学习 › 第 5 课
戴维南定理、诺顿定理与叠加定理：附例题详解
阅读约 8 分钟 · bitGateLab 团队
很多时候你关心的不是整个电路，而是其中某一部分的情况：一个负载、一个传感器、下一级的输入端。戴维南定理和诺顿定理让你把其余部分全部替换成只有两个元件的模型，而叠加定理让你每次只分析一个电源。本课将带你学会这三个定理、两种等效电路之间的互换方法，以及什么样的负载能从电源获得最大功率。
戴维南定理
任何由电阻和电源组成的线性网络，从两个端子 a 和 b 看进去，其表现都与一个电压源 Vth 串联一个电阻 Rth 完全相同。“完全相同”的意思是：接在 a 和 b 之间的任何负载，在两种情况下得到的电压和电流都一样。
- Vth 是 a、b 之间的开路电压（不接负载）。
- Rth 是把独立电源置零后，从 a、b 看进去的电阻：电压源用导线代替，电流源用开路代替。
例 1：求左边电路的戴维南等效电路。
- Vth：空载时 R3 中没有电流，所以它上面没有压降，Vab 就是 R2 上的电压。这是一个分压器：Vth = 12 × 3 / (6 + 3) = 4 V。
- Rth：把 12 V 电源置零（用导线代替）。从 a 看进去，是 R3 与 R1、R2 的并联组合相串联：Rth = 2 + (6 ∥ 3) = 2 + 2 = 4 kΩ。
- 例如接上 4 kΩ 的负载，电流为 4 V / (4 + 4) kΩ = 0.5 mA，负载上的电压为 2 V。求解完整的网络会得到相同的结果，但工作量大得多。
诺顿定理
同一个网络也等效于一个电流源 IN 并联一个电阻 RN。IN 是把端子 a 和 b 短路时流过的电流，RN 与 Rth 相同。两种模型可以用欧姆定律互相转换：
RN = Rth IN = Vth / Rth Vth = IN · RN
例 2：通过求短路电流来计算同一电路的诺顿等效电路，并验证它与转换的结果一致。
- 把 a 和 b 短路后，R3 与 R2 并联：2 ∥ 3 = 1.2 kΩ。
- 电源看到的电阻是 6 + 1.2 = 7.2 kΩ，所以它输出 12 / 7.2 = 1.667 mA。
- 并联部分上的电压为 1.667 × 1.2 = 2 V，流过 R3 的电流（即短路电流）为 2 V / 2 kΩ = 1 mA。
- 用转换公式：IN = 4 V / 4 kΩ = 1 mA。结果一致。诺顿等效电路为 1 mA 的电流源并联 4 kΩ。
要点：如果能测出一个实际电源的开路电压和短路电流，就已经知道了它的完整模型：Rth = Voc / Isc。当短路有危险时，可以接上两个不同的已知负载分别测量电压，再求解。
叠加定理
在含多个独立电源的线性电路中，任何电压或电流都等于各个电源单独作用时所产生分量的总和。计算某个电源的贡献时，把其他电源全部置零（电压源 → 导线，电流源 → 开路），求解，最后把各分量带符号相加。
例 3：电源 V1 = 12 V 经 R1 = 6 kΩ 接到节点 X，另一个电源 V2 = 6 V 经 R3 = 2 kΩ 接到同一节点，X 与地之间接有 R2 = 3 kΩ。用叠加定理求 VX。
- 只有 V1 作用（V2 短路）：R3 与 R2 并联，2 ∥ 3 = 1.2 kΩ。分压：V′ = 12 × 1.2 / (6 + 1.2) = 2 V。
- 只有 V2 作用（V1 短路）：R1 与 R2 并联，6 ∥ 3 = 2 kΩ。分压：V″ = 6 × 2 / (2 + 2) = 3 V。
- 合计：VX = 2 + 3 = 5 V。
- 用节点分析法验算：(12 − V)/6 + (6 − V)/2 = V/3。两边乘以 6：12 − V + 18 − 3V = 2V，由此得 V = 5 V。
叠加定理适用于电压和电流，但不适用于功率，因为功率与平方有关。在本例中，R2 耗散 5² / 3 = 8.33 mW；若把各分量的功率相加，则得 2²/3 + 3²/3 = 4.33 mW，这是错误的。
最大功率传输
把负载 RL 接到戴维南等效电路上，负载上的功率为 P = Vth² · RL / (Rth + RL)²。当 RL = Rth 时这个功率最大，其值为：
Pmax = Vth² / (4 Rth)
以本例（4 V，4 kΩ）计算：
| RL | 电流 | RL 上的功率 |
|---|---|---|
| 2 kΩ | 0.667 mA | 0.889 mW |
| 4 kΩ | 0.500 mA | 1.000 mW |
| 8 kΩ | 0.333 mA | 0.889 mW |
注意：在最大功率点，有一半的能量损耗在 Rth 上，所以效率只有 50 %。因此，这种匹配用于微弱信号（天线、传感器），而不用于电力输送——后者要求 RL 远大于 Rth。
常见错误
- 计算 Rth 时，把电流源用导线代替，而不是让它开路。
- 在负载还接着的情况下计算 Vth；它必须是开路电压。
- 在叠加时把功率相加。
- 把各分量相加时忘了符号：某个电源可能使节点电压降低。
- 以为最大功率传输也就是最高效率。
在模拟器中试一试
你可以验证：从负载端看，原电路和它的等效电路无法区分。把两者并排搭建出来，各接上相同的负载。
- 搭建原电路：12 V 电源，R1 = 6 kΩ、R2 = 3 kΩ 和 R3 = 2 kΩ。
- 不接负载，用万用表测量 a 和 b 之间的电压：应显示 4 V。
- 在 a 和 b 之间接一只电流表（短路），观察到 1 mA。
- 另外搭建一个 4 V 电源串联 4 kΩ 电阻的电路。
- 给两个电路接上相同的负载（2 kΩ、4 kΩ、8 kΩ），比较电压和电流。
- 计算每个阻值下负载上的功率，观察它在 4 kΩ 时最大。
练习题
-
由两个 1 kΩ 电阻组成的分压器接在 10 V 上。求从输出端看进去的戴维南等效电路，以及它能向负载提供的最大功率。
查看答案
Vth = 5 V，Rth = 1 ∥ 1 = 500 Ω。Pmax = 5² / (4 × 500) = 12.5 mW，此时负载为 500 Ω。
-
某网络的诺顿等效电路为 IN = 2 mA、RN = 5 kΩ。它的戴维南等效电路是什么？
查看答案
Rth = 5 kΩ，Vth = 2 mA × 5 kΩ = 10 V。
-
一个 9 V 的电源经 3 kΩ 接到节点 X；X 与地之间接有 6 kΩ，另有一个 3 mA 的电流源向节点 X 注入电流。用叠加定理求 VX。
查看答案
只有 9 V 电源作用（电流源开路）：9 × 6 / 9 = 6 V。只有 3 mA 电流源作用（电压源短路）：3 mA × (3 ∥ 6 = 2 kΩ) = 6 V。合计：12 V。用节点分析法验算：(9 − 12)/3 + 3 = 2 mA = 12/6。
-
某输出级的 Vth = 8 V，Rth = 8 Ω。它能输出的最大功率是多少？负载应为多大？
查看答案
当 RL = 8 Ω 时：Pmax = 64 / 32 = 2 W。
可在节点分析法与网孔分析法一课中复习如何列写方程组，然后继续学习电容、电感与 RC、RL 电路。