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노드 해석과 메시 해석: 풀이 예제로 배우는 단계별 방법

읽는 시간 8분 · bitGateLab 팀

회로를 더 이상 직렬·병렬 조합으로 줄일 수 없게 되면, 키르히호프 법칙을 가지마다 "손으로" 적용하는 일은 금세 뒤죽박죽이 됩니다. 노드 해석과 메시 해석은 언제나 통하는 두 가지 체계적인 방법입니다. 미지수를 몇 개 고르고, 미지수마다 방정식을 하나씩 쓴 다음, 연립방정식을 풀면 됩니다. 이 글에서는 두 방법과, 방정식을 거의 눈으로 보고 바로 쓰는 요령을 배우고, 노드가 세 개인 회로를 끝까지 풀어 봅니다.

노드 해석의 기본 아이디어

전류를 하나하나 구하는 대신 노드 전압을 구합니다. 노드 전압이란 기준(접지, 0 V)으로 고른 한 노드에 대한 각 노드의 전압입니다. 모든 노드 전압을 알고 나면 어떤 전류든 옴의 법칙으로 구할 수 있습니다. 노드 a와 b 사이의 저항에 흐르는 전류는 (Va − Vb) / R입니다.

절차는 다음과 같습니다.

  1. 기준 노드를 고릅니다. 보통 연결이 가장 많은 노드나 주 전원의 음극을 선택합니다.
  2. 나머지 노드에 V1, V2, …와 같이 이름을 붙입니다. 노드가 n개라면 미지수는 n − 1개입니다.
  3. 각 노드에서 KCL을 씁니다. 저항을 통해 나가는 전류의 합은 전원이 그 노드에 주입하는 전류의 합과 같습니다.
  4. 연립방정식을 풀고 필요한 전류를 계산합니다.

노드가 세 개인 예제

그림의 회로에는 접지 외에 노드가 세 개 있습니다. 전류원 IA = 9 mA가 노드 1에, 또 다른 전류원 IB = 2 mA가 노드 3에 전류를 주입합니다. 저항은 노드 사이에 R12 = 1 kΩ과 R23 = 1 kΩ이 있고, 접지 쪽으로 R1 = 2 kΩ, R2 = 3 kΩ, R3 = 1 kΩ이 있습니다.

1 2 3 1 kΩ 1 kΩ 2 kΩ 3 kΩ 1 kΩ 9 mA 2 mA
노드가 세 개인 회로. 전원의 화살표는 노드 1과 3으로 전류를 주입한다는 것을 나타내며, 아래쪽 노드가 기준입니다.

예제 1. V1, V2, V3을 구하세요. 거듭제곱 표기를 피하기 위해 볼트, kΩ, mA 단위로 계산합니다(1/kΩ = mS).

  1. 노드 1: 2 kΩ을 통해 접지로, 1 kΩ을 통해 노드 2로 전류가 나가고, 9 mA가 들어옵니다. V1/2 + (V1 − V2)/1 = 9, 즉 1.5 V1 − V2 = 9입니다.
  2. 노드 2: 노드 1 쪽으로, 노드 3 쪽으로, 그리고 3 kΩ을 통해 접지로 전류가 나가며, 전원은 없습니다. (V2 − V1)/1 + (V2 − V3)/1 + V2/3 = 0. 3을 곱하면: −3 V1 + 7 V2 − 3 V3 = 0입니다.
  3. 노드 3: 노드 2 쪽으로, 그리고 1 kΩ을 통해 접지로 전류가 나가고, 2 mA가 들어옵니다. (V3 − V2)/1 + V3/1 = 2, 즉 −V2 + 2 V3 = 2입니다.
  4. 방정식 1에서: V1 = 6 + (2/3) V2. 방정식 3에서: V3 = 1 + V2/2.
  5. 방정식 2에 대입하면: −3(6 + 2V2/3) + 7V2 − 3(1 + V2/2) = 0 → −18 − 2V2 + 7V2 − 3 − 1.5V2 = 0 → 3.5 V2 = 21.
  6. V2 = 6 V, V1 = 6 + 4 = 10 V, V3 = 1 + 3 = 4 V입니다.

전류. R12: (10 − 6)/1 = 4 mA, 노드 1에서 2로. R23: (6 − 4)/1 = 2 mA, 노드 2에서 3으로. 접지로: 10/2 = 5 mA, 6/3 = 2 mA, 4/1 = 4 mA.

KCL로 검산. 노드 1: 들어오는 전류 9, 나가는 전류 5 + 4 = 9. 노드 2: 들어오는 전류 4, 나가는 전류 2 + 2 = 4. 노드 3: 들어오는 전류 2 + 2 = 4, 나가는 전류 4. 맞습니다.

행렬 형태: 보고 바로 쓰기

회로에 저항과 전류원만 있다면 연립방정식은 G · V = I 형태가 되며, 부호를 고민하지 않고 쓸 수 있습니다.

이 예제의 경우 mS와 mA 단위로 쓰면 다음과 같습니다.

| 1.5    −1      0 | |V1|   | 9 |
| −1    2.333   −1 | |V2| = | 0 |
|  0     −1      2 | |V3|   | 2 |

행렬이 대칭이라는 것은 실수하지 않았다는 좋은 신호입니다. 회로 시뮬레이터가 DC 해석을 할 때 내부에서 푸는 것도 바로 이런 종류의 연립방정식입니다. 한 노드와 접지 사이에 전압원이 있으면 그 노드의 전압은 이미 알려진 값이므로 미지수에서 빠지고, 두 노드 사이에 전압원이 있으면 두 노드를 하나의 슈퍼노드로 묶습니다.

메시 해석

쌍대 관계에 있는 이 방법은 메시 전류를 미지수로 사용합니다. 메시 전류는 각 메시를 따라 도는 가상의 전류로, 관례상 시계 방향으로 잡습니다. 두 메시가 공유하는 가지의 실제 전류는 그 가지를 지나는 두 메시 전류의 차입니다. 각 메시에서는 KVL을 씁니다.

보고 바로 쓰는 방법: 대각선에는 그 메시에 있는 저항의 합이, 대각선 밖에는 공유 저항에 음의 부호를 붙인 값이, 우변에는 메시 전류 방향으로 밀어 주는 전압원의 합이 들어갑니다.

예제 2. 왼쪽 메시: 왼쪽 가지에 10 V 전원(양극이 위쪽)이 있고 위쪽 구간에 R1 = 1 kΩ이 있습니다. 공유하는 가운데 가지: R2 = 2 kΩ. 오른쪽 메시: 위쪽 구간에 R3 = 1 kΩ, 오른쪽 가지에 R4 = 1 kΩ이 있습니다. 전류를 구하세요.

  1. 메시 1(I1, 시계 방향): (1 + 2) I1 − 2 I2 = 10.
  2. 메시 2(I2, 시계 방향): −2 I1 + (2 + 1 + 1) I2 = 0이므로 I1 = 2 I2입니다.
  3. 대입하면: 3(2I2) − 2I2 = 10 → 4I2 = 10 → I2 = 2.5 mA, I1 = 5 mA입니다.
  4. R2의 실제 전류: I1 − I2 = 2.5 mA가 아래쪽으로 흐르며, 양단 전압은 2.5 × 2 = 5 V입니다.
  5. 다른 방법으로 검산: R3 + R4 = 2 kΩ이 R2와 병렬(등가 1 kΩ)이고, 이것이 R1과 직렬입니다: 10 V / 2 kΩ = 5 mA. I1과 일치합니다.

어느 쪽이 유리할까요? 미지수를 세어 보세요. 노드 해석에는 방정식이 n − 1개(노드 수에서 하나를 뺀 값) 필요하고, 메시 해석에는 b − n + 1개(가지 수에서 노드 수를 빼고 하나를 더한 값) 필요합니다. 더 적은 쪽을 고르세요. 전류원이 있으면 대개 노드 해석이, 직렬 전압원이 있으면 메시 해석이 유리합니다.

흔히 하는 실수

시뮬레이터에서 직접 해 보기

시뮬레이터의 DC 해석은 노드 전압을 바로 보여 주므로, 세운 연립방정식을 확인하는 가장 빠른 방법입니다.

  1. 9 mA와 2 mA의 DC 전류원 두 개를 노드 1과 3을 향하도록 배치합니다.
  2. 저항 다섯 개를 배치하고, 아래쪽 노드를 접지로 하여 그림처럼 연결합니다.
  3. DC 해석을 실행하고 세 노드의 전압을 확인합니다. 10 V, 6 V, 4 V가 나와야 합니다.
  4. 멀티미터로 R12와 R23의 전류를 측정합니다.
  5. IB를 0 mA로 바꾸고 연습 문제 1과 비교해 보세요.

연습 문제

  1. 노드가 세 개인 예제에서 전원 IB를 끕니다(0 mA). V1, V2, V3을 구하세요.

    정답 보기

    이제 방정식 3은 −V2 + 2V3 = 0이므로 V3 = V2/2입니다. 대입하면: −18 − 2V2 + 7V2 − 1.5V2 = 0 → V2 = 18/3.5 = 36/7 ≈ 5.143 V. 따라서 V1 = 6 + (2/3)(5.143) ≈ 9.429 V이고 V3 ≈ 2.571 V입니다.

  2. 메시 예제에서 전원을 20 V로 바꿉니다. I1과 I2는 얼마일까요?

    정답 보기

    이 회로는 선형이므로 모든 값이 두 배가 됩니다. I1 = 10 mA, I2 = 5 mA.

  3. 어떤 회로에 노드가 5개(접지 포함), 가지가 7개 있습니다. 각 방법에서 방정식이 몇 개 필요할까요?

    정답 보기

    노드 해석: 5 − 1 = 4개. 메시 해석: 7 − 5 + 1 = 3개. 메시 해석이 유리합니다.

  4. 메시 예제의 오른쪽 가지에, I2를 시계 방향으로 밀어 주는 극성으로 6 V 전원을 추가합니다. I1, I2, 그리고 R2의 전류를 구하세요.

    정답 보기

    방정식: 3I1 − 2I2 = 10, −2I1 + 4I2 = 6. 두 번째 식에서 I1 = 2I2 − 3. 대입하면: 6I2 − 9 − 2I2 = 10 → I2 = 4.75 mA, I1 = 6.5 mA. R2에서: 6.5 − 4.75 = 1.75 mA가 아래쪽으로 흐릅니다.

부하에서 바라본 큰 회로망을 단순화하려면 테브난, 노턴, 중첩의 원리로 이어 가세요. 복습이 필요하면 키르히호프 법칙을 다시 살펴보세요.