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Thévenin, Norton e sovrapposizione degli effetti con esempi svolti

8 min di lettura · Team bitGateLab

Spesso non ti interessa l'intero circuito, ma ciò che accade a una sola parte: un carico, un sensore, l'ingresso di un altro stadio. I teoremi di Thévenin e di Norton ti permettono di sostituire tutto il resto con un modello di due soli elementi, e il principio di sovrapposizione ti consente di analizzare un generatore alla volta. Qui imparerai tutti e tre, come passare da un equivalente all'altro e quale carico riceve la massima potenza da un generatore.

Teorema di Thévenin

Qualsiasi rete lineare di resistori e generatori, vista da due morsetti a e b, si comporta esattamente come un generatore di tensione V_th in serie con una resistenza R_th. «Esattamente come» significa che qualsiasi carico collegato tra a e b riceve la stessa tensione e la stessa corrente nei due casi.

V_th è la tensione a vuoto tra a e b (senza carico).
R_th è la resistenza vista da a e b con i generatori indipendenti spenti: quelli di tensione si sostituiscono con un filo e quelli di corrente con un circuito aperto.

A sinistra: la rete originale vista dai morsetti a e b. A destra: il suo equivalente di Thévenin.

Esempio 1. Trova l'equivalente di Thévenin del circuito a sinistra.

V_th: senza carico non passa corrente in R₃, quindi su di esso non cade tensione e V_ab è la tensione su R₂. È un partitore: V_th = 12 × 3 / (6 + 3) = 4 V.
R_th: spegni il generatore da 12 V (sostituiscilo con un filo). Da a vedi R₃ in serie con il parallelo di R₁ e R₂: R_th = 2 + (6 ∥ 3) = 2 + 2 = 4 kΩ.
Con un carico da 4 kΩ, per esempio, la corrente è 4 V / (4 + 4) kΩ = 0.5 mA e la tensione sul carico è 2 V. Risolvendo la rete completa si ottiene lo stesso risultato, ma con molto più lavoro.

Teorema di Norton

La stessa rete equivale anche a un generatore di corrente I_N in parallelo a una resistenza R_N. I_N è la corrente che circola se metti in cortocircuito i morsetti a e b, e R_N coincide con R_th. I due modelli si convertono l'uno nell'altro con la legge di Ohm:

R_N = R_th        I_N = V_th / R_th        V_th = I_N · R_N

Esempio 2. Calcola l'equivalente di Norton dello stesso circuito misurando la corrente di cortocircuito, e verifica che coincida con la conversione.

Con a e b in cortocircuito, R₃ risulta in parallelo a R₂: 2 ∥ 3 = 1.2 kΩ.
Il generatore vede 6 + 1.2 = 7.2 kΩ, quindi eroga 12 / 7.2 = 1.667 mA.
La tensione sul parallelo è 1.667 × 1.2 = 2 V, e la corrente in R₃ (quella di cortocircuito) è 2 V / 2 kΩ = 1 mA.
Per conversione: I_N = 4 V / 4 kΩ = 1 mA. Coincide. L'equivalente di Norton è 1 mA in parallelo a 4 kΩ.

Punto chiave: se puoi misurare la tensione a vuoto e la corrente di cortocircuito di un generatore reale, ne conosci già il modello completo: R_th = V_{a vuoto} / I_corto. Quando il cortocircuito sarebbe pericoloso, misura la tensione con due carichi noti diversi e ricava da lì i parametri.

Principio di sovrapposizione

In un circuito lineare con più generatori indipendenti, qualsiasi tensione o corrente è la somma dei contributi di ciascun generatore che agisce da solo. Per calcolare il contributo di un generatore, spegni tutti gli altri (tensione → filo, corrente → circuito aperto), risolvi, e alla fine sommi i contributi con il loro segno.

Esempio 3. Un generatore V₁ = 12 V è collegato al nodo X attraverso R₁ = 6 kΩ, un altro, V₂ = 6 V, arriva allo stesso nodo attraverso R₃ = 2 kΩ, e tra X e massa c'è R₂ = 3 kΩ. Calcola V_X per sovrapposizione.

Solo V₁ (V₂ in cortocircuito): R₃ risulta in parallelo a R₂, 2 ∥ 3 = 1.2 kΩ. Partitore: V′ = 12 × 1.2 / (6 + 1.2) = 2 V.
Solo V₂ (V₁ in cortocircuito): R₁ risulta in parallelo a R₂, 6 ∥ 3 = 2 kΩ. Partitore: V″ = 6 × 2 / (2 + 2) = 3 V.
Totale: V_X = 2 + 3 = 5 V.
Verifica con l'analisi nodale: (12 − V)/6 + (6 − V)/2 = V/3. Moltiplicando per 6: 12 − V + 18 − 3V = 2V, da cui V = 5 V.

La sovrapposizione vale per tensioni e correnti, ma non per la potenza, perché la potenza dipende dal quadrato. Nell'esempio, R₂ dissipa 5² / 3 = 8.33 mW; sommando le potenze parziali si otterrebbe 2²/3 + 3²/3 = 4.33 mW, che è sbagliato.

Massimo trasferimento di potenza

Se colleghi un carico R_L a un equivalente di Thévenin, la potenza sul carico è P = V_th² · R_L / (R_th + R_L)². Questa potenza è massima quando R_L = R_th, e vale:

P_max = V_th² / (4 R_th)

Con l'esempio (4 V, 4 kΩ):

R_L	Corrente	Potenza su R_L
2 kΩ	0.667 mA	0.889 mW
4 kΩ	0.500 mA	1.000 mW
8 kΩ	0.333 mA	0.889 mW

Attenzione: nel punto di massima potenza metà dell'energia si perde in R_th, quindi il rendimento è solo del 50 %. Per questo si cerca questo adattamento con i segnali deboli (antenne, sensori), ma non nella distribuzione dell'energia, dove si vuole R_L molto maggiore di R_th.

Errori comuni

Nel calcolo di R_th, eliminare i generatori di corrente sostituendoli con un filo invece di lasciarli aperti.
Calcolare V_th con il carico ancora collegato; va calcolata a vuoto.
Sommare le potenze nella sovrapposizione.
Dimenticare i segni quando si sommano i contributi: un generatore può far diminuire la tensione in un nodo.
Credere che il massimo trasferimento di potenza corrisponda anche al massimo rendimento.

Provalo nel simulatore

Puoi verificare che il circuito originale e il suo equivalente sono indistinguibili visti dal carico. Montali entrambi fianco a fianco e collega lo stesso carico a ciascuno.

Monta il circuito originale: sorgente di tensione CC da 12 V, R₁ = 6 kΩ, R₂ = 3 kΩ e R₃ = 2 kΩ.
Senza carico, misura la tensione tra a e b con il multimetro: deve segnare 4 V.
Collega un amperometro tra a e b (cortocircuito) e osserva 1 mA.
Monta a parte una sorgente da 4 V con un resistore da 4 kΩ in serie.
Collega lo stesso carico (2 kΩ, 4 kΩ, 8 kΩ) a entrambi i circuiti e confronta tensione e corrente.
Calcola la potenza sul carico per ogni valore e osserva che è massima con 4 kΩ.

Esercizi

Un partitore con due resistori da 1 kΩ è alimentato a 10 V. Trova il suo equivalente di Thévenin visto dall'uscita e la potenza massima che può fornire a un carico.

Mostra la soluzione

V_th = 5 V, R_th = 1 ∥ 1 = 500 Ω. P_max = 5² / (4 × 500) = 12.5 mW, con un carico da 500 Ω.
Una rete ha equivalente di Norton I_N = 2 mA e R_N = 5 kΩ. Qual è il suo equivalente di Thévenin?

Mostra la soluzione

R_th = 5 kΩ e V_th = 2 mA × 5 kΩ = 10 V.
Un generatore da 9 V è collegato al nodo X attraverso 3 kΩ; tra X e massa ci sono 6 kΩ, e un generatore di corrente da 3 mA inietta corrente nel nodo X. Calcola V_X per sovrapposizione.

Mostra la soluzione

Solo quello da 9 V (generatore di corrente aperto): 9 × 6 / 9 = 6 V. Solo quello da 3 mA (generatore di tensione in cortocircuito): 3 mA × (3 ∥ 6 = 2 kΩ) = 6 V. Totale: 12 V. Verifica nodale: (9 − 12)/3 + 3 = 2 mA = 12/6.
Uno stadio di uscita ha V_th = 8 V e R_th = 8 Ω. Qual è la potenza massima che eroga e con quale carico?

Mostra la soluzione

Con R_L = 8 Ω: P_max = 64 / 32 = 2 W.

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