学习 › 第 6 课
电容、电感与 RC、RL 电路：时间常数 τ
阅读约 8 分钟 · bitGateLab 团队
电阻的响应是瞬时的：电压一变，电流立刻跟着变。电容和电感则不同；它们会储存能量，因此反应需要时间。这种延迟正是定时器、滤波器、开关电源和按键消抖的基础。本课将带你了解它们各自的特性、什么是时间常数 τ，以及如何计算充电或放电过程中任意时刻的电压和电流。
电容
电容由两块导体极板和中间的绝缘介质构成。给它加上电压，一块极板上会积累正电荷，另一块积累负电荷。它的电容量 C（单位为法拉，F）表示每伏特电压能储存多少电荷：Q = C · V。实际中常用的是 µF、nF 和 pF。
电容中的电流取决于其电压变化的快慢：
i = C · dv/dt E = ½ · C · V²
由此得出两个重要结论：
- 电容两端的电压不能突变；否则需要无穷大的电流。
- 在直流下，充电完成后 dv/dt = 0，没有电流流过：电容相当于开路。
电容并联时容量相加（Ceq = C1 + C2）；串联时的算法与电阻并联相同。一个 100 µF 的电容充电到 5 V，储存的能量为 ½ × 100×10⁻⁶ × 25 = 1.25 mJ。
电感
电感是一个用导线绕成的线圈。流过它的电流会产生磁场，磁场中储存着能量。它的电感量 L（单位为亨利，H）把电压与电流的变化率联系起来：
v = L · di/dt E = ½ · L · I²
它的特性与电容对偶：
- 电感中的电流不能突变。如果试图突然切断电流，电感会产生很高的电压尖峰；所以继电器线圈都要反向并联一只二极管。
- 在直流稳态下，di/dt = 0，两端没有电压：电感相当于一根导线。
电感的组合方式与电阻相同：串联相加，并联则是“积除以和”。
RC 电路的充电与放电
把电源 Vs、电阻 R 和一个未充电的电容串联起来，在 t = 0 时闭合开关。起初电容电压为 0 V，所以电源电压全部降在 R 上，电流最大，为 Vs/R。随着电容充电，R 上的电压逐渐减小，电流也随之减小。结果是一条指数曲线：
充电： vC(t) = Vs · (1 − e−t/τ) i(t) = (Vs/R) · e−t/τ
放电： vC(t) = V0 · e−t/τ
τ = R · C
这里的时间常数 τ（tau）以秒为单位（欧姆乘以法拉得到秒）。它是电容电压完成从初始值到最终值全部变化量的 63.2 % 所需的时间。
这些百分比在任何 RC 或 RL 电路中都一样，值得记下来备用：
| 时间 | 充电（终值的 %） | 放电（初值的 %） |
|---|---|---|
| 1τ | 63.2 % | 36.8 % |
| 2τ | 86.5 % | 13.5 % |
| 3τ | 95.0 % | 5.0 % |
| 4τ | 98.2 % | 1.8 % |
| 5τ | 99.3 % | 0.7 % |
按惯例，认为经过 5τ 之后电路就达到了稳态。
例 1：一个 100 µF 的电容经 10 kΩ 电阻由 5 V 电源充电（t = 0 时电压从 0 阶跃到 5 V）。
- τ = R · C = 10 000 Ω × 100×10⁻⁶ F = 1 s。
- 初始电流：5 V / 10 kΩ = 0.5 mA。
- vC(1 s) = 5 × 0.632 = 3.16 V；vC(2 s) = 5 × 0.865 = 4.32 V；vC(3 s) = 5 × 0.950 = 4.75 V。
- 充到一半（2.5 V）所需的时间：1 − e−t/τ = 0.5，所以 t = τ · ln 2 = 0.693 s。
- 工程上的稳态：5τ = 5 s，此时 vC ≈ 4.97 V，电流几乎为零。
例 2：一个 47 µF 的电容充电到 12 V 后，经 22 kΩ 电阻放电。降到 1 V 需要多长时间？
- τ = 22 000 × 47×10⁻⁶ = 1.034 s。
- 由 1 = 12 · e−t/τ：t = τ · ln(12/1) = 1.034 × 2.485 = 2.57 s。
RL 电路
电感与电阻串联时，情况非常相似，只是现在不能跳变的量是电流。施加阶跃电压 Vs 后，电流从零开始，向 Vs/R 增长，而电感上的电压从 Vs 开始，衰减到零：
i(t) = (Vs/R) · (1 − e−t/τ) vL(t) = Vs · e−t/τ τ = L / R
留意这个公式：在 RL 电路中，电阻越大，响应越快，与 RC 电路正好相反。
例 3：一个 100 mH 的电感与 50 Ω 电阻串联，接到 10 V 上。
- τ = L / R = 0.1 H / 50 Ω = 2 ms。
- 最终电流：10 V / 50 Ω = 0.2 A = 200 mA。
- 在 t = 1 ms（半个 τ）时：i = 0.2 × (1 − e−0.5) = 0.2 × 0.3935 = 78.7 mA。
- 在 t = 2 ms 时：i = 0.2 × 0.632 = 126.4 mA。到 10 ms（5τ）时，电流已基本达到 200 mA。
- 最终储存的能量：½ × 0.1 × 0.2² = 2 mJ。
要点：求解任何只有一个等效电阻的一阶电路，只需要三个数据：初始值、最终值和 τ。响应总是 x(t) = x终 + (x初 − x终) · e−t/τ。如果有多个电阻，就用从电容或电感两端看进去的戴维南电阻 R。
常见错误
- 忘记换算单位：100 µF 是 100×10⁻⁶ F，100 mH 是 0.1 H。
- 在 RL 电路中用 τ = R/L 或 τ = L·R；正确的是 L/R。
- 以为电容在 1τ 时就“充满”了；那时它只充到 63.2 %。
- 以为电容中的电流跟随它的电压变化；实际上，电压变化最快时，也就是充电刚开始时，电流最大。
- 断开电感中仍有电流流过的电路时，没有给这个电流留出通路；电压尖峰可能损坏晶体管或开关。
在模拟器中试一试
用虚拟示波器可以看到指数曲线，并直接在曲线上测量 τ。用方波作为信号源，就能反复观察充电和放电。
- 放置一个 0 到 5 V 的方波源，周期至少为 10τ（例如，对例 1 取 10 s；或者用更小的元件值，如 10 kΩ 和 100 nF，此时 τ = 1 ms，周期取 10 ms）。
- 把电阻和电容串联起来。
- 把示波器的一个通道接到信号源，另一个通道接到电容。
- 观察充电曲线，测量它到达 3.16 V 的时间；这就是 τ。
- 把电阻加大一倍，观察曲线所需的时间也加倍。
- 换成电感和电阻重复实验，这次观察电流而不是电压。
练习题
-
已知 R = 1 kΩ、C = 470 µF，求 τ 和达到稳态的时间（5τ）。
查看答案
τ = 1 000 × 470×10⁻⁶ = 0.47 s。5τ = 2.35 s。
-
一个 τ = 2 s 的 RC 电路由 9 V 电源从 0 V 开始充电。t = 3 s 时电容上的电压是多少？
查看答案
vC = 9 × (1 − e−1.5) = 9 × (1 − 0.2231) = 9 × 0.7769 ≈ 6.99 V。
-
一个 20 mH 的电感与 100 Ω 电阻串联，接到 12 V 上。求 τ、最终电流和 t = τ 时的电流。
查看答案
τ = 0.02 / 100 = 0.2 ms。最终电流：12 / 100 = 120 mA。t = τ 时：0.632 × 120 ≈ 75.9 mA。
-
一个 1 000 µF 的电容充电到 25 V，储存了多少能量？
查看答案
E = ½ × 1×10⁻³ × 25² = ½ × 10⁻³ × 625 = 0.3125 J。
要计算从电容两端看进去的等效电阻，请复习戴维南定理、诺顿定理与叠加定理。