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테브난, 노턴, 중첩의 원리: 풀이 예제로 배우기

읽는 시간 8분 · bitGateLab 팀

회로 전체가 아니라 부하, 센서, 다음 단의 입력처럼 한 부분에서 일어나는 일만 궁금할 때가 많습니다. 테브난과 노턴의 정리를 쓰면 나머지 전부를 소자 두 개짜리 모델로 바꿀 수 있고, 중첩의 원리를 쓰면 전원을 한 번에 하나씩 해석할 수 있습니다. 이 글에서는 이 세 가지와, 두 등가 회로를 서로 변환하는 방법, 그리고 어떤 부하가 전원에서 최대 전력을 받는지 배웁니다.

테브난 정리

저항과 전원으로 이루어진 선형 회로망은 어떤 것이든, 두 단자 a와 b에서 바라보면 전압원 V_th와 저항 R_th가 직렬로 연결된 것과 똑같이 동작합니다. "똑같이"란 a와 b 사이에 어떤 부하를 연결하더라도 두 경우 모두 같은 전압과 같은 전류를 받는다는 뜻입니다.

V_th는 a와 b 사이의 개방 회로 전압(부하가 없을 때)입니다.
R_th는 독립 전원을 끈 상태에서 a와 b에서 바라본 저항입니다. 전압원은 도선으로, 전류원은 개방 회로로 바꿉니다.

왼쪽: 단자 a와 b에서 바라본 원래 회로망. 오른쪽: 그 테브난 등가 회로.

예제 1. 왼쪽 회로의 테브난 등가 회로를 구하세요.

V_th: 부하가 없으면 R₃에 전류가 흐르지 않으므로 전압 강하도 없고, V_ab는 R₂에 걸리는 전압입니다. 이것은 분배기입니다: V_th = 12 × 3 / (6 + 3) = 4 V입니다.
R_th: 12 V 전원을 끕니다(도선으로 바꿉니다). 단자 a에서 보면 R₃이 R₁과 R₂의 병렬 조합과 직렬로 연결되어 있습니다: R_th = 2 + (6 ∥ 3) = 2 + 2 = 4 kΩ입니다.
예를 들어 4 kΩ 부하를 연결하면 전류는 4 V / (4 + 4) kΩ = 0.5 mA이고 부하 전압은 2 V입니다. 회로망 전체를 풀어도 같은 결과가 나오지만 훨씬 많은 수고가 듭니다.

노턴 정리

같은 회로망은 전류원 I_N과 저항 R_N이 병렬로 연결된 것과도 등가입니다. I_N은 단자 a와 b를 단락했을 때 흐르는 전류이고, R_N은 R_th와 같습니다. 두 모델은 옴의 법칙으로 서로 변환할 수 있습니다.

R_N = R_th        I_N = V_th / R_th        V_th = I_N · R_N

예제 2. 단락 전류를 구해 같은 회로의 노턴 등가 회로를 계산하고, 변환으로 얻은 결과와 일치하는지 확인하세요.

단자 a와 b를 단락하면 R₃이 R₂와 병렬이 됩니다: 2 ∥ 3 = 1.2 kΩ.
전원에서 본 저항은 6 + 1.2 = 7.2 kΩ이므로 전원은 12 / 7.2 = 1.667 mA를 공급합니다.
병렬 부분에 걸리는 전압은 1.667 × 1.2 = 2 V이고, R₃에 흐르는 전류(단락 전류)는 2 V / 2 kΩ = 1 mA입니다.
변환으로 구하면: I_N = 4 V / 4 kΩ = 1 mA. 일치합니다. 노턴 등가 회로는 1 mA 전류원과 4 kΩ의 병렬입니다.

핵심 포인트: 실제 전원의 개방 회로 전압과 단락 전류를 측정할 수 있다면 그 전원의 모델을 완전히 아는 것입니다: R_th = V_개방 / I_단락. 단락이 위험한 경우에는 값을 아는 서로 다른 부하 두 개로 전압을 측정한 뒤 계산하세요.

중첩의 원리

독립 전원이 여러 개인 선형 회로에서 어떤 전압이나 전류든 각 전원이 단독으로 작용할 때의 기여를 모두 더한 값입니다. 한 전원의 기여를 계산하려면 나머지 전원을 모두 끄고(전압원 → 도선, 전류원 → 개방) 회로를 푼 다음, 마지막에 부호를 살려 더합니다.

예제 3. 전원 V₁ = 12 V가 R₁ = 6 kΩ을 통해 노드 X에 연결되고, 또 다른 전원 V₂ = 6 V가 R₃ = 2 kΩ을 통해 같은 노드에 연결되며, X와 접지 사이에는 R₂ = 3 kΩ이 있습니다. 중첩의 원리로 V_X를 구하세요.

V₁만 있을 때(V₂는 단락): R₃이 R₂와 병렬이 되어 2 ∥ 3 = 1.2 kΩ. 분배기: V′ = 12 × 1.2 / (6 + 1.2) = 2 V입니다.
V₂만 있을 때(V₁은 단락): R₁이 R₂와 병렬이 되어 6 ∥ 3 = 2 kΩ. 분배기: V″ = 6 × 2 / (2 + 2) = 3 V입니다.
합계: V_X = 2 + 3 = 5 V입니다.
노드 해석으로 검산: (12 − V)/6 + (6 − V)/2 = V/3. 6을 곱하면: 12 − V + 18 − 3V = 2V이므로 V = 5 V입니다.

중첩의 원리는 전압과 전류에는 성립하지만 전력에는 성립하지 않습니다. 전력은 제곱에 비례하기 때문입니다. 이 예제에서 R₂는 5² / 3 = 8.33 mW를 소비합니다. 부분 전력을 더하면 2²/3 + 3²/3 = 4.33 mW가 되는데, 이는 틀린 값입니다.

최대 전력 전달

테브난 등가 회로에 부하 R_L을 연결하면 부하의 전력은 P = V_th² · R_L / (R_th + R_L)²입니다. 이 전력은 R_L = R_th일 때 최대가 되며, 그 값은 다음과 같습니다.

P_max = V_th² / (4 R_th)

예제의 값(4 V, 4 kΩ)으로 계산하면 다음과 같습니다.

R_L	전류	R_L의 전력
2 kΩ	0.667 mA	0.889 mW
4 kΩ	0.500 mA	1.000 mW
8 kΩ	0.333 mA	0.889 mW

주의: 최대 전력 지점에서는 에너지의 절반이 R_th에서 손실되므로 효율은 50 %에 불과합니다. 그래서 약한 신호(안테나, 센서)에서는 이러한 정합을 추구하지만, R_L이 R_th보다 훨씬 커야 하는 전력 분배에서는 그렇게 하지 않습니다.

흔히 하는 실수

R_th를 계산할 때 전류원을 개방하지 않고 도선으로 바꿔서 없애는 것.
부하가 연결된 상태에서 V_th를 계산하는 것. 개방 회로 상태에서 구해야 합니다.
중첩의 원리에서 전력을 더하는 것.
기여를 더할 때 부호를 잊는 것: 어떤 전원은 노드의 전압을 낮추는 쪽으로 작용할 수 있습니다.
최대 전력 전달이 곧 최대 효율이라고 믿는 것.

시뮬레이터에서 직접 해 보기

원래 회로와 등가 회로가 부하 쪽에서 보면 구별할 수 없다는 것을 확인할 수 있습니다. 두 회로를 나란히 만들고 각각에 같은 부하를 연결해 보세요.

원래 회로를 배치합니다: 12 V 전원, R₁ = 6 kΩ, R₂ = 3 kΩ, R₃ = 2 kΩ.
부하 없이 멀티미터로 a와 b 사이의 전압을 측정합니다. 4 V가 나와야 합니다.
단자 a와 b 사이에 전류계를 연결하고(단락) 1 mA를 확인합니다.
별도로 4 V 전원에 4 kΩ 저항을 직렬로 연결한 회로를 만듭니다.
두 회로에 같은 부하(2 kΩ, 4 kΩ, 8 kΩ)를 연결하고 전압과 전류를 비교합니다.
각 값에서 부하의 전력을 계산하고 4 kΩ일 때 최대가 되는 것을 확인하세요.

연습 문제

1 kΩ 저항 두 개로 된 분배기에 10 V를 공급합니다. 출력에서 바라본 테브난 등가 회로와, 부하에 전달할 수 있는 최대 전력을 구하세요.

정답 보기

V_th = 5 V, R_th = 1 ∥ 1 = 500 Ω. P_max = 5² / (4 × 500) = 12.5 mW, 부하가 500 Ω일 때입니다.
어떤 회로망의 노턴 등가 회로가 I_N = 2 mA, R_N = 5 kΩ입니다. 테브난 등가 회로는 무엇일까요?

정답 보기

R_th = 5 kΩ, V_th = 2 mA × 5 kΩ = 10 V.
9 V 전원이 3 kΩ을 통해 노드 X에 연결되어 있고, X와 접지 사이에 6 kΩ이 있으며, 3 mA 전류원이 노드 X에 전류를 주입합니다. 중첩의 원리로 V_X를 구하세요.

정답 보기

9 V 전원만 있을 때(전류원 개방): 9 × 6 / 9 = 6 V. 3 mA 전류원만 있을 때(전압원 단락): 3 mA × (3 ∥ 6 = 2 kΩ) = 6 V. 합계: 12 V. 노드 해석으로 검산: (9 − 12)/3 + 3 = 2 mA = 12/6.
어떤 출력단의 V_th = 8 V, R_th = 8 Ω입니다. 전달할 수 있는 최대 전력은 얼마이며, 그때의 부하는 얼마일까요?

정답 보기

R_L = 8 Ω일 때: P_max = 64 / 32 = 2 W.

연립방정식을 세우는 방법은 노드 해석과 메시 해석에서 복습하고, 이어서 커패시터, 인덕터, RC·RL 회로로 넘어가세요.