Analyse nodale et analyse des mailles pas à pas avec exemple résolu

8 min de lecture · Équipe bitGateLab

Lorsqu'un circuit ne peut plus être réduit par des associations série et parallèle, appliquer les lois de Kirchhoff « à la main », branche par branche, devient vite confus. L'analyse nodale et l'analyse des mailles sont deux recettes systématiques qui fonctionnent toujours : vous choisissez quelques inconnues, écrivez une équation pour chacune et résolvez le système. Ici, vous allez apprendre les deux méthodes, à écrire les équations presque par simple inspection et à résoudre un exemple complet à trois nœuds.

Le principe de l'analyse nodale

Au lieu de chercher chaque courant, vous cherchez les tensions de nœud : la tension de chaque nœud par rapport à un nœud que vous choisissez comme référence (masse, 0 V). Une fois toutes les tensions de nœud connues, n'importe quel courant s'obtient par la loi d'Ohm : le courant dans une résistance placée entre les nœuds a et b vaut (V_a − V_b) / R.

La procédure est la suivante :

Choisissez le nœud de référence ; en général celui qui a le plus de connexions, ou le pôle négatif de la source principale.
Nommez les autres nœuds : V₁, V₂, …. S'il y a n nœuds, vous aurez n − 1 inconnues.
À chaque nœud, écrivez la loi des nœuds : la somme des courants qui sortent par les résistances est égale à la somme des courants que les sources injectent dans le nœud.
Résolvez le système et calculez les courants dont vous avez besoin.

Exemple à trois nœuds

Le circuit de la figure comporte trois nœuds en plus de la masse. Une source de courant I_A = 9 mA injecte du courant dans le nœud 1 et une autre, I_B = 2 mA, dans le nœud 3. Les résistances sont : R₁₂ = 1 kΩ et R₂₃ = 1 kΩ entre les nœuds, et vers la masse R₁ = 2 kΩ, R₂ = 3 kΩ et R₃ = 1 kΩ.

Circuit à trois nœuds. Les flèches des sources indiquent qu'elles injectent du courant vers les nœuds 1 et 3 ; le nœud du bas est la référence.

Exemple 1. Calculez V₁, V₂ et V₃. Travaillez en volts, kΩ et mA pour éviter les puissances de dix (1/kΩ = mS).

Nœud 1 : du courant sort vers la masse par 2 kΩ et vers le nœud 2 par 1 kΩ ; 9 mA entrent. V₁/2 + (V₁ − V₂)/1 = 9, c'est-à-dire 1.5 V₁ − V₂ = 9.
Nœud 2 : du courant sort vers le nœud 1, vers le nœud 3 et vers la masse par 3 kΩ ; il n'y a pas de source. (V₂ − V₁)/1 + (V₂ − V₃)/1 + V₂/3 = 0. Multipliez par 3 : −3 V₁ + 7 V₂ − 3 V₃ = 0.
Nœud 3 : du courant sort vers le nœud 2 et vers la masse par 1 kΩ ; 2 mA entrent. (V₃ − V₂)/1 + V₃/1 = 2, c'est-à-dire −V₂ + 2 V₃ = 2.
De l'équation 1 : V₁ = 6 + (2/3) V₂. De la 3 : V₃ = 1 + V₂/2.
Remplacez dans la 2 : −3(6 + 2V₂/3) + 7V₂ − 3(1 + V₂/2) = 0 → −18 − 2V₂ + 7V₂ − 3 − 1.5V₂ = 0 → 3.5 V₂ = 21.
V₂ = 6 V, V₁ = 6 + 4 = 10 V, V₃ = 1 + 3 = 4 V.

Courants. R₁₂ : (10 − 6)/1 = 4 mA du nœud 1 vers le 2. R₂₃ : (6 − 4)/1 = 2 mA du 2 vers le 3. Vers la masse : 10/2 = 5 mA, 6/3 = 2 mA et 4/1 = 4 mA.

Vérification par la loi des nœuds. Nœud 1 : 9 entrent, 5 + 4 = 9 sortent. Nœud 2 : 4 entrent, 2 + 2 = 4 sortent. Nœud 3 : 2 + 2 = 4 entrent, 4 sortent. Correct.

Forme matricielle : écrire par inspection

Si le circuit ne contient que des résistances et des sources de courant, le système a la forme G · V = I et peut s'écrire sans réfléchir aux signes :

Sur la diagonale (G₁₁, G₂₂, …) figure la somme des conductances reliées à ce nœud.
Hors diagonale (G₁₂, …) figure l'opposé de la conductance qui relie ces deux nœuds.
Dans le vecteur de droite figure le courant que les sources injectent dans chaque nœud.

Pour l'exemple, en mS et en mA :

| 1.5    −1      0 | |V1|   | 9 |
| −1    2.333   −1 | |V2| = | 0 |
|  0     −1      2 | |V3|   | 2 |

La matrice est symétrique, bon signe que vous ne vous êtes pas trompé. C'est le même type de système que résout en interne un simulateur de circuits lorsqu'il effectue l'analyse CC. S'il y a une source de tension entre un nœud et la masse, ce nœud est déjà connu et disparaît des inconnues ; si elle se trouve entre deux nœuds, on les regroupe en un supernœud.

Analyse des mailles

La méthode duale prend pour inconnues les courants de maille : un courant fictif qui circule le long de chaque maille, par convention dans le sens horaire. Le courant réel d'une branche commune est la différence des deux courants de maille qui la traversent. Dans chaque maille, vous écrivez la loi des mailles.

Par inspection : sur la diagonale figure la somme des résistances de la maille, hors diagonale l'opposé de la résistance commune, et dans le membre de droite la somme des sources de tension qui poussent dans le sens du courant de maille.

Exemple 2. Maille de gauche : source de 10 V (borne positive en haut) dans la branche de gauche et R₁ = 1 kΩ sur le segment supérieur. Branche centrale commune : R₂ = 2 kΩ. Maille de droite : R₃ = 1 kΩ sur le segment supérieur et R₄ = 1 kΩ dans la branche de droite. Calculez les courants.

Maille 1 (I₁, sens horaire) : (1 + 2) I₁ − 2 I₂ = 10.
Maille 2 (I₂, sens horaire) : −2 I₁ + (2 + 1 + 1) I₂ = 0, donc I₁ = 2 I₂.
Remplacez : 3(2I₂) − 2I₂ = 10 → 4I₂ = 10 → I₂ = 2.5 mA et I₁ = 5 mA.
Courant réel dans R₂ : I₁ − I₂ = 2.5 mA vers le bas, avec 2.5 × 2 = 5 V à ses bornes.
Vérification par un autre chemin : R₃ + R₄ = 2 kΩ se retrouve en parallèle avec R₂ (1 kΩ équivalent), en série avec R₁ : 10 V / 2 kΩ = 5 mA. Cela coïncide avec I₁.

Laquelle choisir ? Comptez les inconnues. L'analyse nodale demande n − 1 équations (nœuds moins un) ; l'analyse des mailles en demande b − n + 1 (branches moins nœuds plus un). Choisissez celle qui en donne le moins. Avec des sources de courant, l'analyse nodale l'emporte en général ; avec des sources de tension en série, c'est l'analyse des mailles.

Erreurs fréquentes

Écrire à un même nœud certains courants comme « sortants » et d'autres comme « entrants » sans respecter la convention choisie.
Dans la forme matricielle, mettre un signe positif à la conductance entre nœuds hors diagonale.
Oublier la résistance commune en additionnant la diagonale d'une maille.
Confondre courant de maille et courant de branche dans les branches communes.
Laisser des unités mélangées (des ohms avec des milliampères) ; choisissez un système, par exemple V, kΩ et mA, et tenez-vous-y.

Essayez dans le simulateur

L'analyse CC du simulateur affiche directement les tensions de nœud : c'est donc le moyen le plus rapide de vérifier votre système d'équations.

Placez deux sources de courant CC, de 9 mA et 2 mA, orientées vers les nœuds 1 et 3.
Placez les cinq résistances et reliez-les comme sur la figure, avec le nœud du bas à la masse.
Lancez l'analyse CC et observez les tensions des trois nœuds : elles doivent valoir 10 V, 6 V et 4 V.
Mesurez le courant dans R₁₂ et R₂₃ avec le multimètre.
Passez I_B à 0 mA et comparez avec l'exercice 1.

Exercices

Dans l'exemple à trois nœuds, éteignez la source I_B (0 mA). Calculez V₁, V₂ et V₃.

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L'équation 3 devient −V₂ + 2V₃ = 0, donc V₃ = V₂/2. En remplaçant : −18 − 2V₂ + 7V₂ − 1.5V₂ = 0 → V₂ = 18/3.5 = 36/7 ≈ 5.143 V. Donc V₁ = 6 + (2/3)(5.143) ≈ 9.429 V et V₃ ≈ 2.571 V.
Dans l'exemple des mailles, vous passez la source à 20 V. Que valent I₁ et I₂ ?

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Le circuit est linéaire : tout double. I₁ = 10 mA, I₂ = 5 mA.
Un circuit comporte 5 nœuds (masse comprise) et 7 branches. Combien d'équations vous faut-il avec chaque méthode ?

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Analyse nodale : 5 − 1 = 4 équations. Mailles : 7 − 5 + 1 = 3 équations. L'analyse des mailles est préférable.
À l'exemple des mailles, ajoutez dans la branche de droite une source de 6 V dont la polarité pousse I₂ dans le sens horaire. Calculez I₁, I₂ et le courant dans R₂.

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Équations : 3I₁ − 2I₂ = 10 et −2I₁ + 4I₂ = 6. De la seconde, I₁ = 2I₂ − 3. En remplaçant : 6I₂ − 9 − 2I₂ = 10 → I₂ = 4.75 mA, I₁ = 6.5 mA. Dans R₂ : 6.5 − 4.75 = 1.75 mA vers le bas.

Pour simplifier de grands réseaux vus depuis une charge, poursuivez avec Thévenin, Norton et superposition. Si vous avez besoin de réviser, revoyez les lois de Kirchhoff.