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节点分析法与网孔分析法：分步讲解与例题

阅读约 8 分钟 · bitGateLab 团队

当电路无法再用串并联组合化简时，逐条支路“手工”应用基尔霍夫定律会变得杂乱无章。节点分析法和网孔分析法是两套总能奏效的系统化方法：选定少数几个未知量，为每个未知量列一个方程，然后解方程组。本课将带你学会这两种方法，学会几乎凭观察就直接写出方程，并完整求解一个三节点例题。

节点分析法的思路

不去逐个求电流，而是求节点电压：每个节点相对于你选定的参考节点（地，0 V）的电压。一旦知道了所有节点电压，任何电流都能由欧姆定律得到：接在节点 a 和 b 之间的电阻，其电流为 (Va − Vb) / R。

步骤如下：

  1. 选择参考节点；通常选连接最多的节点，或主电源的负极。
  2. 给其余节点命名：V1、V2、…。如果有 n 个节点，就有 n − 1 个未知量。
  3. 对每个节点列写 KCL：经电阻流出的电流之和，等于电源注入该节点的电流之和。
  4. 解方程组，再计算所需的电流。

三节点例题

图中的电路除了地之外还有三个节点。电流源 IA = 9 mA 向节点 1 注入电流，另一个电流源 IB = 2 mA 向节点 3 注入电流。电阻为：节点之间 R12 = 1 kΩ、R23 = 1 kΩ，对地 R1 = 2 kΩ、R2 = 3 kΩ、R3 = 1 kΩ。

1 2 3 1 kΩ 1 kΩ 2 kΩ 3 kΩ 1 kΩ 9 mA 2 mA
三节点电路。电源上的箭头表示它们向节点 1 和节点 3 注入电流；下方的节点为参考节点。

例 1：求 V1、V2 和 V3。以伏特、kΩ 和 mA 为单位，可以避免出现十的幂次（1/kΩ = mS）。

  1. 节点 1：电流经 2 kΩ 流向地，经 1 kΩ 流向节点 2；流入 9 mA。V1/2 + (V1 − V2)/1 = 9，即 1.5 V1 − V2 = 9。
  2. 节点 2：电流流向节点 1、流向节点 3，并经 3 kΩ 流向地；没有电源。(V2 − V1)/1 + (V2 − V3)/1 + V2/3 = 0。两边乘以 3：−3 V1 + 7 V2 − 3 V3 = 0。
  3. 节点 3：电流流向节点 2，并经 1 kΩ 流向地；流入 2 mA。(V3 − V2)/1 + V3/1 = 2，即 −V2 + 2 V3 = 2。
  4. 由方程 1：V1 = 6 + (2/3) V2。由方程 3：V3 = 1 + V2/2。
  5. 代入方程 2：−3(6 + 2V2/3) + 7V2 − 3(1 + V2/2) = 0 → −18 − 2V2 + 7V2 − 3 − 1.5V2 = 0 → 3.5 V2 = 21。
  6. V2 = 6 V，V1 = 6 + 4 = 10 V，V3 = 1 + 3 = 4 V。

电流。R12：(10 − 6)/1 = 4 mA，从节点 1 流向节点 2。R23：(6 − 4)/1 = 2 mA，从节点 2 流向节点 3。对地：10/2 = 5 mA，6/3 = 2 mA，4/1 = 4 mA。

用 KCL 验算。节点 1：流入 9，流出 5 + 4 = 9。节点 2：流入 4，流出 2 + 2 = 4。节点 3：流入 2 + 2 = 4，流出 4。正确。

矩阵形式：凭观察直接写出

如果电路只含电阻和电流源，方程组具有 G · V = I 的形式，不必考虑符号就能直接写出：

对于本例，以 mS 和 mA 为单位：

| 1.5    −1      0 | |V1|   | 9 |
| −1    2.333   −1 | |V2| = | 0 |
|  0     −1      2 | |V3|   | 2 |

矩阵是对称的，这是没有出错的好迹象。电路模拟器在做直流分析时，内部求解的正是这种方程组。如果某个节点与地之间接有电压源，该节点的电压就是已知的，不再是未知量；如果电压源接在两个节点之间，就把这两个节点合并为一个超节点。

网孔分析法

与之对偶的方法以网孔电流作为未知量：即沿每个网孔环流的假想电流，按惯例取顺时针方向。公共支路上的实际电流，等于流过它的两个网孔电流之差。对每个网孔列写 KVL。

凭观察直接写：对角线上是该网孔所有电阻之和，非对角线上是公共电阻的负值，右边是沿网孔电流方向推动电流的电压源之和。

例 2：左网孔：左支路上有一个 10 V 的电源（正极在上），上边有 R1 = 1 kΩ。公共的中间支路：R2 = 2 kΩ。右网孔：上边有 R3 = 1 kΩ，右支路上有 R4 = 1 kΩ。求各电流。

  1. 网孔 1（I1，顺时针）：(1 + 2) I1 − 2 I2 = 10。
  2. 网孔 2（I2，顺时针）：−2 I1 + (2 + 1 + 1) I2 = 0，所以 I1 = 2 I2。
  3. 代入：3(2I2) − 2I2 = 10 → 4I2 = 10 → I2 = 2.5 mA，I1 = 5 mA。
  4. 流过 R2 的实际电流：I1 − I2 = 2.5 mA，方向向下，其两端电压为 2.5 × 2 = 5 V。
  5. 换一种方法验算：R3 + R4 = 2 kΩ 与 R2 并联（等效为 1 kΩ），再与 R1 串联：10 V / 2 kΩ = 5 mA。与 I1 一致。

选哪一种？数一数未知量。节点分析法需要 n − 1 个方程（节点数减一）；网孔分析法需要 b − n + 1 个方程（支路数减节点数加一）。选方程少的那种。含电流源的电路通常节点分析法占优；支路中串有电压源的电路，则网孔分析法更合适。

常见错误

在模拟器中试一试

模拟器的直流分析会直接显示节点电压，因此这是验证你所列方程组的最快办法。

  1. 放置两个直流电流源，分别为 9 mA 和 2 mA，方向指向节点 1 和节点 3。
  2. 放置五个电阻，按图连接，并把下方的节点接地。
  3. 运行直流分析，观察三个节点的电压：应为 10 V、6 V 和 4 V。
  4. 用万用表测量 R12 和 R23 中的电流。
  5. 把 IB 改为 0 mA，并与练习 1 比较。

练习题

  1. 在三节点例题中关闭电流源 IB（0 mA）。求 V1、V2 和 V3。

    查看答案

    此时方程 3 变为 −V2 + 2V3 = 0，所以 V3 = V2/2。代入：−18 − 2V2 + 7V2 − 1.5V2 = 0 → V2 = 18/3.5 = 36/7 ≈ 5.143 V。于是 V1 = 6 + (2/3)(5.143) ≈ 9.429 V，V3 ≈ 2.571 V。

  2. 在网孔例题中把电源改为 20 V。I1 和 I2 各是多少？

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    电路是线性的：所有量都加倍。I1 = 10 mA，I2 = 5 mA。

  3. 一个电路有 5 个节点（含地）和 7 条支路。两种方法各需要多少个方程？

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    节点分析法：5 − 1 = 4 个方程。网孔分析法：7 − 5 + 1 = 3 个方程。用网孔分析法更合适。

  4. 在网孔例题的右支路中加入一个 6 V 的电源，其极性推动 I2 沿顺时针方向流动。求 I1、I2 和 R2 中的电流。

    查看答案

    方程：3I1 − 2I2 = 10 和 −2I1 + 4I2 = 6。由第二个方程，I1 = 2I2 − 3。代入：6I2 − 9 − 2I2 = 10 → I2 = 4.75 mA，I1 = 6.5 mA。R2 中：6.5 − 4.75 = 1.75 mA，方向向下。

要从负载端看进去化简大型网络，请继续学习戴维南定理、诺顿定理与叠加定理。如需复习，可回顾基尔霍夫定律。