Метод узловых потенциалов и метод контурных токов: пошагово, с примером

8 мин чтения · Команда bitGateLab

Когда цепь уже не сворачивается последовательными и параллельными преобразованиями, применять законы Кирхгофа «вручную», ветвь за ветвью, становится слишком запутанно. Метод узловых потенциалов и метод контурных токов — два систематических рецепта, которые работают всегда: вы выбираете несколько неизвестных, записываете по одному уравнению на каждое и решаете систему. Здесь вы освоите оба метода, научитесь записывать уравнения почти не задумываясь, прямо по схеме, и разберёте полный пример с тремя узлами.

Идея метода узловых потенциалов

Вместо того чтобы искать каждый ток, ищут узловые напряжения: напряжение каждого узла относительно узла, выбранного опорным (земля, 0 V). Когда все узловые напряжения известны, любой ток находится по закону Ома: ток через резистор между узлами a и b равен (V_a − V_b) / R.

Порядок действий такой:

Выберите опорный узел; обычно это узел с наибольшим числом соединений или отрицательный полюс главного источника.
Обозначьте остальные узлы: V₁, V₂, …. Если узлов n, неизвестных будет n − 1.
Для каждого узла запишите ЗТК: сумма токов, вытекающих через резисторы, равна сумме токов, которые источники подают в узел.
Решите систему и вычислите нужные токи.

Пример с тремя узлами

В схеме на рисунке три узла, не считая земли. Источник тока I_A = 9 mA подаёт ток в узел 1, а другой, I_B = 2 mA, — в узел 3. Резисторы: R₁₂ = 1 kΩ и R₂₃ = 1 kΩ между узлами, а на землю — R₁ = 2 kΩ, R₂ = 3 kΩ и R₃ = 1 kΩ.

Цепь с тремя узлами. Стрелки источников показывают, что они подают ток в узлы 1 и 3; нижний узел — опорный.

Пример 1. Найдите V₁, V₂ и V₃. Работайте в вольтах, kΩ и mA, чтобы обойтись без степеней десяти (1/kΩ = mS).

Узел 1: ток вытекает на землю через 2 kΩ и к узлу 2 через 1 kΩ; втекает 9 mA. V₁/2 + (V₁ − V₂)/1 = 9, то есть 1.5 V₁ − V₂ = 9.
Узел 2: токи вытекают к узлу 1, к узлу 3 и на землю через 3 kΩ; источника нет. (V₂ − V₁)/1 + (V₂ − V₃)/1 + V₂/3 = 0. Умножьте на 3: −3 V₁ + 7 V₂ − 3 V₃ = 0.
Узел 3: токи вытекают к узлу 2 и на землю через 1 kΩ; втекает 2 mA. (V₃ − V₂)/1 + V₃/1 = 2, то есть −V₂ + 2 V₃ = 2.
Из уравнения 1: V₁ = 6 + (2/3) V₂. Из уравнения 3: V₃ = 1 + V₂/2.
Подставьте в уравнение 2: −3(6 + 2V₂/3) + 7V₂ − 3(1 + V₂/2) = 0 → −18 − 2V₂ + 7V₂ − 3 − 1.5V₂ = 0 → 3.5 V₂ = 21.
V₂ = 6 V, V₁ = 6 + 4 = 10 V, V₃ = 1 + 3 = 4 V.

Токи. R₁₂: (10 − 6)/1 = 4 mA от узла 1 к узлу 2. R₂₃: (6 − 4)/1 = 2 mA от узла 2 к узлу 3. На землю: 10/2 = 5 mA, 6/3 = 2 mA и 4/1 = 4 mA.

Проверка по ЗТК. Узел 1: втекает 9, вытекает 5 + 4 = 9. Узел 2: втекает 4, вытекает 2 + 2 = 4. Узел 3: втекает 2 + 2 = 4, вытекает 4. Верно.

Матричная форма: запись прямо по схеме

Если в цепи только резисторы и источники тока, система имеет вид G · V = I, и её можно записать, не задумываясь о знаках:

На диагонали (G₁₁, G₂₂, …) стоит сумма проводимостей, подключённых к данному узлу.
Вне диагонали (G₁₂, …) стоит взятая со знаком минус проводимость, соединяющая эти два узла.
В правом векторе стоит ток, который источники подают в каждый узел.

Для нашего примера, в mS и mA:

| 1.5    −1      0 | |V1|   | 9 |
| −1    2.333   −1 | |V2| = | 0 |
|  0     −1      2 | |V3|   | 2 |

Матрица симметрична — хороший признак того, что вы не ошиблись. Именно такую систему решает внутри себя симулятор цепей, когда выполняет анализ по постоянному току. Если между узлом и землёй включён источник напряжения, потенциал этого узла уже известен, и он выпадает из числа неизвестных; если источник включён между двумя узлами, их объединяют в суперузел.

Метод контурных токов

Дуальный метод берёт в качестве неизвестных контурные токи: условный ток, циркулирующий вдоль каждого независимого контура, по соглашению — по часовой стрелке. Реальный ток общей ветви равен разности двух контурных токов, проходящих через неё. Для каждого контура записывают ЗНК.

Запись прямо по схеме: на диагонали — сумма сопротивлений контура, вне диагонали — взятое со знаком минус общее сопротивление, а в правой части — сумма напряжений источников, действующих в направлении контурного тока.

Пример 2. Левый контур: источник 10 V (плюсом вверх) в левой ветви и R₁ = 1 kΩ на верхнем участке. Общая средняя ветвь: R₂ = 2 kΩ. Правый контур: R₃ = 1 kΩ на верхнем участке и R₄ = 1 kΩ в правой ветви. Найдите токи.

Контур 1 (I₁, по часовой стрелке): (1 + 2) I₁ − 2 I₂ = 10.
Контур 2 (I₂, по часовой стрелке): −2 I₁ + (2 + 1 + 1) I₂ = 0, значит, I₁ = 2 I₂.
Подставьте: 3(2I₂) − 2I₂ = 10 → 4I₂ = 10 → I₂ = 2.5 mA и I₁ = 5 mA.
Реальный ток через R₂: I₁ − I₂ = 2.5 mA, направлен вниз, и на выводах резистора 2.5 × 2 = 5 V.
Проверка другим путём: R₃ + R₄ = 2 kΩ включены параллельно R₂ (эквивалент 1 kΩ) и последовательно с R₁: 10 V / 2 kΩ = 5 mA. Совпадает с I₁.

Какой метод выбрать? Посчитайте неизвестные. Методу узловых потенциалов нужно n − 1 уравнений (число узлов минус один); методу контурных токов — b − n + 1 (число ветвей минус число узлов плюс один). Берите тот, где уравнений меньше. При источниках тока обычно выигрывает узловой метод; при последовательно включённых источниках напряжения — контурный.

Типичные ошибки

Записывать для одного узла часть токов как «вытекающие», а часть как «втекающие», не соблюдая выбранное правило.
В матричной форме записывать проводимость между узлами вне диагонали со знаком плюс.
Забывать общее сопротивление при суммировании диагонального элемента контура.
Путать контурный ток с током ветви в общих ветвях.
Смешивать единицы (омы с миллиамперами); выберите одну систему, например V, kΩ и mA, и придерживайтесь её.

Попробуйте в симуляторе

Анализ по постоянному току в симуляторе сразу показывает узловые напряжения, поэтому это самый быстрый способ проверить свою систему уравнений.

Поставьте два источника постоянного тока, 9 mA и 2 mA, направив их к узлам 1 и 3.
Поставьте пять резисторов и соедините их, как на рисунке, заземлив нижний узел.
Запустите анализ по постоянному току и посмотрите напряжения трёх узлов: должно получиться 10 V, 6 V и 4 V.
Измерьте мультиметром ток через R₁₂ и R₂₃.
Установите I_B равным 0 mA и сравните с упражнением 1.

Упражнения

В примере с тремя узлами выключите источник I_B (0 mA). Найдите V₁, V₂ и V₃.

Показать ответ

Теперь уравнение 3 имеет вид −V₂ + 2V₃ = 0, значит, V₃ = V₂/2. Подставляя: −18 − 2V₂ + 7V₂ − 1.5V₂ = 0 → V₂ = 18/3.5 = 36/7 ≈ 5.143 V. Тогда V₁ = 6 + (2/3)(5.143) ≈ 9.429 V и V₃ ≈ 2.571 V.
В примере с контурными токами источник заменили на 20 V. Чему равны I₁ и I₂?

Показать ответ

Цепь линейна: всё удваивается. I₁ = 10 mA, I₂ = 5 mA.
В цепи 5 узлов (считая землю) и 7 ветвей. Сколько уравнений нужно в каждом методе?

Показать ответ

Узловой метод: 5 − 1 = 4 уравнения. Контурный: 7 − 5 + 1 = 3 уравнения. Выгоднее метод контурных токов.
В пример с контурными токами добавьте в правую ветвь источник 6 V, полярность которого направляет I₂ по часовой стрелке. Найдите I₁, I₂ и ток через R₂.

Показать ответ

Уравнения: 3I₁ − 2I₂ = 10 и −2I₁ + 4I₂ = 6. Из второго: I₁ = 2I₂ − 3. Подставляя: 6I₂ − 9 − 2I₂ = 10 → I₂ = 4.75 mA, I₁ = 6.5 mA. Через R₂: 6.5 − 4.75 = 1.75 mA, вниз.

Чтобы упрощать большие цепи со стороны нагрузки, переходите к теме Тевенен, Нортон и суперпозиция. Если нужно освежить основы, перечитайте законы Кирхгофа.