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Analisi nodale e delle maglie passo per passo con esempio svolto

8 min di lettura · Team bitGateLab

Quando un circuito non si può più ridurre con combinazioni in serie e in parallelo, applicare le leggi di Kirchhoff «a mano», ramo per ramo, diventa caotico. L'analisi nodale e l'analisi delle maglie sono due ricette sistematiche che funzionano sempre: scegli poche incognite, scrivi un'equazione per ciascuna e risolvi il sistema. Qui imparerai entrambi i metodi, a scrivere le equazioni quasi per ispezione e a risolvere un esempio completo a tre nodi.

L'idea dell'analisi nodale

Invece di cercare ogni corrente, cerchi le tensioni di nodo: la tensione di ogni nodo rispetto a uno che scegli come riferimento (massa, 0 V). Una volta note tutte le tensioni di nodo, qualsiasi corrente si ricava con la legge di Ohm: la corrente in un resistore tra i nodi a e b è (V_a − V_b) / R.

Il procedimento è:

Scegli il nodo di riferimento; di solito quello con più collegamenti o il polo negativo del generatore principale.
Dai un nome agli altri nodi: V₁, V₂, …. Se ci sono n nodi, avrai n − 1 incognite.
In ogni nodo scrivi la KCL: la somma delle correnti che escono attraverso i resistori è uguale alla somma delle correnti che i generatori iniettano nel nodo.
Risolvi il sistema e calcola le correnti che ti servono.

Esempio a tre nodi

Il circuito in figura ha tre nodi oltre alla massa. Un generatore di corrente I_A = 9 mA inietta corrente nel nodo 1 e un altro, I_B = 2 mA, nel nodo 3. I resistori sono: R₁₂ = 1 kΩ e R₂₃ = 1 kΩ tra i nodi, e verso massa R₁ = 2 kΩ, R₂ = 3 kΩ e R₃ = 1 kΩ.

Circuito a tre nodi. Le frecce dei generatori indicano che iniettano corrente nei nodi 1 e 3; il nodo inferiore è il riferimento.

Esempio 1. Calcola V₁, V₂ e V₃. Lavora in volt, kΩ e mA per evitare le potenze di dieci (1/kΩ = mS).

Nodo 1: esce corrente verso massa attraverso 2 kΩ e verso il nodo 2 attraverso 1 kΩ; entrano 9 mA. V₁/2 + (V₁ − V₂)/1 = 9, cioè 1.5 V₁ − V₂ = 9.
Nodo 2: esce corrente verso il nodo 1, verso il nodo 3 e verso massa attraverso 3 kΩ; non ci sono generatori. (V₂ − V₁)/1 + (V₂ − V₃)/1 + V₂/3 = 0. Moltiplica per 3: −3 V₁ + 7 V₂ − 3 V₃ = 0.
Nodo 3: esce corrente verso il nodo 2 e verso massa attraverso 1 kΩ; entrano 2 mA. (V₃ − V₂)/1 + V₃/1 = 2, cioè −V₂ + 2 V₃ = 2.
Dall'equazione 1: V₁ = 6 + (2/3) V₂. Dalla 3: V₃ = 1 + V₂/2.
Sostituisci nella 2: −3(6 + 2V₂/3) + 7V₂ − 3(1 + V₂/2) = 0 → −18 − 2V₂ + 7V₂ − 3 − 1.5V₂ = 0 → 3.5 V₂ = 21.
V₂ = 6 V, V₁ = 6 + 4 = 10 V, V₃ = 1 + 3 = 4 V.

Correnti. R₁₂: (10 − 6)/1 = 4 mA dal nodo 1 al 2. R₂₃: (6 − 4)/1 = 2 mA dal 2 al 3. Verso massa: 10/2 = 5 mA, 6/3 = 2 mA e 4/1 = 4 mA.

Verifica con la KCL. Nodo 1: entrano 9, escono 5 + 4 = 9. Nodo 2: entrano 4, escono 2 + 2 = 4. Nodo 3: entrano 2 + 2 = 4, escono 4. Corretto.

Forma matriciale: scrivere per ispezione

Se il circuito contiene solo resistori e generatori di corrente, il sistema ha la forma G · V = I e si può scrivere senza pensare ai segni:

Sulla diagonale (G₁₁, G₂₂, …) va la somma delle conduttanze collegate a quel nodo.
Fuori dalla diagonale (G₁₂, …) va l'opposto della conduttanza che unisce quei due nodi.
Nel vettore a destra va la corrente che i generatori iniettano in ciascun nodo.

Per l'esempio, in mS e mA:

| 1.5    −1      0 | |V1|   | 9 |
| −1    2.333   −1 | |V2| = | 0 |
|  0     −1      2 | |V3|   | 2 |

La matrice è simmetrica, un buon segno che non hai commesso errori. È lo stesso tipo di sistema che un simulatore di circuiti risolve internamente quando esegue l'analisi in CC. Se c'è un generatore di tensione tra un nodo e massa, quel nodo è già noto e scompare come incognita; se è tra due nodi, questi si raggruppano in un supernodo.

Analisi delle maglie

Il metodo duale usa come incognite le correnti di maglia: una corrente fittizia che circola lungo ogni maglia, per convenzione in senso orario. La corrente reale di un ramo comune a due maglie è la differenza tra le due correnti di maglia che lo attraversano. In ogni maglia scrivi la KVL.

Per ispezione: sulla diagonale va la somma delle resistenze della maglia, fuori dalla diagonale l'opposto della resistenza comune, e a secondo membro la somma dei generatori di tensione che spingono nel verso della corrente di maglia.

Esempio 2. Maglia sinistra: generatore da 10 V (positivo in alto) nel ramo sinistro e R₁ = 1 kΩ nel tratto superiore. Ramo centrale comune: R₂ = 2 kΩ. Maglia destra: R₃ = 1 kΩ nel tratto superiore e R₄ = 1 kΩ nel ramo destro. Calcola le correnti.

Maglia 1 (I₁, oraria): (1 + 2) I₁ − 2 I₂ = 10.
Maglia 2 (I₂, oraria): −2 I₁ + (2 + 1 + 1) I₂ = 0, quindi I₁ = 2 I₂.
Sostituisci: 3(2I₂) − 2I₂ = 10 → 4I₂ = 10 → I₂ = 2.5 mA e I₁ = 5 mA.
Corrente reale in R₂: I₁ − I₂ = 2.5 mA verso il basso, con 2.5 × 2 = 5 V ai suoi capi.
Verifica per un'altra via: R₃ + R₄ = 2 kΩ è in parallelo a R₂ (1 kΩ equivalente), in serie con R₁: 10 V / 2 kΩ = 5 mA. Coincide con I₁.

Quale conviene? Conta le incognite. L'analisi nodale richiede n − 1 equazioni (nodi meno uno); quella delle maglie ne richiede b − n + 1 (rami meno nodi più uno). Scegli quella che ne richiede meno. Con i generatori di corrente di solito vince l'analisi nodale; con i generatori di tensione in serie, quella delle maglie.

Errori comuni

Scrivere nello stesso nodo alcune correnti come «uscenti» e altre come «entranti» senza rispettare la convenzione scelta.
Nella forma matriciale, mettere con il segno positivo la conduttanza tra nodi fuori dalla diagonale.
Dimenticare la resistenza comune quando si somma la diagonale di una maglia.
Confondere la corrente di maglia con la corrente di ramo nei rami comuni.
Lasciare unità mescolate (ohm con milliampere); scegli un sistema, come V, kΩ e mA, e rispettalo.

Provalo nel simulatore

L'analisi in CC del simulatore mostra direttamente le tensioni di nodo, quindi è il modo più rapido per verificare il tuo sistema di equazioni.

Inserisci due sorgenti di corrente CC, da 9 mA e 2 mA, orientate verso i nodi 1 e 3.
Inserisci i cinque resistori e collegali come in figura, con il nodo inferiore a massa.
Esegui l'analisi in CC e osserva le tensioni dei tre nodi: devono essere 10 V, 6 V e 4 V.
Misura la corrente in R₁₂ e R₂₃ con il multimetro.
Porta I_B a 0 mA e confronta con l'esercizio 1.

Esercizi

Nell'esempio a tre nodi spegni il generatore I_B (0 mA). Calcola V₁, V₂ e V₃.

Mostra la soluzione

Ora l'equazione 3 è −V₂ + 2V₃ = 0, quindi V₃ = V₂/2. Sostituendo: −18 − 2V₂ + 7V₂ − 1.5V₂ = 0 → V₂ = 18/3.5 = 36/7 ≈ 5.143 V. Quindi V₁ = 6 + (2/3)(5.143) ≈ 9.429 V e V₃ ≈ 2.571 V.
Nell'esempio delle maglie porti il generatore a 20 V. Quanto valgono I₁ e I₂?

Mostra la soluzione

Il circuito è lineare: tutto raddoppia. I₁ = 10 mA, I₂ = 5 mA.
Un circuito ha 5 nodi (contando la massa) e 7 rami. Quante equazioni ti servono con ciascun metodo?

Mostra la soluzione

Nodale: 5 − 1 = 4 equazioni. Maglie: 7 − 5 + 1 = 3 equazioni. Conviene l'analisi delle maglie.
All'esempio delle maglie aggiungi nel ramo destro un generatore da 6 V la cui polarità spinge I₂ in senso orario. Calcola I₁, I₂ e la corrente in R₂.

Mostra la soluzione

Equazioni: 3I₁ − 2I₂ = 10 e −2I₁ + 4I₂ = 6. Dalla seconda, I₁ = 2I₂ − 3. Sostituendo: 6I₂ − 9 − 2I₂ = 10 → I₂ = 4.75 mA, I₁ = 6.5 mA. In R₂: 6.5 − 4.75 = 1.75 mA verso il basso.

Per semplificare reti grandi viste da un carico, prosegui con Thévenin, Norton e sovrapposizione. Se hai bisogno di un ripasso, rivedi le leggi di Kirchhoff.