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学习 › 第 3 课

电阻的串联与并联、分压器、分流器与负载效应

阅读约 7 分钟 · bitGateLab 团队

许多电路在求解之前可以先化简：把几个电阻换成一个等效电阻，问题就变成了单回路电路。由同一思路还衍生出电子学中最常用的两种电路：分压器和分流器。本课将带你学会化简串并联组合、设计分压器和分流器，并认识负载效应——这正是计算无误的分压器有时输出电压与预期不符的原因。

电阻的串联

当两个或多个电阻流过同一个电流、中间没有分走部分电流的节点时，它们就是串联的。等效电阻等于各电阻之和：

Req = R1 + R2 + … + Rn

串联等效电阻总是大于其中最大的电阻。例如，1 kΩ + 2.2 kΩ + 4.7 kΩ = 7.9 kΩ。

电阻的并联

当所有电阻都接在同一对节点之间、因而电压相同时，它们就是并联的。这时相加的是电导（G = 1/R，单位为西门子）：

1/Req = 1/R1 + 1/R2 + … + 1/Rn

只有两个电阻时有一个捷径：Req = (R1 · R2) / (R1 + R2)，即“积除以和”。并联等效电阻总是小于其中最小的电阻。两个相同的电阻并联，结果是一半：1 kΩ ∥ 1 kΩ = 500 Ω。

例 1：计算 1 kΩ ∥ 2.2 kΩ ∥ 4.7 kΩ。

  1. 以 mS 为单位的电导：1/1 = 1，1/2.2 = 0.4545，1/4.7 = 0.2128。
  2. 求和：1 + 0.4545 + 0.2128 = 1.6673 mS。
  3. Req = 1 / 1.6673 mS = 0.5998 kΩ ≈ 600 Ω，小于 1 kΩ，符合预期。

混联电路要分步化简，由内向外：先处理明显是串联或并联的组合，再把结果与下一部分合并，直到只剩一个电阻。

分压器

两个串联电阻接在电源上，会按阻值的比例分配电压。R2（下面那个接地的电阻）上的电压为：

Vout = Vin · R2 / (R1 + R2)

它可以用来获得参考电压、把较大的信号调整到转换器输入端所能接受的范围，或者读取电阻式传感器，例如光敏电阻或热敏电阻。

+ − Vin R1 R2 RL Vout 0 V
分压器 R1–R2。如果在输出端接上负载 RL，它就与 R2 并联。

例 2：已知 Vin = 12 V、R1 = 10 kΩ、R2 = 4.7 kΩ，不接负载，Vout 是多少？

  1. Vout = 12 × 4.7 / (10 + 4.7) = 12 × 4.7 / 14.7。
  2. Vout = 56.4 / 14.7 = 3.84 V。
  3. 分压器的电流：12 V / 14.7 kΩ = 0.816 mA。验算：0.816 mA × 4.7 kΩ = 3.84 V。

要设计一个分压器，先选定 R2，再解出：R1 = R2 · (Vin/Vout − 1)。

分流器

电流到达两个并联的电阻时会被分开，其中大部分流过阻值较小的那个。对于两条支路：

I1 = I总 · R2 / (R1 + R2)        I2 = I总 · R1 / (R1 + R2)

注意分子上是另一条支路的电阻。支路多于两条时，用电导更方便：Ik = I总 · Gk / G总。

例 3：10 mA 的电流流入 R1 = 1 kΩ 与 R2 = 4 kΩ 的并联组合。每个电阻流过多少电流？

  1. I1 = 10 × 4 / (1 + 4) = 8 mA。
  2. I2 = 10 × 1 / 5 = 2 mA。
  3. 验算：两者电压相同，8 mA × 1 kΩ = 8 V，2 mA × 4 kΩ = 8 V。并且 8 + 2 = 10 mA。

负载效应

分压公式假设输出端不取用电流。一旦接上东西（下一级电路、传感器、测量仪表），这个负载 RL 就与 R2 并联，下臂的有效电阻变小，输出电压也随之下降。这种现象叫做负载效应。

例 4：一个 10 V 的分压器，R1 = R2 = 10 kΩ，空载时输出 5 V。接上 RL = 10 kΩ 会怎样？接上 RL = 1 MΩ 呢？

  1. 当 RL = 10 kΩ 时：R2 ∥ RL = 5 kΩ。Vout = 10 × 5 / (10 + 5) = 3.33 V。电压少了三分之一！
  2. 当 RL = 1 MΩ 时：R2 ∥ RL = 9.901 kΩ。Vout = 10 × 9.901 / 19.901 = 4.975 V，仅低了 0.5 %。

要点：分压器相当于一个内阻为 R1 ∥ R2（本例中为 5 kΩ）的电源。经验法则是：负载至少要比这个内阻大 10 倍，误差才能保持在大约 10 % 以内；若要误差小于 1 %，则需大约 100 倍。万用表本身也是负载：用一只 10 MΩ 的表去测量由 1 MΩ 和 1 MΩ 组成的分压器，读数会是 4.76 V 而不是 5 V。

常见错误

在模拟器中试一试

亲眼看到负载效应实时变化，理解起来要容易得多。搭建例 4 的分压器，试试不同的负载。

  1. 放置一个 10 V 的直流电源，并在它两端串联接入两个 10 kΩ 的电阻。
  2. 把万用表接在中点与地之间，观察 5 V 的读数。
  3. 在下面的电阻上并联一个 10 kΩ 的负载电阻，观察电压降到 3.33 V。
  4. 把负载改为 100 kΩ，再改为 1 MΩ；记录每种情况下的电压。
  5. 放置两个并联的电阻，测量每条支路的电流，验证分流公式。

练习题

  1. 一个 100 Ω 的电阻与 200 Ω 和 300 Ω 的并联组合相串联。求等效电阻。

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    200 ∥ 300 = 60 000 / 500 = 120 Ω。Req = 100 + 120 = 220 Ω。

  2. 你需要用分压器从 9 V 得到 3.3 V。若 R2 = 3.3 kΩ，R1 应取多大？

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    R1 = 3.3 × (9/3.3 − 1) = 3.3 × 1.7273 = 5.7 kΩ。验算：9 × 3.3 / (5.7 + 3.3) = 9 × 3.3 / 9 = 3.3 V。

  3. 30 mA 的电流流入 2 kΩ、3 kΩ 和 6 kΩ 三个并联电阻。每个电阻流过多少电流？

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    电导：0.5 + 0.3333 + 0.1667 = 1 mS，所以 Req = 1 kΩ，公共电压为 30 mA × 1 kΩ = 30 V。电流：30/2 = 15 mA，30/3 = 10 mA，30/6 = 5 mA。总和：30 mA。

  4. 一个 12 V 的分压器，R1 = R2 = 2 kΩ，给一个 2 kΩ 的负载供电。带负载和不带负载时的输出电压各是多少？

    查看答案

    空载：6 V。带负载：R2 ∥ RL = 1 kΩ，Vout = 12 × 1 / (2 + 1) = 4 V。

如果电路无法用串并联化简，请继续学习节点分析法与网孔分析法。