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Kondensatoren, Spulen und RC- und RL-Schaltungen: Zeitkonstante τ

8 Min. Lesezeit · bitGateLab-Team

Widerstände reagieren sofort: Du änderst die Spannung, und der Strom ändert sich im selben Augenblick. Kondensatoren und Spulen tun das nicht; sie speichern Energie und brauchen deshalb Zeit, um zu reagieren. Diese Verzögerung ist die Grundlage von Zeitgebern, Filtern, Schaltnetzteilen und dem Entprellen von Tastern. Hier lernst du, wie sich beide Bauteile verhalten, was die Zeitkonstante τ ist und wie du Spannungen und Ströme zu jedem Zeitpunkt eines Lade- oder Entladevorgangs berechnest.

Der Kondensator

Ein Kondensator besteht aus zwei leitenden Platten, die durch einen Isolator getrennt sind. Legst du eine Spannung an, sammelt sich auf der einen Platte positive und auf der anderen negative Ladung. Seine Kapazität C (in Farad, F) gibt an, wie viel Ladung er pro Volt speichert: Q = C · V. In der Praxis verwendet man µF, nF und pF.

Der Strom in einem Kondensator hängt davon ab, wie schnell sich seine Spannung ändert:

i = C · dv/dt        E = ½ · C · V²

Daraus ergeben sich zwei wichtige Folgerungen:

Die Spannung eines Kondensators kann sich nicht sprunghaft ändern; dazu wäre ein unendlich großer Strom nötig.
Bei Gleichstrom ist nach dem Aufladen dv/dt = 0, und es fließt kein Strom: Der Kondensator verhält sich wie eine Unterbrechung.

Parallel geschaltete Kondensatoren addieren sich (C_ges = C₁ + C₂); in Reihe werden sie wie parallele Widerstände zusammengefasst. Ein Kondensator von 100 µF, der auf 5 V geladen ist, speichert ½ × 100×10⁻⁶ × 25 = 1.25 mJ.

Die Spule

Eine Spule ist ein aufgewickelter Draht. Der Strom, der durch sie fließt, erzeugt ein Magnetfeld, das Energie speichert. Ihre Induktivität L (in Henry, H) verknüpft die Spannung mit der Änderungsgeschwindigkeit des Stroms:

v = L · di/dt        E = ½ · L · I²

Das ist das duale Verhalten zum Kondensator:

Der Strom einer Spule kann sich nicht sprunghaft ändern. Versuchst du, ihn abrupt zu unterbrechen, erzeugt die Spule eine sehr hohe Spannungsspitze; deshalb bekommen Relaisspulen eine antiparallel geschaltete Diode (Freilaufdiode).
Bei Gleichstrom ist im eingeschwungenen Zustand di/dt = 0, und es liegt keine Spannung an: Die Spule verhält sich wie ein Draht.

Spulen werden wie Widerstände zusammengefasst: In Reihe addieren sie sich, parallel gilt „Produkt durch Summe“.

Laden und Entladen einer RC-Schaltung

Schalte eine Quelle V_s, einen Widerstand R und einen ungeladenen Kondensator in Reihe und schließe den Schalter bei t = 0. Am Anfang liegt der Kondensator auf 0 V, also fällt die gesamte Quellenspannung an R ab, und der Strom ist maximal, V_s/R. Während sich der Kondensator auflädt, sinkt die Spannung an R und mit ihr der Strom. Das Ergebnis ist eine Exponentialkurve:

Laden:     v_C(t) = V_s · (1 − e^−t/τ)        i(t) = (V_s/R) · e^−t/τ
Entladen:  v_C(t) = V₀ · e^−t/τ
           τ = R · C

Die Zeitkonstante τ (Tau) wird in Sekunden gemessen (Ohm mal Farad ergibt Sekunden). Sie ist die Zeit, die der Kondensator braucht, um 63.2 % des Weges zu seinem Endwert zurückzulegen.

Laden (durchgezogene Linie) und Entladen (gestrichelte Linie) eines Kondensators. Bei t = τ erreicht die Ladekurve 63.2 %, und die Entladekurve ist auf 36.8 % gefallen.

Diese Prozentwerte wiederholen sich in jeder RC- oder RL-Schaltung, es lohnt sich also, sie griffbereit zu haben:

Zeit	Laden (% des Endwerts)	Entladen (% des Anfangswerts)
1τ	63.2 %	36.8 %
2τ	86.5 %	13.5 %
3τ	95.0 %	5.0 %
4τ	98.2 %	1.8 %
5τ	99.3 %	0.7 %

Vereinbarungsgemäß sagt man, dass die Schaltung nach 5τ den eingeschwungenen Zustand erreicht hat.

Beispiel 1. Ein Kondensator von 100 µF wird über 10 kΩ aus einer Quelle mit 5 V geladen (Sprung von 0 auf 5 V bei t = 0).

τ = R · C = 10 000 Ω × 100×10⁻⁶ F = 1 s.
Anfangsstrom: 5 V / 10 kΩ = 0.5 mA.
v_C(1 s) = 5 × 0.632 = 3.16 V; v_C(2 s) = 5 × 0.865 = 4.32 V; v_C(3 s) = 5 × 0.950 = 4.75 V.
Zeit bis zur Hälfte (2.5 V): 1 − e^−t/τ = 0.5, also t = τ · ln 2 = 0.693 s.
Praktisch eingeschwungen: 5τ = 5 s, mit v_C ≈ 4.97 V und einem Strom von praktisch null.

Beispiel 2. Ein auf 12 V geladener Kondensator von 47 µF entlädt sich über 22 kΩ. Wie lange dauert es, bis er auf 1 V gefallen ist?

τ = 22 000 × 47×10⁻⁶ = 1.034 s.
Aus 1 = 12 · e^−t/τ: t = τ · ln(12/1) = 1.034 × 2.485 = 2.57 s.

Die RL-Schaltung

Mit einer Spule in Reihe mit einem Widerstand passiert etwas ganz Ähnliches, nur ist jetzt der Strom die Größe, die nicht springen kann. Legst du einen Spannungssprung V_s an, beginnt der Strom bei null und wächst auf V_s/R an, während die Spannung an der Spule bei V_s beginnt und auf null fällt:

i(t) = (V_s/R) · (1 − e^−t/τ)        v_L(t) = V_s · e^−t/τ        τ = L / R

Achte auf die Formel: In der RL-Schaltung macht ein größerer Widerstand die Antwort schneller, umgekehrt wie in der RC-Schaltung.

Beispiel 3. Eine Spule von 100 mH in Reihe mit 50 Ω wird an 10 V angeschlossen.

τ = L / R = 0.1 H / 50 Ω = 2 ms.
Endstrom: 10 V / 50 Ω = 0.2 A = 200 mA.
Bei t = 1 ms (ein halbes τ): i = 0.2 × (1 − e^−0.5) = 0.2 × 0.3935 = 78.7 mA.
Bei t = 2 ms: i = 0.2 × 0.632 = 126.4 mA. Nach 10 ms (5τ) liegt er praktisch schon bei 200 mA.
Am Ende gespeicherte Energie: ½ × 0.1 × 0.2² = 2 mJ.

Merke: Um eine beliebige Schaltung erster Ordnung mit einem einzigen Ersatzwiderstand zu lösen, brauchst du nur drei Angaben: den Anfangswert, den Endwert und τ. Die Antwort ist immer x(t) = x_Ende + (x_Anfang − x_Ende) · e^−t/τ. Gibt es mehrere Widerstände, verwende den Thévenin-Widerstand, den man vom Kondensator oder von der Spule aus sieht.

Häufige Fehler

Vergessen, die Einheiten umzurechnen: 100 µF sind 100×10⁻⁶ F, und 100 mH sind 0.1 H.
In der RL-Schaltung τ = R/L oder τ = L·R verwenden; richtig ist L/R.
Annehmen, der Kondensator sei nach 1τ „voll“; zu diesem Zeitpunkt hat er erst 63.2 % erreicht.
Denken, der Strom in einem Kondensator folge seiner Spannung; in Wirklichkeit ist er am größten, wenn sich die Spannung am schnellsten ändert, also zu Beginn des Ladens.
Einen Stromkreis mit stromdurchflossener Spule öffnen, ohne dass ihr Strom einen Weg hat; die Spannungsspitze kann einen Transistor oder einen Schalter zerstören.

Probiere es im Simulator aus

Mit dem virtuellen Oszilloskop kannst du die Exponentialkurve sehen und τ direkt an ihr ablesen. Verwende ein Rechtecksignal als Quelle, um das Laden und Entladen immer wieder zu beobachten.

Platziere eine Rechteckquelle von 0 bis 5 V mit einer Periode von mindestens 10τ (zum Beispiel 10 s für Beispiel 1, oder nimm kleinere Werte wie 10 kΩ und 100 nF, mit τ = 1 ms und einer Periode von 10 ms).
Schalte den Widerstand und den Kondensator in Reihe.
Schließe einen Kanal des Oszilloskops an die Quelle und einen weiteren an den Kondensator an.
Beobachte die Ladekurve und miss die Zeit, nach der sie 3.16 V erreicht; das ist τ.
Verdopple den Widerstand und beobachte, dass die Kurve doppelt so lange braucht.
Wiederhole den Versuch mit einer Spule und einem Widerstand und beobachte dabei den Strom statt der Spannung.

Übungen

Berechne τ und die Zeit bis zum eingeschwungenen Zustand (5τ) für R = 1 kΩ und C = 470 µF.

Lösung anzeigen

τ = 1 000 × 470×10⁻⁶ = 0.47 s. 5τ = 2.35 s.
Eine RC-Schaltung mit τ = 2 s wird von 0 V aus mit einer Quelle von 9 V geladen. Welche Spannung hat der Kondensator bei t = 3 s?

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v_C = 9 × (1 − e^−1.5) = 9 × (1 − 0.2231) = 9 × 0.7769 ≈ 6.99 V.
Eine Spule von 20 mH in Reihe mit 100 Ω wird an 12 V angeschlossen. Berechne τ, den Endstrom und den Strom bei t = τ.

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τ = 0.02 / 100 = 0.2 ms. Endstrom: 12 / 100 = 120 mA. Bei t = τ: 0.632 × 120 ≈ 75.9 mA.
Wie viel Energie speichert ein Kondensator von 1 000 µF, der auf 25 V geladen ist?

Lösung anzeigen

E = ½ × 1×10⁻³ × 25² = ½ × 10⁻³ × 625 = 0.3125 J.

Um den Ersatzwiderstand zu berechnen, den man vom Kondensator aus sieht, wiederhole Thévenin, Norton und Überlagerung.