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Thévenin, Norton und Überlagerung mit gelösten Beispielen

8 Min. Lesezeit · bitGateLab-Team

Oft interessiert dich nicht die ganze Schaltung, sondern nur, was an einem einzigen Teil passiert: an einer Last, einem Sensor, dem Eingang einer weiteren Stufe. Die Theoreme von Thévenin und Norton erlauben dir, alles Übrige durch ein Modell aus nur zwei Elementen zu ersetzen, und der Überlagerungssatz lässt dich eine Quelle nach der anderen untersuchen. Hier lernst du alle drei kennen, wie man das eine Modell in das andere umrechnet und welche Last die maximale Leistung aus einer Quelle erhält.

Thévenin-Theorem

Jedes lineare Netzwerk aus Widerständen und Quellen verhält sich, von zwei Klemmen a und b aus gesehen, genau so wie eine Spannungsquelle V_th in Reihe mit einem Widerstand R_th. „Genau so“ bedeutet, dass jede Last, die zwischen a und b angeschlossen wird, in beiden Fällen dieselbe Spannung und denselben Strom erhält.

V_th ist die Leerlaufspannung zwischen a und b (ohne Last).
R_th ist der Widerstand, den man von a und b aus sieht, wenn die unabhängigen Quellen abgeschaltet sind: Spannungsquellen werden durch einen Draht ersetzt und Stromquellen durch eine Unterbrechung.

Links: ursprüngliches Netzwerk, von den Klemmen a und b aus gesehen. Rechts: seine Thévenin-Ersatzschaltung.

Beispiel 1. Bestimme die Thévenin-Ersatzschaltung der linken Schaltung.

V_th: Ohne Last fließt kein Strom durch R₃, also fällt an ihm keine Spannung ab, und V_ab ist die Spannung an R₂. Das ist ein Spannungsteiler: V_th = 12 × 3 / (6 + 3) = 4 V.
R_th: Schalte die 12-V-Quelle ab (ersetze sie durch einen Draht). Von a aus siehst du R₃ in Reihe mit der Parallelschaltung aus R₁ und R₂: R_th = 2 + (6 ∥ 3) = 2 + 2 = 4 kΩ.
Mit einer Last von beispielsweise 4 kΩ beträgt der Strom 4 V / (4 + 4) kΩ = 0.5 mA und die Spannung an der Last 2 V. Das vollständige Netzwerk zu lösen ergibt dasselbe, aber mit viel mehr Aufwand.

Norton-Theorem

Dasselbe Netzwerk ist auch gleichwertig zu einer Stromquelle I_N parallel zu einem Widerstand R_N. I_N ist der Strom, der fließt, wenn du die Klemmen a und b kurzschließt, und R_N ist gleich R_th. Die beiden Modelle lassen sich mit dem ohmschen Gesetz ineinander umrechnen:

R_N = R_th        I_N = V_th / R_th        V_th = I_N · R_N

Beispiel 2. Berechne die Norton-Ersatzschaltung derselben Schaltung über den Kurzschlussstrom und überprüfe, dass sie mit der Umrechnung übereinstimmt.

Sind a und b kurzgeschlossen, liegt R₃ parallel zu R₂: 2 ∥ 3 = 1.2 kΩ.
Die Quelle sieht 6 + 1.2 = 7.2 kΩ und liefert daher 12 / 7.2 = 1.667 mA.
Die Spannung an der Parallelschaltung beträgt 1.667 × 1.2 = 2 V, und der Strom durch R₃ (der Kurzschlussstrom) ist 2 V / 2 kΩ = 1 mA.
Durch Umrechnung: I_N = 4 V / 4 kΩ = 1 mA. Stimmt überein. Die Norton-Ersatzschaltung besteht aus 1 mA parallel zu 4 kΩ.

Merke: Wenn du die Leerlaufspannung und den Kurzschlussstrom einer realen Quelle messen kannst, kennst du bereits ihr vollständiges Modell: R_th = V_leer / I_kurz. Wäre der Kurzschluss gefährlich, miss die Spannung mit zwei verschiedenen bekannten Lasten und löse auf.

Überlagerungssatz

In einer linearen Schaltung mit mehreren unabhängigen Quellen ist jede Spannung und jeder Strom die Summe der Beiträge der einzelnen Quellen, wenn jede für sich allein wirkt. Um den Beitrag einer Quelle zu berechnen, schaltest du alle anderen ab (Spannung → Draht, Strom → Unterbrechung), löst die Schaltung und addierst am Ende vorzeichenrichtig.

Beispiel 3. Eine Quelle V₁ = 12 V ist über R₁ = 6 kΩ mit dem Knoten X verbunden, eine weitere, V₂ = 6 V, erreicht denselben Knoten über R₃ = 2 kΩ, und von X nach Masse liegt R₂ = 3 kΩ. Berechne V_X durch Überlagerung.

Nur V₁ (V₂ kurzgeschlossen): R₃ liegt parallel zu R₂, 2 ∥ 3 = 1.2 kΩ. Spannungsteiler: V′ = 12 × 1.2 / (6 + 1.2) = 2 V.
Nur V₂ (V₁ kurzgeschlossen): R₁ liegt parallel zu R₂, 6 ∥ 3 = 2 kΩ. Spannungsteiler: V″ = 6 × 2 / (2 + 2) = 3 V.
Gesamt: V_X = 2 + 3 = 5 V.
Probe mit dem Knotenpotentialverfahren: (12 − V)/6 + (6 − V)/2 = V/3. Mit 6 multipliziert: 12 − V + 18 − 3V = 2V, woraus V = 5 V folgt.

Die Überlagerung funktioniert für Spannungen und Ströme, aber nicht für die Leistung, weil die Leistung vom Quadrat abhängt. Im Beispiel setzt R₂ 5² / 3 = 8.33 mW um; die Teilleistungen zu addieren ergäbe 2²/3 + 3²/3 = 4.33 mW, und das ist falsch.

Leistungsanpassung: maximale Leistungsübertragung

Schließt du eine Last R_L an eine Thévenin-Ersatzschaltung an, beträgt die Leistung an der Last P = V_th² · R_L / (R_th + R_L)². Diese Leistung ist maximal, wenn R_L = R_th ist, und beträgt dann:

P_max = V_th² / (4 R_th)

Mit dem Beispiel (4 V, 4 kΩ):

R_L	Strom	Leistung an R_L
2 kΩ	0.667 mA	0.889 mW
4 kΩ	0.500 mA	1.000 mW
8 kΩ	0.333 mA	0.889 mW

Vorsicht: Im Punkt maximaler Leistung geht die Hälfte der Energie in R_th verloren, der Wirkungsgrad beträgt also nur 50 %. Deshalb strebt man diese Anpassung bei schwachen Signalen an (Antennen, Sensoren), aber nicht in der Energieverteilung, wo R_L viel größer als R_th sein soll.

Häufige Fehler

Bei der Berechnung von R_th die Stromquellen durch einen Draht ersetzen, statt sie offen zu lassen.
V_th mit noch angeschlossener Last berechnen; es muss die Leerlaufspannung sein.
Bei der Überlagerung Leistungen addieren.
Beim Addieren der Beiträge die Vorzeichen vergessen: Eine Quelle kann die Spannung an einem Knoten auch verringern.
Glauben, dass die maximale Leistungsübertragung auch den maximalen Wirkungsgrad bedeutet.

Probiere es im Simulator aus

Du kannst nachprüfen, dass die ursprüngliche Schaltung und ihre Ersatzschaltung von der Last aus nicht zu unterscheiden sind. Baue beide nebeneinander auf und schließe an jede dieselbe Last an.

Platziere die ursprüngliche Schaltung: Quelle mit 12 V, R₁ = 6 kΩ, R₂ = 3 kΩ und R₃ = 2 kΩ.
Miss ohne Last die Spannung zwischen a und b mit dem Multimeter: Es muss 4 V anzeigen.
Schließe ein Amperemeter zwischen a und b an (Kurzschluss) und beobachte 1 mA.
Baue daneben eine Quelle mit 4 V und einem Widerstand von 4 kΩ in Reihe auf.
Schließe dieselbe Last (2 kΩ, 4 kΩ, 8 kΩ) an beide Schaltungen an und vergleiche Spannung und Strom.
Berechne die Leistung an der Last für jeden Wert und beobachte, dass sie bei 4 kΩ maximal ist.

Übungen

Ein Teiler aus zwei Widerständen von 1 kΩ wird mit 10 V gespeist. Bestimme seine Thévenin-Ersatzschaltung vom Ausgang aus gesehen und die maximale Leistung, die er an eine Last abgeben kann.

Lösung anzeigen

V_th = 5 V, R_th = 1 ∥ 1 = 500 Ω. P_max = 5² / (4 × 500) = 12.5 mW, mit einer Last von 500 Ω.
Ein Netzwerk hat die Norton-Ersatzschaltung I_N = 2 mA und R_N = 5 kΩ. Wie lautet seine Thévenin-Ersatzschaltung?

Lösung anzeigen

R_th = 5 kΩ und V_th = 2 mA × 5 kΩ = 10 V.
Eine Quelle mit 9 V ist über 3 kΩ mit dem Knoten X verbunden; von X nach Masse liegen 6 kΩ, und eine Stromquelle mit 3 mA speist Strom in den Knoten X ein. Berechne V_X durch Überlagerung.

Lösung anzeigen

Nur die 9-V-Quelle (Stromquelle offen): 9 × 6 / 9 = 6 V. Nur die 3-mA-Quelle (Spannungsquelle kurzgeschlossen): 3 mA × (3 ∥ 6 = 2 kΩ) = 6 V. Gesamt: 12 V. Probe am Knoten: (9 − 12)/3 + 3 = 2 mA = 12/6.
Eine Ausgangsstufe hat V_th = 8 V und R_th = 8 Ω. Welche maximale Leistung gibt sie ab, und mit welcher Last?

Lösung anzeigen

Mit R_L = 8 Ω: P_max = 64 / 32 = 2 W.

Wiederhole in Knotenpotential- und Maschenstromverfahren, wie man Gleichungssysteme aufstellt, und mach weiter mit Kondensatoren, Spulen und RC- und RL-Schaltungen.