学ぶ › テーマ 5

テブナンの定理・ノートンの定理・重ね合わせの理：解答付き例題

読了時間 8 分 · bitGateLab チーム

回路全体ではなく、その一部分で何が起きるかだけに関心があることがよくあります。たとえば負荷、センサ、次段の入力などです。テブナンの定理とノートンの定理を使うと、それ以外の部分をすべて、素子二つだけのモデルに置き換えることができます。また重ね合わせの理を使えば、電源を一つずつ解析できます。このページでは、この三つと、相互の変換方法、そして電源から最大の電力を受け取る負荷について学びます。

テブナンの定理

抵抗と電源からなる線形回路網はどれも、二つの端子 a と b から見ると、電圧源 V_th と抵抗 R_th の直列接続とまったく同じようにふるまいます。「まったく同じ」とは、a と b の間にどんな負荷を接続しても、どちらの場合も同じ電圧がかかり、同じ電流が流れるという意味です。

V_th は、a と b の間の開放電圧（無負荷時の電圧）です。
R_th は、独立電源をオフにして a と b から見た抵抗です。電圧源は導線に、電流源は開放に置き換えます。

左：端子 a・b から見た元の回路網。右：そのテブナン等価回路。

例題 1. 左の回路のテブナン等価回路を求めてください。

V_th：無負荷では R₃ に電流が流れないので、そこでの電圧降下はなく、V_ab は R₂ の電圧になります。これは分圧回路です：V_th = 12 × 3 / (6 + 3) = 4 V。
R_th：12 V の電源をオフにします（導線に置き換えます）。a から見ると、R₃ が、R₁ と R₂ の並列回路と直列になっています：R_th = 2 + (6 ∥ 3) = 2 + 2 = 4 kΩ。
たとえば 4 kΩ の負荷をつなぐと、電流は 4 V / (4 + 4) kΩ = 0.5 mA、負荷の電圧は 2 V です。回路網全体を解いても同じ結果になりますが、ずっと手間がかかります。

ノートンの定理

同じ回路網は、電流源 I_N と抵抗 R_N の並列接続とも等価です。I_N は端子 a と b を短絡したときに流れる電流で、R_N は R_th と同じものです。二つのモデルは、オームの法則で互いに変換できます。

R_N = R_th        I_N = V_th / R_th        V_th = I_N · R_N

例題 2. 同じ回路のノートン等価回路を、短絡電流を求める方法で計算し、変換の結果と一致することを確かめてください。

端子 a と b を短絡すると、R₃ は R₂ と並列になります：2 ∥ 3 = 1.2 kΩ。
電源から見た抵抗は 6 + 1.2 = 7.2 kΩ なので、電源は 12 / 7.2 = 1.667 mA を供給します。
並列部分の電圧は 1.667 × 1.2 = 2 V で、R₃ を流れる電流（短絡電流）は 2 V / 2 kΩ = 1 mA です。
変換による計算：I_N = 4 V / 4 kΩ = 1 mA。一致します。ノートン等価回路は、1 mA の電流源と 4 kΩ の並列です。

ポイント：実際の電源の開放電圧と短絡電流を測定できれば、そのモデルは完全に分かったことになります：R_th = V_開放 / I_短絡。短絡が危険な場合は、値の分かっている二つの異なる負荷で電圧を測り、そこから求めます。

重ね合わせの理

複数の独立電源をもつ線形回路では、どの電圧や電流も、各電源が単独ではたらいたときの寄与の和になります。ある電源の寄与を求めるには、ほかの電源をすべてオフにして（電圧源 → 導線、電流源 → 開放）回路を解き、最後に符号を付けて足し合わせます。

例題 3. 電源 V₁ = 12 V が R₁ = 6 kΩ を通して節点 X につながり、もう一つの電源 V₂ = 6 V が R₃ = 2 kΩ を通して同じ節点につながっています。X とグランドの間には R₂ = 3 kΩ があります。重ね合わせの理で V_X を求めてください。

V₁ のみ（V₂ は短絡）：R₃ が R₂ と並列になり、2 ∥ 3 = 1.2 kΩ。分圧：V′ = 12 × 1.2 / (6 + 1.2) = 2 V。
V₂ のみ（V₁ は短絡）：R₁ が R₂ と並列になり、6 ∥ 3 = 2 kΩ。分圧：V″ = 6 × 2 / (2 + 2) = 3 V。
合計：V_X = 2 + 3 = 5 V。
節点解析で検算：(12 − V)/6 + (6 − V)/2 = V/3。6 を掛けると：12 − V + 18 − 3V = 2V となり、V = 5 V。

重ね合わせは電圧と電流には使えますが、電力には使えません。電力は二乗に依存するからです。この例題では、R₂ は 5² / 3 = 8.33 mW を消費します。部分ごとの電力を足すと 2²/3 + 3²/3 = 4.33 mW となり、これは誤りです。

最大電力伝送

テブナン等価回路に負荷 R_L を接続すると、負荷の電力は P = V_th² · R_L / (R_th + R_L)² です。この電力は R_L = R_th のとき最大になり、その値は次のとおりです。

P_max = V_th² / (4 R_th)

例題の値（4 V、4 kΩ）では、次のようになります。

R_L	電流	R_L の電力
2 kΩ	0.667 mA	0.889 mW
4 kΩ	0.500 mA	1.000 mW
8 kΩ	0.333 mA	0.889 mW

注意：最大電力の点では、エネルギーの半分が R_th で失われるので、効率はわずか 50 % です。そのため、この整合は微弱な信号（アンテナ、センサ）では求められますが、電力の配電では求められません。配電では、R_L を R_th よりずっと大きくします。

よくある間違い

R_th を求めるとき、電流源を開放にせず、導線に置き換えて取り除いてしまう。
負荷を接続したまま V_th を計算してしまう。開放状態で求めなければなりません。
重ね合わせで電力を足してしまう。
寄与を足すときに符号を忘れてしまう。電源によっては、節点の電圧を下げる向きにはたらくことがあります。
最大電力伝送が最大効率でもあると思い込んでしまう。

シミュレータで試してみよう

元の回路とその等価回路が、負荷から見て区別できないことを確かめられます。二つを並べて組み、それぞれに同じ負荷を接続しましょう。

元の回路を配置します：12 V の電源、R₁ = 6 kΩ、R₂ = 3 kΩ、R₃ = 2 kΩ。
無負荷の状態で、a と b の間の電圧をマルチメータで測ります。4 V になるはずです。
電流計を端子 a と b の間に接続し（短絡）、1 mA になることを確かめます。
別に、4 V の電源と 4 kΩ の抵抗を直列にした回路を組みます。
両方の回路に同じ負荷（2 kΩ、4 kΩ、8 kΩ）を接続し、電圧と電流を比べます。
それぞれの値について負荷の電力を計算し、4 kΩ のとき最大になることを確かめます。

練習問題

1 kΩ の抵抗二つからなる分圧回路に 10 V を加えます。出力から見たテブナン等価回路と、負荷に供給できる最大電力を求めてください。

解答を見る

V_th = 5 V、R_th = 1 ∥ 1 = 500 Ω。P_max = 5² / (4 × 500) = 12.5 mW（負荷が 500 Ω のとき）。
ある回路網のノートン等価回路は I_N = 2 mA、R_N = 5 kΩ です。テブナン等価回路はどうなるでしょうか。

解答を見る

R_th = 5 kΩ、V_th = 2 mA × 5 kΩ = 10 V。
9 V の電源が 3 kΩ を通して節点 X につながっています。X とグランドの間には 6 kΩ があり、3 mA の電流源が節点 X に電流を流し込みます。重ね合わせの理で V_X を求めてください。

解答を見る

9 V の電源のみ（電流源は開放）：9 × 6 / 9 = 6 V。3 mA の電流源のみ（電圧源は短絡）：3 mA × (3 ∥ 6 = 2 kΩ) = 6 V。合計：12 V。節点解析で検算：(9 − 12)/3 + 3 = 2 mA = 12/6。
ある出力段は V_th = 8 V、R_th = 8 Ω です。供給できる最大電力はいくらで、そのときの負荷はいくらでしょうか。

解答を見る

R_L = 8 Ω のとき：P_max = 64 / 32 = 2 W。

連立方程式の立て方は節点解析と網目解析で復習し、続きはコンデンサ、インダクタと RC・RL 回路へ進みましょう。