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Análisis nodal y de mallas paso a paso con ejemplo resuelto

Lectura de 8 min · Equipo bitGateLab

Cuando un circuito ya no se puede reducir con combinaciones serie y paralelo, aplicar las leyes de Kirchhoff "a mano", rama por rama, se vuelve desordenado. El análisis nodal y el análisis de mallas son dos recetas sistemáticas que siempre funcionan: eliges unas pocas incógnitas, escribes una ecuación por cada una y resuelves el sistema. Aquí vas a aprender ambos métodos, a escribir las ecuaciones casi por inspección y a resolver un ejemplo completo de tres nodos.

La idea del análisis nodal

En lugar de buscar cada corriente, buscas los voltajes de nodo: el voltaje de cada nodo respecto a uno que eliges como referencia (tierra, 0 V). Una vez que conoces todos los voltajes de nodo, cualquier corriente sale con la ley de Ohm: la corriente en una resistencia entre los nodos a y b es (V_a − V_b) / R.

El procedimiento es:

Elige el nodo de referencia; normalmente el que tiene más conexiones o el polo negativo de la fuente principal.
Nombra los demás nodos: V₁, V₂, …. Si hay n nodos, tendrás n − 1 incógnitas.
En cada nodo escribe la LCK: la suma de las corrientes que salen por las resistencias es igual a la suma de las corrientes que las fuentes inyectan al nodo.
Resuelve el sistema y calcula las corrientes que necesites.

Ejemplo de tres nodos

El circuito de la figura tiene tres nodos además de tierra. Una fuente de corriente I_A = 9 mA inyecta corriente al nodo 1 y otra I_B = 2 mA al nodo 3. Las resistencias son: R₁₂ = 1 kΩ y R₂₃ = 1 kΩ entre nodos, y a tierra R₁ = 2 kΩ, R₂ = 3 kΩ y R₃ = 1 kΩ.

Circuito de tres nodos. Las flechas de las fuentes indican que inyectan corriente hacia los nodos 1 y 3; el nodo inferior es la referencia.

Ejemplo 1. Calcula V₁, V₂ y V₃. Trabaja en volts, kΩ y mA para evitar potencias de diez (1/kΩ = mS).

Nodo 1: salen corriente a tierra por 2 kΩ y hacia el nodo 2 por 1 kΩ; entran 9 mA. V₁/2 + (V₁ − V₂)/1 = 9, es decir, 1.5 V₁ − V₂ = 9.
Nodo 2: salen hacia el nodo 1, hacia el nodo 3 y a tierra por 3 kΩ; no hay fuente. (V₂ − V₁)/1 + (V₂ − V₃)/1 + V₂/3 = 0. Multiplica por 3: −3 V₁ + 7 V₂ − 3 V₃ = 0.
Nodo 3: salen hacia el nodo 2 y a tierra por 1 kΩ; entran 2 mA. (V₃ − V₂)/1 + V₃/1 = 2, es decir, −V₂ + 2 V₃ = 2.
De la ecuación 1: V₁ = 6 + (2/3) V₂. De la 3: V₃ = 1 + V₂/2.
Sustituye en la 2: −3(6 + 2V₂/3) + 7V₂ − 3(1 + V₂/2) = 0 → −18 − 2V₂ + 7V₂ − 3 − 1.5V₂ = 0 → 3.5 V₂ = 21.
V₂ = 6 V, V₁ = 6 + 4 = 10 V, V₃ = 1 + 3 = 4 V.

Corrientes. R₁₂: (10 − 6)/1 = 4 mA del nodo 1 al 2. R₂₃: (6 − 4)/1 = 2 mA del 2 al 3. A tierra: 10/2 = 5 mA, 6/3 = 2 mA y 4/1 = 4 mA.

Comprobación con LCK. Nodo 1: entran 9, salen 5 + 4 = 9. Nodo 2: entran 4, salen 2 + 2 = 4. Nodo 3: entran 2 + 2 = 4, salen 4. Correcto.

Forma matricial: escribir por inspección

Si el circuito solo tiene resistencias y fuentes de corriente, el sistema tiene la forma G · V = I y se puede escribir sin pensar en signos:

En la diagonal (G₁₁, G₂₂, …) va la suma de las conductancias conectadas a ese nodo.
Fuera de la diagonal (G₁₂, …) va el negativo de la conductancia que une esos dos nodos.
En el vector derecho va la corriente que las fuentes inyectan a cada nodo.

Para el ejemplo, en mS y mA:

| 1.5    −1      0 | |V1|   | 9 |
| −1    2.333   −1 | |V2| = | 0 |
|  0     −1      2 | |V3|   | 2 |

La matriz es simétrica, una buena señal de que no te equivocaste. Este es el mismo tipo de sistema que resuelve internamente un simulador de circuitos al hacer el análisis de CD. Si hay una fuente de voltaje entre un nodo y tierra, ese nodo ya es conocido y desaparece como incógnita; si está entre dos nodos, se agrupan en un supernodo.

Análisis de mallas

El método dual usa como incógnitas las corrientes de malla: una corriente ficticia que circula alrededor de cada malla, por convención en sentido horario. La corriente real de una rama compartida es la diferencia de las dos corrientes de malla que pasan por ella. En cada malla escribes la LVK.

Por inspección: en la diagonal va la suma de las resistencias de la malla, fuera de la diagonal el negativo de la resistencia compartida, y del lado derecho la suma de las fuentes de voltaje que empujan en el sentido de la corriente de malla.

Ejemplo 2. Malla izquierda: fuente de 10 V (positivo arriba) en la rama izquierda y R₁ = 1 kΩ en el tramo superior. Rama central compartida: R₂ = 2 kΩ. Malla derecha: R₃ = 1 kΩ en el tramo superior y R₄ = 1 kΩ en la rama derecha. Calcula las corrientes.

Malla 1 (I₁, horaria): (1 + 2) I₁ − 2 I₂ = 10.
Malla 2 (I₂, horaria): −2 I₁ + (2 + 1 + 1) I₂ = 0, así que I₁ = 2 I₂.
Sustituye: 3(2I₂) − 2I₂ = 10 → 4I₂ = 10 → I₂ = 2.5 mA e I₁ = 5 mA.
Corriente real en R₂: I₁ − I₂ = 2.5 mA hacia abajo, con 2.5 × 2 = 5 V entre sus terminales.
Comprobación por otro camino: R₃ + R₄ = 2 kΩ queda en paralelo con R₂ (1 kΩ equivalente), en serie con R₁: 10 V / 2 kΩ = 5 mA. Coincide con I₁.

¿Cuál conviene? Cuenta incógnitas. El análisis nodal necesita n − 1 ecuaciones (nodos menos uno); el de mallas necesita b − n + 1 (ramas menos nodos más uno). Elige el que dé menos. Con fuentes de corriente suele ganar el nodal; con fuentes de voltaje en serie, el de mallas.

Errores comunes

Escribir en un mismo nodo unas corrientes como "salen" y otras como "entran" sin respetar la convención elegida.
En la forma matricial, poner positiva la conductancia entre nodos fuera de la diagonal.
Olvidar la resistencia compartida al sumar la diagonal de una malla.
Confundir corriente de malla con corriente de rama en las ramas compartidas.
Dejar unidades mezcladas (ohms con miliamperes); decide un sistema, como V, kΩ y mA, y respétalo.

Pruébalo en el simulador

El análisis de CD del simulador muestra los voltajes de nodo directamente, así que es la forma más rápida de verificar tu sistema de ecuaciones.

Coloca dos fuentes de corriente de CD, de 9 mA y 2 mA, apuntando hacia los nodos 1 y 3.
Coloca las cinco resistencias y conéctalas como en la figura, con el nodo inferior a tierra.
Ejecuta el análisis de CD y observa los voltajes de los tres nodos: deben ser 10 V, 6 V y 4 V.
Mide la corriente en R₁₂ y R₂₃ con el multímetro.
Cambia I_B a 0 mA y compara con el ejercicio 1.

Ejercicios

En el ejemplo de tres nodos apaga la fuente I_B (0 mA). Calcula V₁, V₂ y V₃.

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Ahora la ecuación 3 es −V₂ + 2V₃ = 0, así que V₃ = V₂/2. Sustituyendo: −18 − 2V₂ + 7V₂ − 1.5V₂ = 0 → V₂ = 18/3.5 = 36/7 ≈ 5.143 V. Entonces V₁ = 6 + (2/3)(5.143) ≈ 9.429 V y V₃ ≈ 2.571 V.
En el ejemplo de mallas cambias la fuente a 20 V. ¿Cuánto valen I₁ e I₂?

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El circuito es lineal: todo se duplica. I₁ = 10 mA, I₂ = 5 mA.
Un circuito tiene 5 nodos (contando tierra) y 7 ramas. ¿Cuántas ecuaciones necesitas con cada método?

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Nodal: 5 − 1 = 4 ecuaciones. Mallas: 7 − 5 + 1 = 3 ecuaciones. Conviene el de mallas.
Al ejemplo de mallas agrega en la rama derecha una fuente de 6 V cuya polaridad empuja I₂ en sentido horario. Calcula I₁, I₂ y la corriente en R₂.

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Ecuaciones: 3I₁ − 2I₂ = 10 y −2I₁ + 4I₂ = 6. De la segunda, I₁ = 2I₂ − 3. Sustituyendo: 6I₂ − 9 − 2I₂ = 10 → I₂ = 4.75 mA, I₁ = 6.5 mA. En R₂: 6.5 − 4.75 = 1.75 mA hacia abajo.

Para simplificar redes grandes vistas desde una carga, sigue con Thévenin, Norton y superposición. Si necesitas repasar, revisa las leyes de Kirchhoff.