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Análise nodal e de malhas passo a passo com exemplo resolvido

Leitura de 8 min · Equipe bitGateLab

Quando um circuito já não pode ser reduzido com combinações em série e em paralelo, aplicar as leis de Kirchhoff "à mão", ramo por ramo, vira uma bagunça. A análise nodal e a análise de malhas são duas receitas sistemáticas que sempre funcionam: você escolhe umas poucas incógnitas, escreve uma equação para cada uma e resolve o sistema. Aqui você vai aprender os dois métodos, a escrever as equações quase por inspeção e a resolver um exemplo completo de três nós.

A ideia da análise nodal

Em vez de procurar cada corrente, você procura as tensões de nó: a tensão de cada nó em relação a um que você escolhe como referência (terra, 0 V). Conhecidas todas as tensões de nó, qualquer corrente sai pela lei de Ohm: a corrente em um resistor entre os nós a e b é (V_a − V_b) / R.

O procedimento é:

Escolha o nó de referência; normalmente o que tem mais conexões ou o polo negativo da fonte principal.
Dê nome aos demais nós: V₁, V₂, …. Se houver n nós, você terá n − 1 incógnitas.
Em cada nó escreva a LKC: a soma das correntes que saem pelos resistores é igual à soma das correntes que as fontes injetam no nó.
Resolva o sistema e calcule as correntes de que precisar.

Exemplo de três nós

O circuito da figura tem três nós além do terra. Uma fonte de corrente I_A = 9 mA injeta corrente no nó 1 e outra, I_B = 2 mA, no nó 3. Os resistores são: R₁₂ = 1 kΩ e R₂₃ = 1 kΩ entre nós, e para o terra R₁ = 2 kΩ, R₂ = 3 kΩ e R₃ = 1 kΩ.

Circuito de três nós. As setas das fontes indicam que elas injetam corrente nos nós 1 e 3; o nó inferior é a referência.

Exemplo 1. Calcule V₁, V₂ e V₃. Trabalhe em volts, kΩ e mA para evitar potências de dez (1/kΩ = mS).

Nó 1: sai corrente para o terra por 2 kΩ e para o nó 2 por 1 kΩ; entram 9 mA. V₁/2 + (V₁ − V₂)/1 = 9, ou seja, 1.5 V₁ − V₂ = 9.
Nó 2: sai corrente para o nó 1, para o nó 3 e para o terra por 3 kΩ; não há fonte. (V₂ − V₁)/1 + (V₂ − V₃)/1 + V₂/3 = 0. Multiplique por 3: −3 V₁ + 7 V₂ − 3 V₃ = 0.
Nó 3: sai corrente para o nó 2 e para o terra por 1 kΩ; entram 2 mA. (V₃ − V₂)/1 + V₃/1 = 2, ou seja, −V₂ + 2 V₃ = 2.
Da equação 1: V₁ = 6 + (2/3) V₂. Da 3: V₃ = 1 + V₂/2.
Substitua na 2: −3(6 + 2V₂/3) + 7V₂ − 3(1 + V₂/2) = 0 → −18 − 2V₂ + 7V₂ − 3 − 1.5V₂ = 0 → 3.5 V₂ = 21.
V₂ = 6 V, V₁ = 6 + 4 = 10 V, V₃ = 1 + 3 = 4 V.

Correntes. R₁₂: (10 − 6)/1 = 4 mA do nó 1 para o 2. R₂₃: (6 − 4)/1 = 2 mA do 2 para o 3. Para o terra: 10/2 = 5 mA, 6/3 = 2 mA e 4/1 = 4 mA.

Verificação com a LKC. Nó 1: entram 9, saem 5 + 4 = 9. Nó 2: entram 4, saem 2 + 2 = 4. Nó 3: entram 2 + 2 = 4, saem 4. Correto.

Forma matricial: escrever por inspeção

Se o circuito tem apenas resistores e fontes de corrente, o sistema tem a forma G · V = I e pode ser escrito sem pensar em sinais:

Na diagonal (G₁₁, G₂₂, …) vai a soma das condutâncias ligadas a esse nó.
Fora da diagonal (G₁₂, …) vai o negativo da condutância que une esses dois nós.
No vetor do lado direito vai a corrente que as fontes injetam em cada nó.

Para o exemplo, em mS e mA:

| 1.5    −1      0 | |V1|   | 9 |
| −1    2.333   −1 | |V2| = | 0 |
|  0     −1      2 | |V3|   | 2 |

A matriz é simétrica, um bom sinal de que você não errou. Esse é o mesmo tipo de sistema que um simulador de circuitos resolve internamente ao fazer a análise CC. Se há uma fonte de tensão entre um nó e o terra, esse nó já é conhecido e deixa de ser incógnita; se ela está entre dois nós, eles são agrupados em um supernó.

Análise de malhas

O método dual usa como incógnitas as correntes de malha: uma corrente fictícia que circula ao redor de cada malha, por convenção no sentido horário. A corrente real de um ramo compartilhado é a diferença entre as duas correntes de malha que passam por ele. Em cada malha você escreve a LKT.

Por inspeção: na diagonal vai a soma das resistências da malha, fora da diagonal o negativo da resistência compartilhada, e do lado direito a soma das fontes de tensão que empurram no sentido da corrente de malha.

Exemplo 2. Malha esquerda: fonte de 10 V (positivo para cima) no ramo esquerdo e R₁ = 1 kΩ no trecho superior. Ramo central compartilhado: R₂ = 2 kΩ. Malha direita: R₃ = 1 kΩ no trecho superior e R₄ = 1 kΩ no ramo direito. Calcule as correntes.

Malha 1 (I₁, horária): (1 + 2) I₁ − 2 I₂ = 10.
Malha 2 (I₂, horária): −2 I₁ + (2 + 1 + 1) I₂ = 0, portanto I₁ = 2 I₂.
Substitua: 3(2I₂) − 2I₂ = 10 → 4I₂ = 10 → I₂ = 2.5 mA e I₁ = 5 mA.
Corrente real em R₂: I₁ − I₂ = 2.5 mA para baixo, com 2.5 × 2 = 5 V entre seus terminais.
Verificação por outro caminho: R₃ + R₄ = 2 kΩ fica em paralelo com R₂ (1 kΩ equivalente), em série com R₁: 10 V / 2 kΩ = 5 mA. Confere com I₁.

Qual dos dois usar? Conte as incógnitas. A análise nodal precisa de n − 1 equações (nós menos um); a de malhas precisa de b − n + 1 (ramos menos nós mais um). Escolha a que der menos. Com fontes de corrente costuma ganhar a nodal; com fontes de tensão em série, a de malhas.

Erros comuns

Escrever, em um mesmo nó, algumas correntes como "saem" e outras como "entram", sem respeitar a convenção escolhida.
Na forma matricial, colocar como positiva a condutância entre nós fora da diagonal.
Esquecer a resistência compartilhada ao somar a diagonal de uma malha.
Confundir corrente de malha com corrente de ramo nos ramos compartilhados.
Deixar unidades misturadas (ohms com miliampères); escolha um sistema, como V, kΩ e mA, e mantenha-o.

Experimente no simulador

A análise CC do simulador mostra as tensões de nó diretamente, então é a forma mais rápida de verificar o seu sistema de equações.

Coloque duas fontes de corrente CC, de 9 mA e 2 mA, apontando para os nós 1 e 3.
Coloque os cinco resistores e ligue-os como na figura, com o nó inferior no terra.
Execute a análise CC e observe as tensões dos três nós: devem ser 10 V, 6 V e 4 V.
Meça a corrente em R₁₂ e R₂₃ com o multímetro.
Mude I_B para 0 mA e compare com o exercício 1.

Exercícios

No exemplo de três nós, desligue a fonte I_B (0 mA). Calcule V₁, V₂ e V₃.

Ver resposta

Agora a equação 3 é −V₂ + 2V₃ = 0, portanto V₃ = V₂/2. Substituindo: −18 − 2V₂ + 7V₂ − 1.5V₂ = 0 → V₂ = 18/3.5 = 36/7 ≈ 5.143 V. Então V₁ = 6 + (2/3)(5.143) ≈ 9.429 V e V₃ ≈ 2.571 V.
No exemplo de malhas, você muda a fonte para 20 V. Quanto valem I₁ e I₂?

Ver resposta

O circuito é linear: tudo dobra. I₁ = 10 mA, I₂ = 5 mA.
Um circuito tem 5 nós (contando o terra) e 7 ramos. De quantas equações você precisa com cada método?

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Nodal: 5 − 1 = 4 equações. Malhas: 7 − 5 + 1 = 3 equações. O de malhas é mais vantajoso.
Ao exemplo de malhas, acrescente no ramo direito uma fonte de 6 V cuja polaridade empurra I₂ no sentido horário. Calcule I₁, I₂ e a corrente em R₂.

Ver resposta

Equações: 3I₁ − 2I₂ = 10 e −2I₁ + 4I₂ = 6. Da segunda, I₁ = 2I₂ − 3. Substituindo: 6I₂ − 9 − 2I₂ = 10 → I₂ = 4.75 mA, I₁ = 6.5 mA. Em R₂: 6.5 − 4.75 = 1.75 mA para baixo.

Para simplificar redes grandes vistas a partir de uma carga, continue com Thévenin, Norton e superposição. Se precisar revisar, veja as leis de Kirchhoff.