Теоремы Тевенена и Нортона, суперпозиция: разобранные примеры

8 мин чтения · Команда bitGateLab

Часто интересует не вся цепь, а то, что происходит с одной её частью: нагрузкой, датчиком, входом следующего каскада. Теоремы Тевенена и Нортона позволяют заменить всё остальное моделью всего из двух элементов, а принцип суперпозиции (наложения) — анализировать источники по одному. Здесь вы изучите все три инструмента, научитесь переходить от одной эквивалентной схемы к другой и узнаете, какая нагрузка получает от источника наибольшую мощность.

Теорема Тевенена

Любая линейная цепь из резисторов и источников со стороны двух выводов a и b ведёт себя в точности как источник напряжения V_th, включённый последовательно с сопротивлением R_th. «В точности» означает, что любая нагрузка, подключённая между a и b, получает одно и то же напряжение и один и тот же ток в обоих случаях.

V_th — напряжение холостого хода между a и b (без нагрузки).
R_th — сопротивление, видимое со стороны a и b при выключенных независимых источниках: источники напряжения заменяют проводом, а источники тока — разрывом цепи.

Слева: исходная цепь со стороны выводов a и b. Справа: её эквивалентная схема Тевенена.

Пример 1. Найдите эквивалентную схему Тевенена для цепи слева.

V_th: без нагрузки ток через R₃ не течёт, поэтому напряжение на нём не падает, и V_ab равно напряжению на R₂. Это делитель: V_th = 12 × 3 / (6 + 3) = 4 V.
R_th: выключите источник 12 V (замените его проводом). Со стороны a вы видите R₃ последовательно с параллельным соединением R₁ и R₂: R_th = 2 + (6 ∥ 3) = 2 + 2 = 4 kΩ.
Например, при нагрузке 4 kΩ ток равен 4 V / (4 + 4) kΩ = 0.5 mA, а напряжение на нагрузке — 2 V. Расчёт полной цепи даёт то же самое, но требует гораздо больше работы.

Теорема Нортона

Та же цепь эквивалентна и источнику тока I_N, включённому параллельно с сопротивлением R_N. I_N — это ток, который течёт, если замкнуть накоротко выводы a и b, а R_N совпадает с R_th. Две модели пересчитываются друг в друга по закону Ома:

R_N = R_th        I_N = V_th / R_th        V_th = I_N · R_N

Пример 2. Найдите эквивалентную схему Нортона той же цепи через ток короткого замыкания и убедитесь, что результат совпадает с пересчётом.

При замкнутых накоротко a и b резистор R₃ оказывается включённым параллельно R₂: 2 ∥ 3 = 1.2 kΩ.
Источник нагружен на 6 + 1.2 = 7.2 kΩ, поэтому отдаёт 12 / 7.2 = 1.667 mA.
Напряжение на параллельном участке равно 1.667 × 1.2 = 2 V, а ток через R₃ (ток короткого замыкания) — 2 V / 2 kΩ = 1 mA.
Пересчётом: I_N = 4 V / 4 kΩ = 1 mA. Совпадает. Эквивалентная схема Нортона — 1 mA параллельно с 4 kΩ.

Важно: если можно измерить напряжение холостого хода и ток короткого замыкания реального источника, вы уже знаете его полную модель: R_th = V_хх / I_кз. Когда короткое замыкание опасно, измерьте напряжение при двух разных известных нагрузках и найдите параметры из уравнений.

Принцип суперпозиции

В линейной цепи с несколькими независимыми источниками любое напряжение или ток равны сумме вкладов каждого источника, действующего в одиночку. Чтобы найти вклад одного источника, выключите все остальные (источник напряжения → провод, источник тока → разрыв), рассчитайте цепь, а в конце сложите вклады с учётом знаков.

Пример 3. Источник V₁ = 12 V подключён к узлу X через R₁ = 6 kΩ, другой источник V₂ = 6 V подходит к тому же узлу через R₃ = 2 kΩ, а между X и землёй включён R₂ = 3 kΩ. Найдите V_X методом суперпозиции.

Только V₁ (V₂ закорочен): R₃ оказывается включённым параллельно R₂, 2 ∥ 3 = 1.2 kΩ. Делитель: V′ = 12 × 1.2 / (6 + 1.2) = 2 V.
Только V₂ (V₁ закорочен): R₁ оказывается включённым параллельно R₂, 6 ∥ 3 = 2 kΩ. Делитель: V″ = 6 × 2 / (2 + 2) = 3 V.
Итого: V_X = 2 + 3 = 5 V.
Проверка методом узловых потенциалов: (12 − V)/6 + (6 − V)/2 = V/3. Умножая на 6: 12 − V + 18 − 3V = 2V, откуда V = 5 V.

Суперпозиция работает для напряжений и токов, но не для мощности, потому что мощность зависит от квадрата. В примере R₂ рассеивает 5² / 3 = 8.33 mW; сумма частичных мощностей дала бы 2²/3 + 3²/3 = 4.33 mW, что неверно.

Максимальная передача мощности

Если подключить нагрузку R_L к эквивалентной схеме Тевенена, мощность в нагрузке равна P = V_th² · R_L / (R_th + R_L)². Эта мощность максимальна при R_L = R_th и составляет:

P_макс = V_th² / (4 R_th)

Для нашего примера (4 V, 4 kΩ):

R_L	Ток	Мощность в R_L
2 kΩ	0.667 mA	0.889 mW
4 kΩ	0.500 mA	1.000 mW
8 kΩ	0.333 mA	0.889 mW

Внимание: в точке максимальной мощности половина энергии теряется в R_th, так что КПД составляет всего 50 %. Поэтому такое согласование применяют для слабых сигналов (антенны, датчики), но не при передаче электроэнергии, где R_L стараются сделать намного больше R_th.

Типичные ошибки

При расчёте R_th убирать источники тока, заменяя их проводом, вместо того чтобы оставить разрыв.
Вычислять V_th при ещё подключённой нагрузке; это должно быть напряжение холостого хода.
Складывать мощности при суперпозиции.
Забывать о знаках при сложении вкладов: источник может и уменьшать напряжение в узле.
Считать, что максимальная передача мощности — это и максимальный КПД.

Попробуйте в симуляторе

Можно убедиться, что со стороны нагрузки исходная цепь и её эквивалент неразличимы. Соберите обе схемы рядом и подключите к каждой одинаковую нагрузку.

Соберите исходную цепь: источник 12 V, R₁ = 6 kΩ, R₂ = 3 kΩ и R₃ = 2 kΩ.
Без нагрузки измерьте мультиметром напряжение между a и b: должно быть 4 V.
Включите амперметр между a и b (короткое замыкание) и убедитесь, что ток равен 1 mA.
Отдельно соберите источник 4 V с последовательным резистором 4 kΩ.
Подключите одну и ту же нагрузку (2 kΩ, 4 kΩ, 8 kΩ) к обеим схемам и сравните напряжение и ток.
Рассчитайте мощность в нагрузке для каждого значения и убедитесь, что она максимальна при 4 kΩ.

Упражнения

Делитель из двух резисторов по 1 kΩ питается от 10 V. Найдите его эквивалентную схему Тевенена со стороны выхода и максимальную мощность, которую он может отдать в нагрузку.

Показать ответ

V_th = 5 V, R_th = 1 ∥ 1 = 500 Ω. P_макс = 5² / (4 × 500) = 12.5 mW при нагрузке 500 Ω.
Эквивалентная схема Нортона некоторой цепи: I_N = 2 mA и R_N = 5 kΩ. Какова её эквивалентная схема Тевенена?

Показать ответ

R_th = 5 kΩ и V_th = 2 mA × 5 kΩ = 10 V.
Источник 9 V подключён к узлу X через 3 kΩ; между X и землёй включено 6 kΩ, а источник тока 3 mA подаёт ток в узел X. Найдите V_X методом суперпозиции.

Показать ответ

Только источник 9 V (источник тока разомкнут): 9 × 6 / 9 = 6 V. Только источник 3 mA (источник напряжения закорочен): 3 mA × (3 ∥ 6 = 2 kΩ) = 6 V. Итого: 12 V. Проверка узловым методом: (9 − 12)/3 + 3 = 2 mA = 12/6.
У выходного каскада V_th = 8 V и R_th = 8 Ω. Какую максимальную мощность он отдаёт и при какой нагрузке?

Показать ответ

При R_L = 8 Ω: P_макс = 64 / 32 = 2 W.

Повторите, как составлять системы уравнений, в теме метод узловых потенциалов и метод контурных токов и переходите к теме конденсаторы, катушки индуктивности и цепи RC и RL.