Lernen › Thema 4

Knotenpotential- und Maschenstromverfahren Schritt für Schritt mit Beispiel

8 Min. Lesezeit · bitGateLab-Team

Wenn sich eine Schaltung nicht mehr mit Reihen- und Parallelkombinationen zusammenfassen lässt, wird es unübersichtlich, die kirchhoffschen Gesetze „von Hand“ Zweig für Zweig anzuwenden. Das Knotenpotentialverfahren und das Maschenstromverfahren sind zwei systematische Rezepte, die immer funktionieren: Du wählst einige wenige Unbekannte, schreibst für jede eine Gleichung auf und löst das System. Hier lernst du beide Verfahren kennen, schreibst die Gleichungen fast durch bloßes Hinsehen auf und löst ein vollständiges Beispiel mit drei Knoten.

Die Idee des Knotenpotentialverfahrens

Statt jeden einzelnen Strom zu suchen, suchst du die Knotenspannungen: die Spannung jedes Knotens gegenüber einem Knoten, den du als Bezug wählst (Masse, 0 V). Sobald du alle Knotenspannungen kennst, ergibt sich jeder Strom aus dem ohmschen Gesetz: Der Strom durch einen Widerstand zwischen den Knoten a und b ist (V_a − V_b) / R.

Das Vorgehen ist:

1. Wähle den Bezugsknoten; normalerweise den mit den meisten Verbindungen oder den Minuspol der Hauptquelle.
2. Benenne die übrigen Knoten: V₁, V₂, …. Bei n Knoten hast du n − 1 Unbekannte.
3. Schreibe an jedem Knoten die Knotenregel auf: Die Summe der Ströme, die über die Widerstände abfließen, ist gleich der Summe der Ströme, die die Quellen in den Knoten einspeisen.
4. Löse das System und berechne die Ströme, die du brauchst.

Beispiel mit drei Knoten

Die Schaltung im Bild hat außer Masse drei Knoten. Eine Stromquelle I_A = 9 mA speist Strom in den Knoten 1 ein und eine weitere, I_B = 2 mA, in den Knoten 3. Die Widerstände sind: R₁₂ = 1 kΩ und R₂₃ = 1 kΩ zwischen den Knoten sowie gegen Masse R₁ = 2 kΩ, R₂ = 3 kΩ und R₃ = 1 kΩ.

Matrixform: Aufstellen durch Hinsehen

Enthält die Schaltung nur Widerstände und Stromquellen, hat das System die Form G · V = I und lässt sich aufschreiben, ohne über Vorzeichen nachzudenken:

• Auf der Diagonalen (G₁₁, G₂₂, …) steht die Summe der Leitwerte, die an diesem Knoten angeschlossen sind.
• Außerhalb der Diagonalen (G₁₂, …) steht der negative Leitwert, der diese beiden Knoten verbindet.
• Im Vektor auf der rechten Seite steht der Strom, den die Quellen in den jeweiligen Knoten einspeisen.

Für das Beispiel, in mS und mA:

| 1.5    −1      0 | |V1|   | 9 |
| −1    2.333   −1 | |V2| = | 0 |
|  0     −1      2 | |V3|   | 2 |

Die Matrix ist symmetrisch, ein gutes Zeichen dafür, dass du dich nicht vertan hast. Genau diese Art von System löst ein Schaltungssimulator intern, wenn er die DC-Analyse durchführt. Liegt eine Spannungsquelle zwischen einem Knoten und Masse, ist dieser Knoten bereits bekannt und entfällt als Unbekannte; liegt sie zwischen zwei Knoten, werden diese zu einem Superknoten zusammengefasst.

Maschenstromverfahren

Das duale Verfahren verwendet als Unbekannte die Maschenströme: einen gedachten Strom, der in jeder Masche umläuft, vereinbarungsgemäß im Uhrzeigersinn. Der tatsächliche Strom eines gemeinsamen Zweigs ist die Differenz der beiden Maschenströme, die durch ihn fließen. In jeder Masche schreibst du die Maschenregel auf.

Durch Hinsehen: Auf der Diagonalen steht die Summe der Widerstände der Masche, außerhalb der Diagonalen der negative gemeinsame Widerstand und auf der rechten Seite die Summe der Spannungsquellen, die in Richtung des Maschenstroms antreiben.

Häufige Fehler

• An ein und demselben Knoten manche Ströme als „abfließend“ und andere als „zufließend“ ansetzen, ohne die gewählte Konvention einzuhalten.
• In der Matrixform den Leitwert zwischen zwei Knoten außerhalb der Diagonalen positiv eintragen.
• Den gemeinsamen Widerstand vergessen, wenn man die Diagonale einer Masche aufsummiert.
• In den gemeinsamen Zweigen Maschenstrom und Zweigstrom verwechseln.
• Einheiten vermischt lassen (Ohm mit Milliampere); lege dich auf ein System fest, etwa V, kΩ und mA, und bleibe dabei.

Probiere es im Simulator aus

Die DC-Analyse des Simulators zeigt die Knotenspannungen direkt an und ist damit der schnellste Weg, dein Gleichungssystem zu überprüfen.

1. Platziere zwei Gleichstromquellen mit 9 mA und 2 mA, die auf die Knoten 1 und 3 zeigen.
2. Platziere die fünf Widerstände und verbinde sie wie im Bild, mit dem unteren Knoten an Masse.
3. Starte die DC-Analyse und sieh dir die Spannungen der drei Knoten an: Sie müssen 10 V, 6 V und 4 V betragen.
4. Miss den Strom durch R₁₂ und R₂₃ mit dem Multimeter.
5. Ändere I_B auf 0 mA und vergleiche mit Übung 1.

Übungen

1. Schalte im Beispiel mit drei Knoten die Quelle I_B ab (0 mA). Berechne V₁, V₂ und V₃.

   Lösung anzeigen

   Jetzt lautet Gleichung 3: −V₂ + 2V₃ = 0, also V₃ = V₂/2. Eingesetzt: −18 − 2V₂ + 7V₂ − 1.5V₂ = 0 → V₂ = 18/3.5 = 36/7 ≈ 5.143 V. Damit ist V₁ = 6 + (2/3)(5.143) ≈ 9.429 V und V₃ ≈ 2.571 V.

2. Im Maschenbeispiel änderst du die Quelle auf 20 V. Wie groß sind I₁ und I₂?

   Lösung anzeigen

   Die Schaltung ist linear: Alles verdoppelt sich. I₁ = 10 mA, I₂ = 5 mA.

3. Eine Schaltung hat 5 Knoten (Masse mitgezählt) und 7 Zweige. Wie viele Gleichungen brauchst du mit jedem Verfahren?

   Lösung anzeigen

   Knotenpotentialverfahren: 5 − 1 = 4 Gleichungen. Maschenstromverfahren: 7 − 5 + 1 = 3 Gleichungen. Das Maschenstromverfahren ist günstiger.

4. Füge im Maschenbeispiel im rechten Zweig eine Quelle mit 6 V hinzu, deren Polarität I₂ im Uhrzeigersinn antreibt. Berechne I₁, I₂ und den Strom durch R₂.

   Lösung anzeigen

   Gleichungen: 3I₁ − 2I₂ = 10 und −2I₁ + 4I₂ = 6. Aus der zweiten folgt I₁ = 2I₂ − 3. Eingesetzt: 6I₂ − 9 − 2I₂ = 10 → I₂ = 4.75 mA, I₁ = 6.5 mA. Durch R₂: 6.5 − 4.75 = 1.75 mA nach unten.

Um große Netzwerke aus Sicht einer Last zu vereinfachen, mach weiter mit Thévenin, Norton und Überlagerung. Wenn du etwas auffrischen möchtest, sieh dir noch einmal die kirchhoffschen Gesetze an.