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Capacitores, inductores y circuitos RC y RL: constante τ

Lectura de 8 min · Equipo bitGateLab

Las resistencias responden al instante: cambias el voltaje y la corriente cambia en ese mismo momento. Los capacitores y los inductores no; almacenan energía y por eso tardan en reaccionar. Ese retraso es la base de los temporizadores, los filtros, las fuentes conmutadas y la eliminación de rebotes en botones. Aquí vas a aprender cómo se comporta cada uno, qué es la constante de tiempo τ y cómo calcular voltajes y corrientes en cualquier instante de una carga o descarga.

El capacitor

Un capacitor está formado por dos placas conductoras separadas por un aislante. Al aplicarle voltaje, se acumula carga positiva en una placa y negativa en la otra. Su capacitancia C (en farads, F) indica cuánta carga guarda por cada volt: Q = C · V. En la práctica se usan µF, nF y pF.

La corriente en un capacitor depende de qué tan rápido cambia su voltaje:

i = C · dv/dt        E = ½ · C · V²

De aquí salen dos consecuencias importantes:

El voltaje de un capacitor no puede cambiar de golpe; haría falta una corriente infinita.
En CD, una vez cargado, dv/dt = 0 y no pasa corriente: el capacitor se comporta como un circuito abierto.

Capacitores en paralelo se suman (C_eq = C₁ + C₂); en serie se combinan como resistencias en paralelo. Un capacitor de 100 µF cargado a 5 V guarda ½ × 100×10⁻⁶ × 25 = 1.25 mJ.

El inductor

Un inductor es una bobina de alambre. La corriente que lo recorre crea un campo magnético que almacena energía. Su inductancia L (en henrys, H) relaciona el voltaje con la rapidez de cambio de la corriente:

v = L · di/dt        E = ½ · L · I²

Es el comportamiento dual del capacitor:

La corriente de un inductor no puede cambiar de golpe. Si intentas cortarla bruscamente, el inductor genera un pico de voltaje muy alto; por eso las bobinas de relevadores llevan un diodo en antiparalelo.
En CD, en estado estable, di/dt = 0 y no hay voltaje: el inductor se comporta como un cable.

Los inductores se combinan como las resistencias: en serie se suman, en paralelo "producto entre suma".

Carga y descarga de un circuito RC

Conecta en serie una fuente V_s, una resistencia R y un capacitor descargado, y cierra el interruptor en t = 0. Al principio el capacitor está en 0 V, así que toda la fuente cae en R y la corriente es máxima, V_s/R. Conforme el capacitor se carga, la diferencia de voltaje sobre R se reduce y la corriente también. El resultado es una curva exponencial:

Carga:     v_C(t) = V_s · (1 − e^−t/τ)        i(t) = (V_s/R) · e^−t/τ
Descarga:  v_C(t) = V₀ · e^−t/τ
           τ = R · C

La constante de tiempo τ (tau) se mide en segundos (ohms por farads da segundos). Es el tiempo que tarda el capacitor en recorrer el 63.2 % del camino hacia su valor final.

Carga (línea continua) y descarga (línea punteada) de un capacitor. En t = τ la carga alcanza el 63.2 % y la descarga baja al 36.8 %.

Estos porcentajes se repiten en cualquier circuito RC o RL, así que conviene tenerlos a la mano:

Tiempo	Carga (% del final)	Descarga (% del inicial)
1τ	63.2 %	36.8 %
2τ	86.5 %	13.5 %
3τ	95.0 %	5.0 %
4τ	98.2 %	1.8 %
5τ	99.3 %	0.7 %

Por convención se dice que después de 5τ el circuito llegó al estado estable.

Ejemplo 1. Un capacitor de 100 µF se carga a través de 10 kΩ desde una fuente de 5 V (escalón de 0 a 5 V en t = 0).

τ = R · C = 10 000 Ω × 100×10⁻⁶ F = 1 s.
Corriente inicial: 5 V / 10 kΩ = 0.5 mA.
v_C(1 s) = 5 × 0.632 = 3.16 V; v_C(2 s) = 5 × 0.865 = 4.32 V; v_C(3 s) = 5 × 0.950 = 4.75 V.
Tiempo para llegar a la mitad (2.5 V): 1 − e^−t/τ = 0.5, así que t = τ · ln 2 = 0.693 s.
Estado estable práctico: 5τ = 5 s, con v_C ≈ 4.97 V y corriente prácticamente nula.

Ejemplo 2. Un capacitor de 47 µF cargado a 12 V se descarga a través de 22 kΩ. ¿Cuánto tarda en bajar a 1 V?

τ = 22 000 × 47×10⁻⁶ = 1.034 s.
De 1 = 12 · e^−t/τ: t = τ · ln(12/1) = 1.034 × 2.485 = 2.57 s.

El circuito RL

Con un inductor en serie con una resistencia pasa algo muy parecido, pero ahora la variable que no puede saltar es la corriente. Al aplicar un escalón de voltaje V_s, la corriente arranca en cero y crece hacia V_s/R, mientras el voltaje en el inductor empieza en V_s y cae a cero:

i(t) = (V_s/R) · (1 − e^−t/τ)        v_L(t) = V_s · e^−t/τ        τ = L / R

Ojo con la fórmula: en el RL, una resistencia mayor hace la respuesta más rápida, al revés que en el RC.

Ejemplo 3. Un inductor de 100 mH en serie con 50 Ω se conecta a 10 V.

τ = L / R = 0.1 H / 50 Ω = 2 ms.
Corriente final: 10 V / 50 Ω = 0.2 A = 200 mA.
En t = 1 ms (medio τ): i = 0.2 × (1 − e^−0.5) = 0.2 × 0.3935 = 78.7 mA.
En t = 2 ms: i = 0.2 × 0.632 = 126.4 mA. A los 10 ms (5τ) ya está prácticamente en 200 mA.
Energía almacenada al final: ½ × 0.1 × 0.2² = 2 mJ.

Dato clave: para resolver cualquier circuito de primer orden con una sola resistencia equivalente, solo necesitas tres datos: el valor inicial, el valor final y τ. La respuesta siempre es x(t) = x_final + (x_inicial − x_final) · e^−t/τ. Si hay más resistencias, usa la R de Thévenin vista desde el capacitor o el inductor.

Errores comunes

Olvidar convertir unidades: 100 µF son 100×10⁻⁶ F y 100 mH son 0.1 H.
Usar τ = R/L o τ = L·R en el circuito RL; es L/R.
Suponer que el capacitor queda "lleno" en 1τ; en ese momento solo va en el 63.2 %.
Pensar que la corriente en un capacitor sigue a su voltaje; en realidad es máxima cuando el voltaje cambia más rápido, al inicio de la carga.
Abrir un circuito con un inductor cargado sin camino para su corriente; el pico de voltaje puede dañar un transistor o un interruptor.

Pruébalo en el simulador

Con el osciloscopio virtual puedes ver la curva exponencial y medir τ directamente sobre ella. Usa una onda cuadrada como fuente para observar carga y descarga una y otra vez.

Coloca una fuente de onda cuadrada de 0 a 5 V con un periodo de al menos 10τ (por ejemplo, 10 s para el ejemplo 1, o usa valores más pequeños, como 10 kΩ y 100 nF, con τ = 1 ms y un periodo de 10 ms).
Conecta en serie la resistencia y el capacitor.
Conecta un canal del osciloscopio a la fuente y otro al capacitor.
Observa la curva de carga y mide el tiempo en que llega a 3.16 V; ese es τ.
Cambia la resistencia al doble y observa que la curva tarda el doble.
Repite con un inductor y una resistencia, observando la corriente en lugar del voltaje.

Ejercicios

Calcula τ y el tiempo de estado estable (5τ) para R = 1 kΩ y C = 470 µF.

Ver respuesta

τ = 1 000 × 470×10⁻⁶ = 0.47 s. 5τ = 2.35 s.
Un circuito RC con τ = 2 s se carga desde 0 V con una fuente de 9 V. ¿Qué voltaje tiene el capacitor en t = 3 s?

Ver respuesta

v_C = 9 × (1 − e^−1.5) = 9 × (1 − 0.2231) = 9 × 0.7769 ≈ 6.99 V.
Un inductor de 20 mH en serie con 100 Ω se conecta a 12 V. Calcula τ, la corriente final y la corriente en t = τ.

Ver respuesta

τ = 0.02 / 100 = 0.2 ms. Corriente final: 12 / 100 = 120 mA. En t = τ: 0.632 × 120 ≈ 75.9 mA.
¿Cuánta energía guarda un capacitor de 1 000 µF cargado a 25 V?

Ver respuesta

E = ½ × 1×10⁻³ × 25² = ½ × 10⁻³ × 625 = 0.3125 J.

Para calcular la resistencia equivalente vista desde el capacitor, repasa Thévenin, Norton y superposición.