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Condensatori, induttori e circuiti RC e RL: la costante τ

8 min di lettura · Team bitGateLab

I resistori rispondono all'istante: cambi la tensione e la corrente cambia nello stesso momento. I condensatori e gli induttori no; immagazzinano energia e per questo impiegano del tempo a reagire. Questo ritardo è alla base dei temporizzatori, dei filtri, degli alimentatori a commutazione e dell'antirimbalzo dei pulsanti. Qui imparerai come si comporta ciascuno dei due, che cos'è la costante di tempo τ e come calcolare tensioni e correnti in qualsiasi istante di una carica o di una scarica.

Il condensatore

Un condensatore è formato da due armature conduttrici separate da un isolante. Applicandogli una tensione, si accumula carica positiva su un'armatura e negativa sull'altra. La sua capacità C (in farad, F) indica quanta carica immagazzina per ogni volt: Q = C · V. In pratica si usano µF, nF e pF.

La corrente in un condensatore dipende dalla rapidità con cui varia la sua tensione:

i = C · dv/dt        E = ½ · C · V²

Ne derivano due conseguenze importanti:

La tensione di un condensatore non può cambiare bruscamente; servirebbe una corrente infinita.
In CC, una volta carico, dv/dt = 0 e non passa corrente: il condensatore si comporta come un circuito aperto.

I condensatori in parallelo si sommano (C_eq = C₁ + C₂); in serie si combinano come i resistori in parallelo. Un condensatore da 100 µF carico a 5 V immagazzina ½ × 100×10⁻⁶ × 25 = 1.25 mJ.

L'induttore

Un induttore è una bobina di filo. La corrente che lo percorre crea un campo magnetico che immagazzina energia. La sua induttanza L (in henry, H) lega la tensione alla rapidità di variazione della corrente:

v = L · di/dt        E = ½ · L · I²

È il comportamento duale del condensatore:

La corrente di un induttore non può cambiare bruscamente. Se provi a interromperla di colpo, l'induttore genera un picco di tensione molto alto; per questo le bobine dei relè hanno un diodo in antiparallelo.
In CC, a regime, di/dt = 0 e non c'è tensione: l'induttore si comporta come un filo.

Gli induttori si combinano come i resistori: in serie si sommano, in parallelo «prodotto fratto somma».

Carica e scarica di un circuito RC

Collega in serie un generatore V_s, un resistore R e un condensatore scarico, e chiudi l'interruttore in t = 0. All'inizio il condensatore è a 0 V, quindi tutta la tensione del generatore cade su R e la corrente è massima, V_s/R. Man mano che il condensatore si carica, la tensione su R si riduce e con essa la corrente. Il risultato è una curva esponenziale:

Carica:    v_C(t) = V_s · (1 − e^−t/τ)        i(t) = (V_s/R) · e^−t/τ
Scarica:   v_C(t) = V₀ · e^−t/τ
           τ = R · C

La costante di tempo τ (tau) si misura in secondi (ohm per farad dà secondi). È il tempo che il condensatore impiega a percorrere il 63.2 % del cammino verso il suo valore finale.

Carica (linea continua) e scarica (linea tratteggiata) di un condensatore. In t = τ la carica raggiunge il 63.2 % e la scarica scende al 36.8 %.

Queste percentuali si ripetono in qualsiasi circuito RC o RL, quindi conviene tenerle a portata di mano:

Tempo	Carica (% del valore finale)	Scarica (% del valore iniziale)
1τ	63.2 %	36.8 %
2τ	86.5 %	13.5 %
3τ	95.0 %	5.0 %
4τ	98.2 %	1.8 %
5τ	99.3 %	0.7 %

Per convenzione si dice che dopo 5τ il circuito ha raggiunto il regime.

Esempio 1. Un condensatore da 100 µF si carica attraverso 10 kΩ da un generatore da 5 V (gradino da 0 a 5 V in t = 0).

τ = R · C = 10 000 Ω × 100×10⁻⁶ F = 1 s.
Corrente iniziale: 5 V / 10 kΩ = 0.5 mA.
v_C(1 s) = 5 × 0.632 = 3.16 V; v_C(2 s) = 5 × 0.865 = 4.32 V; v_C(3 s) = 5 × 0.950 = 4.75 V.
Tempo per arrivare a metà (2.5 V): 1 − e^−t/τ = 0.5, quindi t = τ · ln 2 = 0.693 s.
Regime raggiunto in pratica: 5τ = 5 s, con v_C ≈ 4.97 V e corrente praticamente nulla.

Esempio 2. Un condensatore da 47 µF carico a 12 V si scarica attraverso 22 kΩ. Quanto tempo impiega a scendere a 1 V?

τ = 22 000 × 47×10⁻⁶ = 1.034 s.
Da 1 = 12 · e^−t/τ: t = τ · ln(12/1) = 1.034 × 2.485 = 2.57 s.

Il circuito RL

Con un induttore in serie a un resistore succede qualcosa di molto simile, ma ora la grandezza che non può fare salti è la corrente. Applicando un gradino di tensione V_s, la corrente parte da zero e cresce verso V_s/R, mentre la tensione sull'induttore parte da V_s e scende a zero:

i(t) = (V_s/R) · (1 − e^−t/τ)        v_L(t) = V_s · e^−t/τ        τ = L / R

Attenzione alla formula: nel circuito RL una resistenza maggiore rende la risposta più rapida, al contrario del circuito RC.

Esempio 3. Un induttore da 100 mH in serie con 50 Ω viene collegato a 10 V.

τ = L / R = 0.1 H / 50 Ω = 2 ms.
Corrente finale: 10 V / 50 Ω = 0.2 A = 200 mA.
In t = 1 ms (mezzo τ): i = 0.2 × (1 − e^−0.5) = 0.2 × 0.3935 = 78.7 mA.
In t = 2 ms: i = 0.2 × 0.632 = 126.4 mA. Dopo 10 ms (5τ) è già praticamente a 200 mA.
Energia immagazzinata alla fine: ½ × 0.1 × 0.2² = 2 mJ.

Punto chiave: per risolvere qualsiasi circuito del primo ordine con una sola resistenza equivalente ti servono solo tre dati: il valore iniziale, il valore finale e τ. La risposta è sempre x(t) = x_finale + (x_iniziale − x_finale) · e^−t/τ. Se ci sono più resistori, usa la R di Thévenin vista dal condensatore o dall'induttore.

Errori comuni

Dimenticare di convertire le unità: 100 µF sono 100×10⁻⁶ F e 100 mH sono 0.1 H.
Usare τ = R/L o τ = L·R nel circuito RL; è L/R.
Supporre che il condensatore sia «pieno» dopo 1τ; in quel momento è solo al 63.2 %.
Pensare che la corrente in un condensatore segua la sua tensione; in realtà è massima quando la tensione varia più rapidamente, all'inizio della carica.
Aprire un circuito con un induttore carico senza lasciare un percorso alla sua corrente; il picco di tensione può danneggiare un transistor o un interruttore.

Provalo nel simulatore

Con l'oscilloscopio virtuale puoi vedere la curva esponenziale e misurare τ direttamente su di essa. Usa un'onda quadra come sorgente per osservare carica e scarica più e più volte.

Inserisci una sorgente a onda quadra da 0 a 5 V con un periodo di almeno 10τ (per esempio, 10 s per l'esempio 1, oppure usa valori più piccoli, come 10 kΩ e 100 nF, con τ = 1 ms e un periodo di 10 ms).
Collega in serie il resistore e il condensatore.
Collega un canale dell'oscilloscopio alla sorgente e un altro al condensatore.
Osserva la curva di carica e misura il tempo in cui raggiunge 3.16 V; quello è τ.
Raddoppia la resistenza e osserva che la curva impiega il doppio del tempo.
Ripeti con un induttore e un resistore, osservando la corrente invece della tensione.

Esercizi

Calcola τ e il tempo per raggiungere il regime (5τ) per R = 1 kΩ e C = 470 µF.

Mostra la soluzione

τ = 1 000 × 470×10⁻⁶ = 0.47 s. 5τ = 2.35 s.
Un circuito RC con τ = 2 s si carica da 0 V con un generatore da 9 V. Che tensione ha il condensatore in t = 3 s?

Mostra la soluzione

v_C = 9 × (1 − e^−1.5) = 9 × (1 − 0.2231) = 9 × 0.7769 ≈ 6.99 V.
Un induttore da 20 mH in serie con 100 Ω viene collegato a 12 V. Calcola τ, la corrente finale e la corrente in t = τ.

Mostra la soluzione

τ = 0.02 / 100 = 0.2 ms. Corrente finale: 12 / 100 = 120 mA. In t = τ: 0.632 × 120 ≈ 75.9 mA.
Quanta energia immagazzina un condensatore da 1 000 µF carico a 25 V?

Mostra la soluzione

E = ½ × 1×10⁻³ × 25² = ½ × 10⁻³ × 625 = 0.3125 J.

Per calcolare la resistenza equivalente vista dal condensatore, ripassa Thévenin, Norton e sovrapposizione.