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Thévenin, Norton e superposição com exemplos resolvidos

Leitura de 8 min · Equipe bitGateLab

Muitas vezes o que interessa não é o circuito inteiro, mas o que acontece com uma única parte: uma carga, um sensor, a entrada de outro estágio. Os teoremas de Thévenin e de Norton permitem substituir todo o resto por um modelo de apenas dois elementos, e o princípio da superposição deixa você analisar uma fonte de cada vez. Aqui você vai aprender os três, como converter de um para o outro e que carga recebe a máxima potência de uma fonte.

Teorema de Thévenin

Qualquer rede linear de resistores e fontes, vista a partir de dois terminais a e b, comporta-se exatamente como uma fonte de tensão V_th em série com uma resistência R_th. "Exatamente como" significa que qualquer carga ligada entre a e b recebe a mesma tensão e a mesma corrente nos dois casos.

V_th é a tensão de circuito aberto entre a e b (sem carga).
R_th é a resistência vista a partir de a e b com as fontes independentes desligadas: as de tensão são substituídas por um fio e as de corrente por um circuito aberto.

À esquerda: rede original vista a partir dos terminais a e b. À direita: seu equivalente de Thévenin.

Exemplo 1. Encontre o equivalente de Thévenin do circuito da esquerda.

V_th: sem carga não passa corrente por R₃, então não há queda de tensão nele e V_ab é a tensão sobre R₂. É um divisor: V_th = 12 × 3 / (6 + 3) = 4 V.
R_th: desligue a fonte de 12 V (substitua-a por um fio). A partir de a você vê R₃ em série com o paralelo de R₁ e R₂: R_th = 2 + (6 ∥ 3) = 2 + 2 = 4 kΩ.
Com uma carga de 4 kΩ, por exemplo, a corrente é 4 V / (4 + 4) kΩ = 0.5 mA e a tensão na carga é 2 V. Resolver a rede completa dá o mesmo resultado, mas com muito mais trabalho.

Teorema de Norton

A mesma rede também equivale a uma fonte de corrente I_N em paralelo com uma resistência R_N. I_N é a corrente que circula se você colocar em curto os terminais a e b, e R_N é a mesma R_th. Os dois modelos se convertem um no outro pela lei de Ohm:

R_N = R_th        I_N = V_th / R_th        V_th = I_N · R_N

Exemplo 2. Calcule o equivalente de Norton do mesmo circuito medindo a corrente de curto-circuito e verifique que ela coincide com a conversão.

Com a e b em curto, R₃ fica em paralelo com R₂: 2 ∥ 3 = 1.2 kΩ.
A fonte enxerga 6 + 1.2 = 7.2 kΩ, portanto fornece 12 / 7.2 = 1.667 mA.
A tensão sobre o paralelo é 1.667 × 1.2 = 2 V, e a corrente por R₃ (a de curto-circuito) é 2 V / 2 kΩ = 1 mA.
Por conversão: I_N = 4 V / 4 kΩ = 1 mA. Confere. O equivalente de Norton é 1 mA em paralelo com 4 kΩ.

Ponto-chave: se você consegue medir a tensão de circuito aberto e a corrente de curto-circuito de uma fonte real, já conhece o modelo completo dela: R_th = V_aberto / I_curto. Quando o curto-circuito for perigoso, meça a tensão com duas cargas conhecidas diferentes e resolva as equações.

Princípio da superposição

Em um circuito linear com várias fontes independentes, qualquer tensão ou corrente é a soma das contribuições de cada fonte atuando sozinha. Para calcular a contribuição de uma fonte, você desliga todas as outras (tensão → fio, corrente → aberto), resolve e, no final, soma cada parcela com seu sinal.

Exemplo 3. Uma fonte V₁ = 12 V é ligada ao nó X por R₁ = 6 kΩ, outra, V₂ = 6 V, chega ao mesmo nó por R₃ = 2 kΩ, e de X ao terra há R₂ = 3 kΩ. Calcule V_X por superposição.

Só V₁ (V₂ em curto): R₃ fica em paralelo com R₂, 2 ∥ 3 = 1.2 kΩ. Divisor: V′ = 12 × 1.2 / (6 + 1.2) = 2 V.
Só V₂ (V₁ em curto): R₁ fica em paralelo com R₂, 6 ∥ 3 = 2 kΩ. Divisor: V″ = 6 × 2 / (2 + 2) = 3 V.
Total: V_X = 2 + 3 = 5 V.
Verificação com análise nodal: (12 − V)/6 + (6 − V)/2 = V/3. Multiplicando por 6: 12 − V + 18 − 3V = 2V, de onde V = 5 V.

A superposição funciona para tensões e correntes, mas não para a potência, porque a potência depende do quadrado. No exemplo, R₂ dissipa 5² / 3 = 8.33 mW; somar as potências parciais daria 2²/3 + 3²/3 = 4.33 mW, o que está errado.

Máxima transferência de potência

Se você ligar uma carga R_L a um equivalente de Thévenin, a potência na carga é P = V_th² · R_L / (R_th + R_L)². Essa potência é máxima quando R_L = R_th, e vale:

P_máx = V_th² / (4 R_th)

Com o exemplo (4 V, 4 kΩ):

R_L	Corrente	Potência em R_L
2 kΩ	0.667 mA	0.889 mW
4 kΩ	0.500 mA	1.000 mW
8 kΩ	0.333 mA	0.889 mW

Atenção: no ponto de máxima potência, metade da energia se perde em R_th, de modo que a eficiência é de apenas 50 %. Por isso esse casamento é buscado em sinais fracos (antenas, sensores), mas não na distribuição de energia, onde se quer R_L muito maior que R_th.

Erros comuns

Ao calcular R_th, eliminar as fontes de corrente substituindo-as por um fio em vez de deixá-las abertas.
Calcular V_th com a carga ainda ligada; deve ser em circuito aberto.
Somar potências na superposição.
Esquecer os sinais ao somar contribuições: uma fonte pode subtrair tensão em um nó.
Acreditar que a máxima transferência de potência é também a máxima eficiência.

Experimente no simulador

Você pode comprovar que o circuito original e seu equivalente são indistinguíveis do ponto de vista da carga. Monte os dois lado a lado e ligue a mesma carga a cada um.

Monte o circuito original: fonte de 12 V, R₁ = 6 kΩ, R₂ = 3 kΩ e R₃ = 2 kΩ.
Sem carga, meça a tensão entre a e b com o multímetro: deve marcar 4 V.
Ligue um amperímetro entre a e b (curto) e observe 1 mA.
Monte à parte uma fonte de 4 V com um resistor de 4 kΩ em série.
Ligue a mesma carga (2 kΩ, 4 kΩ, 8 kΩ) aos dois circuitos e compare tensão e corrente.
Calcule a potência na carga para cada valor e observe que ela é máxima com 4 kΩ.

Exercícios

Um divisor com dois resistores de 1 kΩ é alimentado com 10 V. Encontre seu equivalente de Thévenin visto a partir da saída e a potência máxima que ele pode fornecer a uma carga.

Ver resposta

V_th = 5 V, R_th = 1 ∥ 1 = 500 Ω. P_máx = 5² / (4 × 500) = 12.5 mW, com uma carga de 500 Ω.
Uma rede tem equivalente de Norton I_N = 2 mA e R_N = 5 kΩ. Qual é o seu equivalente de Thévenin?

Ver resposta

R_th = 5 kΩ e V_th = 2 mA × 5 kΩ = 10 V.
Uma fonte de 9 V é ligada ao nó X por 3 kΩ; de X ao terra há 6 kΩ, e uma fonte de corrente de 3 mA injeta corrente no nó X. Calcule V_X por superposição.

Ver resposta

Só a de 9 V (fonte de corrente aberta): 9 × 6 / 9 = 6 V. Só a de 3 mA (fonte de tensão em curto): 3 mA × (3 ∥ 6 = 2 kΩ) = 6 V. Total: 12 V. Verificação nodal: (9 − 12)/3 + 3 = 2 mA = 12/6.
Um estágio de saída tem V_th = 8 V e R_th = 8 Ω. Qual é a potência máxima que ele fornece e com que carga?

Ver resposta

Com R_L = 8 Ω: P_máx = 64 / 32 = 2 W.

Revise como montar sistemas em análise nodal e de malhas e continue com capacitores, indutores e circuitos RC e RL.