Thévenin, Norton et superposition avec exemples résolus

8 min de lecture · Équipe bitGateLab

Bien souvent, ce n'est pas le circuit entier qui vous intéresse, mais ce qui arrive à une seule de ses parties : une charge, un capteur, l'entrée d'un autre étage. Les théorèmes de Thévenin et de Norton vous permettent de remplacer tout le reste par un modèle à deux éléments seulement, et le principe de superposition vous laisse analyser une source à la fois. Ici, vous allez apprendre les trois, comment passer de l'un à l'autre et quelle charge reçoit la puissance maximale d'une source.

Théorème de Thévenin

Tout réseau linéaire de résistances et de sources, vu depuis deux bornes a et b, se comporte exactement comme une source de tension V_th en série avec une résistance R_th. « Exactement comme » signifie que n'importe quelle charge branchée entre a et b reçoit la même tension et le même courant dans les deux cas.

V_th est la tension à vide (en circuit ouvert) entre a et b, sans charge.
R_th est la résistance vue depuis a et b avec les sources indépendantes éteintes : les sources de tension sont remplacées par un fil et les sources de courant par un circuit ouvert.

À gauche : réseau d'origine vu depuis les bornes a et b. À droite : son équivalent de Thévenin.

Exemple 1. Trouvez l'équivalent de Thévenin du circuit de gauche.

V_th : sans charge, aucun courant ne traverse R₃ ; il n'y a donc pas de chute de tension à ses bornes et V_ab est la tension aux bornes de R₂. C'est un diviseur : V_th = 12 × 3 / (6 + 3) = 4 V.
R_th : éteignez la source de 12 V (remplacez-la par un fil). Depuis a, vous voyez R₃ en série avec l'association en parallèle de R₁ et R₂ : R_th = 2 + (6 ∥ 3) = 2 + 2 = 4 kΩ.
Avec une charge de 4 kΩ, par exemple, le courant vaut 4 V / (4 + 4) kΩ = 0.5 mA et la tension aux bornes de la charge est de 2 V. Résoudre le réseau complet donne le même résultat, mais au prix de beaucoup plus de travail.

Théorème de Norton

Le même réseau équivaut aussi à une source de courant I_N en parallèle avec une résistance R_N. I_N est le courant qui circule si vous court-circuitez les bornes a et b, et R_N est identique à R_th. On passe d'un modèle à l'autre avec la loi d'Ohm :

R_N = R_th        I_N = V_th / R_th        V_th = I_N · R_N

Exemple 2. Calculez l'équivalent de Norton du même circuit en mesurant le courant de court-circuit, et vérifiez qu'il coïncide avec la conversion.

Avec a et b en court-circuit, R₃ se retrouve en parallèle avec R₂ : 2 ∥ 3 = 1.2 kΩ.
La source voit 6 + 1.2 = 7.2 kΩ, elle fournit donc 12 / 7.2 = 1.667 mA.
La tension aux bornes de l'association en parallèle est 1.667 × 1.2 = 2 V, et le courant dans R₃ (le courant de court-circuit) est 2 V / 2 kΩ = 1 mA.
Par conversion : I_N = 4 V / 4 kΩ = 1 mA. Les résultats concordent. L'équivalent de Norton est 1 mA en parallèle avec 4 kΩ.

À retenir : si vous pouvez mesurer la tension à vide et le courant de court-circuit d'une source réelle, vous connaissez déjà son modèle complet : R_th = V_vide / I_cc. Lorsque le court-circuit serait dangereux, mesurez la tension avec deux charges connues différentes et déduisez-en la résistance.

Principe de superposition

Dans un circuit linéaire comportant plusieurs sources indépendantes, toute tension ou tout courant est la somme des contributions de chaque source agissant seule. Pour calculer la contribution d'une source, vous éteignez toutes les autres (tension → fil, courant → circuit ouvert), vous résolvez, et à la fin vous additionnez en tenant compte des signes.

Exemple 3. Une source V₁ = 12 V est reliée au nœud X par R₁ = 6 kΩ, une autre, V₂ = 6 V, arrive au même nœud par R₃ = 2 kΩ, et entre X et la masse se trouve R₂ = 3 kΩ. Calculez V_X par superposition.

V₁ seule (V₂ en court-circuit) : R₃ se retrouve en parallèle avec R₂, 2 ∥ 3 = 1.2 kΩ. Diviseur : V′ = 12 × 1.2 / (6 + 1.2) = 2 V.
V₂ seule (V₁ en court-circuit) : R₁ se retrouve en parallèle avec R₂, 6 ∥ 3 = 2 kΩ. Diviseur : V″ = 6 × 2 / (2 + 2) = 3 V.
Total : V_X = 2 + 3 = 5 V.
Vérification par analyse nodale : (12 − V)/6 + (6 − V)/2 = V/3. En multipliant par 6 : 12 − V + 18 − 3V = 2V, d'où V = 5 V.

La superposition fonctionne pour les tensions et les courants, mais pas pour la puissance, car la puissance dépend du carré. Dans l'exemple, R₂ dissipe 5² / 3 = 8.33 mW ; additionner les puissances partielles donnerait 2²/3 + 3²/3 = 4.33 mW, ce qui est faux.

Transfert maximal de puissance

Si vous branchez une charge R_L sur un équivalent de Thévenin, la puissance dans la charge vaut P = V_th² · R_L / (R_th + R_L)². Cette puissance est maximale lorsque R_L = R_th, et vaut alors :

P_max = V_th² / (4 R_th)

Avec l'exemple (4 V, 4 kΩ) :

R_L	Courant	Puissance dans R_L
2 kΩ	0.667 mA	0.889 mW
4 kΩ	0.500 mA	1.000 mW
8 kΩ	0.333 mA	0.889 mW

Attention : au point de puissance maximale, la moitié de l'énergie est perdue dans R_th, si bien que le rendement n'est que de 50 %. C'est pourquoi on recherche cette adaptation pour les signaux faibles (antennes, capteurs), mais pas pour la distribution d'énergie, où l'on veut R_L bien plus grande que R_th.

Erreurs fréquentes

En calculant R_th, supprimer les sources de courant en les remplaçant par un fil au lieu de les laisser en circuit ouvert.
Calculer V_th avec la charge encore branchée ; cela doit se faire en circuit ouvert.
Additionner des puissances en superposition.
Oublier les signes en additionnant les contributions : une source peut retrancher de la tension à un nœud.
Croire que le transfert maximal de puissance correspond aussi au rendement maximal.

Essayez dans le simulateur

Vous pouvez vérifier que le circuit d'origine et son équivalent sont indiscernables du point de vue de la charge. Montez les deux côte à côte et branchez la même charge sur chacun.

Placez le circuit d'origine : source de 12 V, R₁ = 6 kΩ, R₂ = 3 kΩ et R₃ = 2 kΩ.
Sans charge, mesurez la tension entre a et b avec le multimètre : il doit indiquer 4 V.
Branchez un ampèremètre entre a et b (court-circuit) et observez 1 mA.
Montez à part une source de 4 V avec une résistance de 4 kΩ en série.
Branchez la même charge (2 kΩ, 4 kΩ, 8 kΩ) sur les deux circuits et comparez la tension et le courant.
Calculez la puissance dans la charge pour chaque valeur et observez qu'elle est maximale avec 4 kΩ.

Exercices

Un diviseur formé de deux résistances de 1 kΩ est alimenté en 10 V. Trouvez son équivalent de Thévenin vu depuis la sortie et la puissance maximale qu'il peut fournir à une charge.

Voir la réponse

V_th = 5 V, R_th = 1 ∥ 1 = 500 Ω. P_max = 5² / (4 × 500) = 12.5 mW, avec une charge de 500 Ω.
Un réseau a pour équivalent de Norton I_N = 2 mA et R_N = 5 kΩ. Quel est son équivalent de Thévenin ?

Voir la réponse

R_th = 5 kΩ et V_th = 2 mA × 5 kΩ = 10 V.
Une source de 9 V est reliée au nœud X par 3 kΩ ; entre X et la masse se trouvent 6 kΩ, et une source de courant de 3 mA injecte du courant dans le nœud X. Calculez V_X par superposition.

Voir la réponse

Source de 9 V seule (source de courant en circuit ouvert) : 9 × 6 / 9 = 6 V. Source de 3 mA seule (source de tension en court-circuit) : 3 mA × (3 ∥ 6 = 2 kΩ) = 6 V. Total : 12 V. Vérification nodale : (9 − 12)/3 + 3 = 2 mA = 12/6.
Un étage de sortie présente V_th = 8 V et R_th = 8 Ω. Quelle puissance maximale fournit-il, et avec quelle charge ?

Voir la réponse

Avec R_L = 8 Ω : P_max = 64 / 32 = 2 W.

Révisez la mise en équation des systèmes dans analyse nodale et analyse des mailles et poursuivez avec condensateurs, bobines et circuits RC et RL.