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コンデンサ、インダクタと RC・RL 回路：時定数 τ

読了時間 8 分 · bitGateLab チーム

抵抗は瞬時に反応します。電圧を変えれば、その瞬間に電流も変わります。コンデンサとインダクタはそうではありません。エネルギーを蓄えるため、反応に時間がかかります。この遅れが、タイマ、フィルタ、スイッチング電源、押しボタンのチャタリング除去の基礎になっています。このページでは、それぞれの素子のふるまい、時定数 τ とは何か、そして充電・放電の任意の時刻における電圧と電流の計算方法を学びます。

コンデンサ

コンデンサは、絶縁体で隔てられた二枚の導体板でできています。電圧を加えると、一方の板に正の電荷、もう一方の板に負の電荷がたまります。静電容量 C（単位はファラド、F）は、電圧一ボルトあたりに蓄えられる電荷の量を表します：Q = C · V。実際には µF、nF、pF がよく使われます。

コンデンサの電流は、電圧がどれだけ速く変化するかで決まります。

i = C · dv/dt        E = ½ · C · V²

ここから、重要なことが二つ導かれます。

コンデンサの電圧は急に変化することができません。そのためには無限大の電流が必要になるからです。
直流では、充電が終わると dv/dt = 0 となり、電流は流れません。コンデンサは開放のようにふるまいます。

並列のコンデンサは足し算になります（C_eq = C₁ + C₂）。直列の場合は、並列の抵抗と同じ方法で合成します。5 V に充電した 100 µF のコンデンサは、½ × 100×10⁻⁶ × 25 = 1.25 mJ を蓄えます。

インダクタ

インダクタは、導線を巻いたコイルです。流れる電流が磁界を作り、そこにエネルギーが蓄えられます。インダクタンス L（単位はヘンリー、H）は、電圧と電流の変化の速さを結びつけます。

v = L · di/dt        E = ½ · L · I²

これは、コンデンサと双対なふるまいです。

インダクタの電流は急に変化することができません。急に遮断しようとすると、インダクタは非常に高い電圧のスパイクを発生します。リレーのコイルに逆並列のダイオードを付けるのはこのためです。
直流の定常状態では di/dt = 0 となり、電圧は生じません。インダクタは導線のようにふるまいます。

インダクタは抵抗と同じように合成します。直列なら和、並列なら「和分の積」です。

RC 回路の充電と放電

電源 V_s、抵抗 R、充電されていないコンデンサを直列に接続し、t = 0 でスイッチを閉じます。最初はコンデンサの電圧が 0 V なので、電源電圧がすべて R にかかり、電流は最大値 V_s/R になります。コンデンサが充電されるにつれて、R にかかる電圧が小さくなり、電流も減っていきます。その結果は、指数関数の曲線になります。

充電：     v_C(t) = V_s · (1 − e^−t/τ)        i(t) = (V_s/R) · e^−t/τ
放電：     v_C(t) = V₀ · e^−t/τ
           τ = R · C

時定数 τ（タウ）の単位は秒です（オームとファラドの積は秒になります）。コンデンサが最終値までの道のりの 63.2 % を進むのにかかる時間です。

コンデンサの充電（実線）と放電（破線）。t = τ で、充電は 63.2 % に達し、放電は 36.8 % まで下がります。

これらの割合は、どんな RC 回路や RL 回路でも同じなので、覚えておくと便利です。

時間	充電（最終値に対する %）	放電（初期値に対する %）
1τ	63.2 %	36.8 %
2τ	86.5 %	13.5 %
3τ	95.0 %	5.0 %
4τ	98.2 %	1.8 %
5τ	99.3 %	0.7 %

慣例として、5τ が経過すると回路は定常状態に達したとみなします。

例題 1. 100 µF のコンデンサを、5 V の電源から 10 kΩ を通して充電します（t = 0 で 0 から 5 V へのステップ）。

τ = R · C = 10 000 Ω × 100×10⁻⁶ F = 1 s。
初期電流：5 V / 10 kΩ = 0.5 mA。
v_C(1 s) = 5 × 0.632 = 3.16 V、v_C(2 s) = 5 × 0.865 = 4.32 V、v_C(3 s) = 5 × 0.950 = 4.75 V。
半分（2.5 V）に達するまでの時間：1 − e^−t/τ = 0.5 より、t = τ · ln 2 = 0.693 s。
実用上の定常状態：5τ = 5 s で、v_C ≈ 4.97 V、電流はほぼゼロです。

例題 2. 12 V に充電した 47 µF のコンデンサを、22 kΩ を通して放電します。1 V まで下がるのにどれだけかかるでしょうか。

τ = 22 000 × 47×10⁻⁶ = 1.034 s。
1 = 12 · e^−t/τ より：t = τ · ln(12/1) = 1.034 × 2.485 = 2.57 s。

RL 回路

インダクタと抵抗を直列にした場合も、よく似たことが起こります。ただし今度は、急に変化できない量は電流です。電圧のステップ V_s を加えると、電流はゼロから始まって V_s/R に向かって増加し、インダクタの電圧は V_s から始まってゼロまで下がります。

i(t) = (V_s/R) · (1 − e^−t/τ)        v_L(t) = V_s · e^−t/τ        τ = L / R

式に注意してください。RL 回路では、抵抗が大きいほど応答が速くなります。RC 回路とは逆です。

例題 3. 50 Ω と直列にした 100 mH のインダクタを 10 V に接続します。

τ = L / R = 0.1 H / 50 Ω = 2 ms。
最終電流：10 V / 50 Ω = 0.2 A = 200 mA。
t = 1 ms（τ の半分）では：i = 0.2 × (1 − e^−0.5) = 0.2 × 0.3935 = 78.7 mA。
t = 2 ms では：i = 0.2 × 0.632 = 126.4 mA。10 ms（5τ）後には、ほぼ 200 mA に達しています。
最終的に蓄えられるエネルギー：½ × 0.1 × 0.2² = 2 mJ。

ポイント：等価抵抗が一つだけの一次回路を解くのに必要な情報は、初期値、最終値、τ の三つだけです。応答はいつも x(t) = x_最終 + (x_初期 − x_最終) · e^−t/τ になります。抵抗が複数ある場合は、コンデンサまたはインダクタから見たテブナン抵抗を R として使います。

よくある間違い

単位の換算を忘れてしまう。100 µF は 100×10⁻⁶ F、100 mH は 0.1 H です。
RL 回路で τ = R/L や τ = L·R を使ってしまう。正しくは L/R です。
コンデンサは 1τ で「満充電」になると考えてしまう。その時点ではまだ 63.2 % です。
コンデンサの電流は電圧に追従すると考えてしまう。実際には、電圧が最も速く変化する充電の開始時に最大になります。
電流の逃げ道を用意せずに、エネルギーを蓄えたインダクタの回路を開いてしまう。電圧スパイクでトランジスタやスイッチが壊れることがあります。

シミュレータで試してみよう

仮想オシロスコープを使えば、指数曲線を表示して、その上で τ を直接測ることができます。電源に方形波を使うと、充電と放電を繰り返し観察できます。

0 から 5 V の方形波電源を、周期を 10τ 以上にして配置します（たとえば例題 1 なら 10 s。あるいは 10 kΩ と 100 nF のような小さい値を使えば、τ = 1 ms、周期 10 ms になります）。
抵抗とコンデンサを直列に接続します。
オシロスコープのチャンネルの一つを電源に、もう一つをコンデンサに接続します。
充電曲線を観察し、3.16 V に達するまでの時間を測ります。それが τ です。
抵抗を二倍にして、曲線にかかる時間も二倍になることを確かめます。
インダクタと抵抗で同じことを繰り返し、電圧の代わりに電流を観察します。

練習問題

R = 1 kΩ、C = 470 µF のとき、τ と定常状態に達する時間（5τ）を求めてください。

解答を見る

τ = 1 000 × 470×10⁻⁶ = 0.47 s。5τ = 2.35 s。
τ = 2 s の RC 回路を、9 V の電源で 0 V から充電します。t = 3 s でのコンデンサの電圧はいくらでしょうか。

解答を見る

v_C = 9 × (1 − e^−1.5) = 9 × (1 − 0.2231) = 9 × 0.7769 ≈ 6.99 V。
100 Ω と直列にした 20 mH のインダクタを 12 V に接続します。τ、最終電流、t = τ での電流を求めてください。

解答を見る

τ = 0.02 / 100 = 0.2 ms。最終電流：12 / 100 = 120 mA。t = τ では：0.632 × 120 ≈ 75.9 mA。
25 V に充電した 1 000 µF のコンデンサは、どれだけのエネルギーを蓄えているでしょうか。

解答を見る

E = ½ × 1×10⁻³ × 25² = ½ × 10⁻³ × 625 = 0.3125 J。

コンデンサから見た等価抵抗の求め方は、テブナン・ノートンと重ね合わせで復習しましょう。