mit 9 V speist drei Widerstände in Reihe. An zweien davon misst du 3 V und 4.5 V. Wie viel fällt am dritten ab?

Maschenregel: 9 V − 3 V − 4.5 V − V₃ = 0.
V₃ = 1.5 V.

Vorzeichenkonvention

Die meisten Fehler mit Kirchhoff sind Vorzeichenfehler, keine Verständnisfehler. Gehe immer nach demselben Verfahren vor:

Nimm für jeden Strom eine Richtung an und zeichne sie als Pfeil ein. Es macht nichts, wenn du falsch rätst: Kommt ein negatives Ergebnis heraus, fließt der tatsächliche Strom andersherum, und sein Betrag stimmt.
Markiere die Polarität jedes Widerstands entsprechend dem angenommenen Strom: Der Strom tritt an dem mit + markierten Ende ein und an dem mit − markierten Ende aus. So ist der Spannungsabfall an einem Widerstand I · R in Stromrichtung.
Durchlaufe die Schleife in einer festen Richtung. Überquerst du ein Bauteil von − nach +, addierst du seine Spannung (Anstieg); überquerst du es von + nach −, subtrahierst du sie (Abfall).

Mit dieser Konvention hängt das Vorzeichen bei einer Quelle nur von ihrer tatsächlichen Polarität ab, und bei einem Widerstand davon, ob du ihn in Richtung des angenommenen Stroms oder dagegen durchläufst.

Vollständiges Beispiel: Schaltung mit zwei Maschen

Sieh dir die Schaltung im Bild an. Sie hat zwei Quellen, V₁ = 12 V und V₂ = 6 V, beide mit dem Pluspol oben, und drei Widerstände: R₁ = 1 kΩ, R₂ = 2 kΩ (der mittlere Zweig, den sich beide Maschen teilen) und R₃ = 1 kΩ.

Zwei Quellen speisen den Knoten A. Die Pfeile zeigen die angenommenen Richtungen von I₁, I₂ und I₃.

Beispiel 3. Berechne die drei Zweigströme und die Spannung des Knotens A gegenüber dem Knoten B.

Angenommene Richtungen: I₁ tritt aus V₁ aus und fließt über R₁ nach A; I₃ tritt aus V₂ aus und fließt über R₃ nach A; I₂ fließt über R₂ von A nach B hinunter.
Knotenregel am Knoten A: I₁ + I₃ = I₂.
Maschenregel in der linken Masche (Umlauf im Uhrzeigersinn ab B): An V₁ steigst du um 12 V, an R₁ fällst du um 1·I₁ und an R₂ um 2·I₂. Mit kΩ und mA gerechnet: 12 − I₁ − 2I₂ = 0.
Maschenregel in der rechten Masche (Umlauf gegen den Uhrzeigersinn ab B): An V₂ steigst du um 6 V, an R₃ fällst du um 1·I₃ und an R₂ um 2·I₂: 6 − I₃ − 2I₂ = 0.
Löse auf: I₁ = 12 − 2I₂ und I₃ = 6 − 2I₂.
Setze in die Knotenregel ein: (12 − 2I₂) + (6 − 2I₂) = I₂, also 18 = 5I₂, woraus I₂ = 3.6 mA folgt.
Damit ist I₁ = 12 − 7.2 = 4.8 mA und I₃ = 6 − 7.2 = −1.2 mA.
Das negative Vorzeichen besagt, dass I₃ in Wirklichkeit von A nach V₂ fließt: Die 12-V-Quelle „lädt“ die 6-V-Quelle.
Spannung des Knotens A: V_AB = 2 kΩ × 3.6 mA = 7.2 V.

Proben. Knotenregel: 4.8 + (−1.2) = 3.6 mA. Leistungsbilanz: V₁ gibt 12 × 4.8 = 57.6 mW ab; V₂ nimmt 6 × 1.2 = 7.2 mW auf; die Widerstände setzen 4.8² × 1 + 3.6² × 2 + 1.2² × 1 = 23.04 + 25.92 + 1.44 = 50.4 mW um. Und 57.6 − 7.2 = 50.4 mW. Alles passt zusammen.

Merke: In einer Schaltung mit n Knoten gibt es nur n − 1 unabhängige Knotengleichungen, und die Zahl der unabhängigen Maschengleichungen ist gleich der Zahl der Maschen. Hier: 2 Knoten ergeben 1 Knotengleichung, dazu 2 Maschen, insgesamt 3 Gleichungen für 3 Unbekannte.

Häufige Fehler

Die Umlaufrichtung mitten in einer Schleife wechseln oder die Konventionen zwischen einer Masche und der anderen vermischen.
Das Vorzeichen des Spannungsabfalls an einem Widerstand festlegen, ohne auf die angenommene Stromrichtung zu achten.
Einen negativen Strom „korrigieren“, indem man in den folgenden Gleichungen sein Vorzeichen ändert. Verwende ihn so, wie er herausgekommen ist; das Vorzeichen enthält die Information bereits.
Die Knotenregel an allen Knoten aufschreiben: Eine der Gleichungen ist immer überflüssig, und das System scheint lösbar zu sein, ist aber nicht unabhängig.
Vergessen, dass eine Quelle, in deren Pluspol Strom hineinfließt, Leistung aufnimmt, statt sie abzugeben.

Probiere es im Simulator aus

Das Beispiel mit zwei Maschen eignet sich ideal zum Nachmessen, vor allem der negative Strom im rechten Zweig. Baue die Schaltung auf und vergleiche jeden Messwert mit der Rechnung.

Platziere zwei Gleichspannungsquellen, eine mit 12 V und eine mit 6 V, mit dem Pluspol nach oben.
Platziere R₁ = 1 kΩ, R₂ = 2 kΩ und R₃ = 1 kΩ und verbinde sie wie im Bild.
Starte die DC-Analyse und sieh dir die Spannung des Knotens A an; sie muss 7.2 V betragen.
Miss den Strom jedes Zweigs mit dem Multimeter. Beachte, dass der Strom durch R₃ entgegen der angenommenen Richtung fließt.
Ändere V₂ auf 9 V und miss erneut: Ist I₃ immer noch negativ?

Übungen

In einen Knoten fließen Ströme von 3 mA und 7 mA hinein, und es fließen 4 mA sowie ein unbekannter Strom I ab. Berechne I.

Lösung anzeigen

3 + 7 = 4 + I, also I = 6 mA, aus dem Knoten heraus.
Eine Quelle mit 15 V speist drei Widerstände in Reihe. Am ersten fallen 4 V ab und am zweiten 6 V. Wie viel fällt am dritten ab?

Lösung anzeigen

15 − 4 − 6 − V₃ = 0, also V₃ = 5 V.
Ersetze in der Schaltung aus dem Bild V₂ durch einen Draht (0 V). Berechne I₁, I₂, I₃ und V_AB.

Lösung anzeigen

Gleichungen: I₁ = 12 − 2I₂, I₃ = 0 − 2I₂ = −2I₂. Knotenregel: 12 − 2I₂ − 2I₂ = I₂, woraus I₂ = 2.4 mA folgt. Damit ist I₁ = 7.2 mA, I₃ = −4.8 mA und V_AB = 2 × 2.4 = 4.8 V. Probe: 7.2 − 4.8 = 2.4 mA.
Du löst eine Schaltung und erhältst I = −2 mA in einem Zweig, in dem du angenommen hast, dass der Strom nach unten fließt. Was bedeutet das?

Lösung anzeigen

Dass in Wirklichkeit 2 mA nach oben fließen. Die Rechnung stimmt; nur die angenommene Richtung war die entgegengesetzte.

Wiederhole die Grundlagen in Ohmsches Gesetz und Leistung und mach weiter mit Reihen- und Parallelschaltung und Teiler.