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Capacitores, indutores e circuitos RC e RL: constante τ

Leitura de 8 min · Equipe bitGateLab

Os resistores respondem na hora: você muda a tensão e a corrente muda no mesmo instante. Os capacitores e os indutores, não; eles armazenam energia e por isso demoram a reagir. Esse atraso é a base dos temporizadores, dos filtros, das fontes chaveadas e da eliminação do repique de contato em botões. Aqui você vai aprender como cada um se comporta, o que é a constante de tempo τ e como calcular tensões e correntes em qualquer instante de uma carga ou descarga.

O capacitor

Um capacitor é formado por duas placas condutoras separadas por um isolante. Quando se aplica tensão a ele, acumula-se carga positiva em uma placa e negativa na outra. Sua capacitância C (em farads, F) indica quanta carga ele guarda por volt: Q = C · V. Na prática usam-se µF, nF e pF.

A corrente em um capacitor depende da rapidez com que sua tensão varia:

i = C · dv/dt        E = ½ · C · V²

Daí saem duas consequências importantes:

A tensão de um capacitor não pode mudar de repente; seria necessária uma corrente infinita.
Em CC, depois de carregado, dv/dt = 0 e não passa corrente: o capacitor se comporta como um circuito aberto.

Capacitores em paralelo se somam (C_eq = C₁ + C₂); em série, combinam-se como resistores em paralelo. Um capacitor de 100 µF carregado com 5 V guarda ½ × 100×10⁻⁶ × 25 = 1.25 mJ.

O indutor

Um indutor é uma bobina de fio. A corrente que o percorre cria um campo magnético que armazena energia. Sua indutância L (em henrys, H) relaciona a tensão com a taxa de variação da corrente:

v = L · di/dt        E = ½ · L · I²

É o comportamento dual do capacitor:

A corrente de um indutor não pode mudar de repente. Se você tentar interrompê-la bruscamente, o indutor gera um pico de tensão muito alto; por isso as bobinas de relés levam um diodo em antiparalelo.
Em CC, em regime permanente, di/dt = 0 e não há tensão: o indutor se comporta como um fio.

Os indutores se combinam como os resistores: em série se somam, em paralelo vale "produto sobre soma".

Carga e descarga de um circuito RC

Ligue em série uma fonte V_s, um resistor R e um capacitor descarregado, e feche a chave em t = 0. No início o capacitor está em 0 V, então toda a tensão da fonte cai em R e a corrente é máxima, V_s/R. À medida que o capacitor se carrega, a diferença de tensão sobre R diminui e a corrente também. O resultado é uma curva exponencial:

Carga:     v_C(t) = V_s · (1 − e^−t/τ)        i(t) = (V_s/R) · e^−t/τ
Descarga:  v_C(t) = V₀ · e^−t/τ
           τ = R · C

A constante de tempo τ (tau) é medida em segundos (ohms vezes farads dá segundos). É o tempo que o capacitor leva para percorrer 63.2 % do caminho até seu valor final.

Carga (linha contínua) e descarga (linha tracejada) de um capacitor. Em t = τ a carga atinge 63.2 % e a descarga cai para 36.8 %.

Esses percentuais se repetem em qualquer circuito RC ou RL, então vale a pena tê-los à mão:

Tempo	Carga (% do final)	Descarga (% do inicial)
1τ	63.2 %	36.8 %
2τ	86.5 %	13.5 %
3τ	95.0 %	5.0 %
4τ	98.2 %	1.8 %
5τ	99.3 %	0.7 %

Por convenção, diz-se que depois de 5τ o circuito chegou ao regime permanente.

Exemplo 1. Um capacitor de 100 µF é carregado através de 10 kΩ por uma fonte de 5 V (degrau de 0 a 5 V em t = 0).

τ = R · C = 10 000 Ω × 100×10⁻⁶ F = 1 s.
Corrente inicial: 5 V / 10 kΩ = 0.5 mA.
v_C(1 s) = 5 × 0.632 = 3.16 V; v_C(2 s) = 5 × 0.865 = 4.32 V; v_C(3 s) = 5 × 0.950 = 4.75 V.
Tempo para chegar à metade (2.5 V): 1 − e^−t/τ = 0.5, portanto t = τ · ln 2 = 0.693 s.
Regime permanente na prática: 5τ = 5 s, com v_C ≈ 4.97 V e corrente praticamente nula.

Exemplo 2. Um capacitor de 47 µF carregado com 12 V se descarrega através de 22 kΩ. Quanto tempo ele leva para cair a 1 V?

τ = 22 000 × 47×10⁻⁶ = 1.034 s.
De 1 = 12 · e^−t/τ: t = τ · ln(12/1) = 1.034 × 2.485 = 2.57 s.

O circuito RL

Com um indutor em série com um resistor acontece algo muito parecido, mas agora a grandeza que não pode saltar é a corrente. Ao aplicar um degrau de tensão V_s, a corrente parte de zero e cresce até V_s/R, enquanto a tensão no indutor começa em V_s e cai a zero:

i(t) = (V_s/R) · (1 − e^−t/τ)        v_L(t) = V_s · e^−t/τ        τ = L / R

Cuidado com a fórmula: no RL, uma resistência maior torna a resposta mais rápida, ao contrário do RC.

Exemplo 3. Um indutor de 100 mH em série com 50 Ω é ligado a 10 V.

τ = L / R = 0.1 H / 50 Ω = 2 ms.
Corrente final: 10 V / 50 Ω = 0.2 A = 200 mA.
Em t = 1 ms (meio τ): i = 0.2 × (1 − e^−0.5) = 0.2 × 0.3935 = 78.7 mA.
Em t = 2 ms: i = 0.2 × 0.632 = 126.4 mA. Aos 10 ms (5τ) ela já está praticamente em 200 mA.
Energia armazenada no final: ½ × 0.1 × 0.2² = 2 mJ.

Ponto-chave: para resolver qualquer circuito de primeira ordem com uma única resistência equivalente, você só precisa de três dados: o valor inicial, o valor final e τ. A resposta é sempre x(t) = x_final + (x_inicial − x_final) · e^−t/τ. Se houver mais resistores, use a R de Thévenin vista a partir do capacitor ou do indutor.

Erros comuns

Esquecer de converter unidades: 100 µF são 100×10⁻⁶ F e 100 mH são 0.1 H.
Usar τ = R/L ou τ = L·R no circuito RL; o correto é L/R.
Supor que o capacitor fica "cheio" em 1τ; nesse momento ele está apenas em 63.2 %.
Achar que a corrente em um capacitor acompanha a tensão dele; na verdade ela é máxima quando a tensão varia mais rápido, no início da carga.
Abrir um circuito com um indutor carregado sem deixar um caminho para a corrente; o pico de tensão pode danificar um transistor ou uma chave.

Experimente no simulador

Com o osciloscópio virtual você pode ver a curva exponencial e medir τ diretamente sobre ela. Use uma onda quadrada como fonte para observar a carga e a descarga repetidas vezes.

Coloque uma fonte de onda quadrada de 0 a 5 V com um período de pelo menos 10τ (por exemplo, 10 s para o exemplo 1, ou use valores menores, como 10 kΩ e 100 nF, com τ = 1 ms e um período de 10 ms).
Ligue em série o resistor e o capacitor.
Ligue um canal do osciloscópio à fonte e outro ao capacitor.
Observe a curva de carga e meça o tempo em que ela chega a 3.16 V; esse é τ.
Dobre o valor do resistor e observe que a curva leva o dobro do tempo.
Repita com um indutor e um resistor, observando a corrente em vez da tensão.

Exercícios

Calcule τ e o tempo para atingir o regime permanente (5τ) para R = 1 kΩ e C = 470 µF.

Ver resposta

τ = 1 000 × 470×10⁻⁶ = 0.47 s. 5τ = 2.35 s.
Um circuito RC com τ = 2 s é carregado a partir de 0 V por uma fonte de 9 V. Que tensão o capacitor tem em t = 3 s?

Ver resposta

v_C = 9 × (1 − e^−1.5) = 9 × (1 − 0.2231) = 9 × 0.7769 ≈ 6.99 V.
Um indutor de 20 mH em série com 100 Ω é ligado a 12 V. Calcule τ, a corrente final e a corrente em t = τ.

Ver resposta

τ = 0.02 / 100 = 0.2 ms. Corrente final: 12 / 100 = 120 mA. Em t = τ: 0.632 × 120 ≈ 75.9 mA.
Quanta energia guarda um capacitor de 1 000 µF carregado com 25 V?

Ver resposta

E = ½ × 1×10⁻³ × 25² = ½ × 10⁻³ × 625 = 0.3125 J.

Para calcular a resistência equivalente vista a partir do capacitor, revise Thévenin, Norton e superposição.