Законы Кирхгофа: токи, напряжения и пример с двумя контурами

8 мин чтения · Команда bitGateLab

Закона Ома достаточно, пока у тока только один путь. Как только появляется несколько ветвей и больше одного источника, нужны ещё два правила — законы Кирхгофа. Один говорит о токах в узлах, другой — о напряжениях вдоль замкнутого контура. Вместе с законом Ома они позволяют рассчитать любую резистивную цепь. Здесь вы познакомитесь с обоими законами, с правилом знаков, которое избавляет от большинства ошибок, и с полным примером на два контура.

Узлы, ветви и контуры

Прежде чем применять законы, полезно назвать части цепи:

Узел: точка, в которой соединяются два или более элемента. Все провода, соединённые между собой без элементов между ними, образуют один и тот же узел.
Ветвь: путь между двумя узлами, содержащий один элемент (или несколько, соединённых последовательно). По всей ветви течёт один и тот же ток.
Контур: любой замкнутый путь, не проходящий дважды через один и тот же узел.
Ячейка (независимый контур): контур, внутри которого нет других контуров, как отдельный проём в оконной раме.

Первый закон Кирхгофа: закон токов (ЗТК)

Заряд в узле не накапливается: всё, что втекает, должно вытечь. Поэтому сумма токов, втекающих в узел, равна сумме вытекающих. Иначе говоря, если считать втекающие токи положительными, а вытекающие — отрицательными, алгебраическая сумма равна нулю:

Σ I_вх = Σ I_вых        или        Σ I = 0

Пример 1. В узел втекает ток 5 mA. По двум ветвям вытекают 2 mA и 1.5 mA. Какой ток вытекает по третьей ветви?

ЗТК: 5 mA = 2 mA + 1.5 mA + I_x.
I_x = 5 − 3.5 = 1.5 mA, вытекает из узла.

Второй закон Кирхгофа: закон напряжений (ЗНК)

Если обойти замкнутый контур и вернуться в исходную точку, вы окажетесь на том же потенциале. Поэтому алгебраическая сумма напряжений вдоль любого контура равна нулю: повышения напряжения (на источниках) в точности компенсируются падениями (на резисторах).

Σ V = 0   вдоль замкнутого контура

Пример 2. Батарея 9 V питает три последовательно соединённых резистора. На двух из них вы измерили 3 V и 4.5 V. Сколько падает на третьем?

ЗНК: 9 V − 3 V − 4.5 V − V₃ = 0.
V₃ = 1.5 V.

Правило знаков

Большинство ошибок с законами Кирхгофа — это ошибки в знаках, а не в понимании. Всегда действуйте по одной и той же схеме:

Задайте направление каждого тока и обозначьте его стрелкой. Не страшно, если не угадаете: при отрицательном результате реальный ток течёт в обратную сторону, а его величина верна.
Отметьте полярность каждого резистора по принятому направлению тока: ток входит в вывод + и выходит из вывода −. Тогда падение на резисторе равно I · R в направлении тока.
Обходите контур в одном выбранном направлении. Проходя элемент от − к +, прибавляйте его напряжение (повышение); проходя от + к −, вычитайте (падение).

При таком правиле знак напряжения источника зависит только от его физической полярности, а знак на резисторе — от того, проходите вы его по направлению принятого тока или против.

Полный пример: двухконтурная цепь

Посмотрите на схему на рисунке. В ней два источника, V₁ = 12 V и V₂ = 6 V, оба положительным выводом вверх, и три резистора: R₁ = 1 kΩ, R₂ = 2 kΩ (средняя ветвь, общая для двух контуров) и R₃ = 1 kΩ.

Два источника питают узел A. Стрелки показывают принятые направления I₁, I₂ и I₃.

Пример 3. Найдите три тока ветвей и напряжение узла A относительно узла B.

Принятые направления: I₁ выходит из V₁ и идёт к A через R₁; I₃ выходит из V₂ и идёт к A через R₃; I₂ течёт вниз от A к B через R₂.
ЗТК для узла A: I₁ + I₃ = I₂.
ЗНК для левого контура (обход по часовой стрелке от B): напряжение повышается на 12 V на V₁, падает на 1·I₁ на R₁ и на 2·I₂ на R₂. В kΩ и mA: 12 − I₁ − 2I₂ = 0.
ЗНК для правого контура (обход против часовой стрелки от B): напряжение повышается на 6 V на V₂, падает на 1·I₃ на R₃ и на 2·I₂ на R₂: 6 − I₃ − 2I₂ = 0.
Выразите: I₁ = 12 − 2I₂ и I₃ = 6 − 2I₂.
Подставьте в ЗТК: (12 − 2I₂) + (6 − 2I₂) = I₂, то есть 18 = 5I₂, откуда I₂ = 3.6 mA.
Тогда I₁ = 12 − 7.2 = 4.8 mA и I₃ = 6 − 7.2 = −1.2 mA.
Знак минус означает, что на самом деле I₃ течёт от A к V₂: источник 12 V «заряжает» источник 6 V.
Напряжение узла A: V_AB = 2 kΩ × 3.6 mA = 7.2 V.

Проверки. ЗТК: 4.8 + (−1.2) = 3.6 mA. Баланс мощностей: V₁ отдаёт 12 × 4.8 = 57.6 mW; V₂ потребляет 6 × 1.2 = 7.2 mW; резисторы рассеивают 4.8² × 1 + 3.6² × 2 + 1.2² × 1 = 23.04 + 25.92 + 1.44 = 50.4 mW. И 57.6 − 7.2 = 50.4 mW. Всё сходится.

Важно: в цепи с n узлами есть только n − 1 независимых уравнений ЗТК, а число независимых уравнений ЗНК равно числу ячеек (независимых контуров). Здесь: 2 узла дают 1 уравнение ЗТК, плюс 2 контура — всего 3 уравнения для 3 неизвестных.

Типичные ошибки

Менять направление обхода посреди контура или смешивать правила знаков в разных контурах.
Выбирать знак падения на резисторе, не глядя на принятое направление тока.
«Исправлять» отрицательный ток, меняя его знак в последующих уравнениях. Используйте его таким, каким он получился: знак уже несёт информацию.
Записывать ЗТК для всех узлов: одно из уравнений всегда повторяет остальные, и система выглядит разрешимой, но не является независимой.
Забывать, что источник, в положительный вывод которого втекает ток, потребляет мощность, а не отдаёт её.

Попробуйте в симуляторе

Двухконтурный пример идеально подходит для проверки измерениями, особенно отрицательный ток правой ветви. Соберите схему и сравните каждое показание с расчётом.

Поставьте два источника постоянного напряжения, 12 V и 6 V, положительным выводом вверх.
Поставьте R₁ = 1 kΩ, R₂ = 2 kΩ и R₃ = 1 kΩ и соедините их, как на рисунке.
Запустите анализ по постоянному току и посмотрите напряжение узла A: должно быть 7.2 V.
Измерьте мультиметром ток каждой ветви. Обратите внимание, что ток через R₃ направлен противоположно принятому.
Измените V₂ на 9 V и повторите измерения: остаётся ли I₃ отрицательным?

Упражнения

В узел втекают токи 3 mA и 7 mA, а вытекают 4 mA и неизвестный ток I. Найдите I.

Показать ответ

3 + 7 = 4 + I, значит, I = 6 mA, вытекает из узла.
Источник 15 V питает три последовательно соединённых резистора. На первом падает 4 V, на втором — 6 V. Сколько падает на третьем?

Показать ответ

15 − 4 − 6 − V₃ = 0, значит, V₃ = 5 V.
В схеме на рисунке замените V₂ проводом (0 V). Найдите I₁, I₂, I₃ и V_AB.

Показать ответ

Уравнения: I₁ = 12 − 2I₂, I₃ = 0 − 2I₂ = −2I₂. ЗТК: 12 − 2I₂ − 2I₂ = I₂, откуда I₂ = 2.4 mA. Тогда I₁ = 7.2 mA, I₃ = −4.8 mA и V_AB = 2 × 2.4 = 4.8 V. Проверка: 7.2 − 4.8 = 2.4 mA.
Вы рассчитали цепь и получили I = −2 mA в ветви, где приняли, что ток течёт вниз. Что это значит?

Показать ответ

Что на самом деле 2 mA текут вверх. Расчёт верен; просто принятое направление оказалось противоположным.

Повторите основы в статье Закон Ома и мощность и переходите к теме последовательное и параллельное соединение, делители.