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Corriente alterna y fasores: senoidales, RMS e impedancia

Lectura de 8 min · Equipo bitGateLab

La energía que llega a tu casa, la señal de un micrófono y la salida de un generador de funciones tienen algo en común: cambian con el tiempo siguiendo, o aproximándose a, una onda senoidal. Para analizar circuitos con este tipo de señales necesitas tres herramientas: saber leer los parámetros de una senoidal, entender qué significa el valor RMS y trabajar con fasores e impedancias. Con ellas, un circuito de corriente alterna (CA) se resuelve con las mismas leyes de Ohm y de Kirchhoff que ya usas en corriente directa, solo que con números complejos.

La señal senoidal y sus parámetros

Un voltaje senoidal se escribe así:

v(t) = V_p · sen(ωt + φ)

Amplitud o valor pico (V_p): el valor máximo que alcanza la señal medido desde cero. El valor pico a pico es V_pp = 2·V_p.
Frecuencia (f): cuántos ciclos completos ocurren en un segundo, en hertz (Hz). El periodo es la duración de un ciclo: T = 1/f.
Frecuencia angular (ω): ω = 2πf, en radianes por segundo. Es la forma en que la frecuencia aparece dentro de las fórmulas.
Fase (φ): indica cuánto está adelantada o atrasada la onda respecto a una referencia. Se expresa en grados o radianes. Un ciclo completo son 360°.

La fase por sí sola no dice mucho; lo que importa es la diferencia de fase entre dos señales de la misma frecuencia, por ejemplo entre el voltaje y la corriente de un componente.

Valor eficaz (RMS)

El valor RMS (raíz media cuadrática) de un voltaje alterno es el voltaje de CD que entregaría la misma potencia promedio a una resistencia. Para una senoidal pura:

V_rms = V_p / √2 ≈ 0.707 · V_p

La relación V_p/√2 solo vale para senoidales. Una onda cuadrada simétrica de amplitud V_p tiene V_rms = V_p, y una triangular tiene V_p/√3. Los multímetros de CA que no son "de verdadero RMS" suponen una senoidal y se equivocan con otras formas de onda.

Ejemplo: el contacto de pared. En México la red doméstica es de 127 V RMS a 60 Hz.

Valor pico: V_p = 127 · √2 = 179.6 V.
Valor pico a pico: V_pp = 2 · 179.6 = 359.2 V.
Periodo: T = 1/60 = 16.67 ms.
Frecuencia angular: ω = 2π · 60 = 377 rad/s.

Así, el voltaje del contacto es v(t) = 179.6 · sen(377t) V. Cuando alguien dice "127 volts" se refiere al valor RMS, no al pico.

Fasores: la senoidal como un número complejo

En un circuito lineal alimentado con una sola frecuencia, todos los voltajes y corrientes son senoidales de esa misma frecuencia. Lo único que cambia de una señal a otra es su amplitud y su fase. Un fasor guarda justo esos dos datos en un número complejo:

v(t) = V_p · sen(ωt + φ)   →   V = V_p ∠ φ

Puedes escribirlo en forma polar (magnitud y ángulo) o rectangular (parte real e imaginaria):

V_p ∠ φ = V_p·cos φ + j·V_p·sen φ

Aquí j = √(−1); en electrónica se usa j en lugar de i para no confundirla con la corriente. La ventaja de los fasores es que derivar respecto al tiempo se convierte en multiplicar por jω. Eso transforma las ecuaciones diferenciales de inductores y capacitores en ecuaciones algebraicas. Puedes usar valores pico o valores RMS en los fasores, siempre que no los mezcles en el mismo cálculo.

Impedancia de R, L y C

La impedancia Z es la versión en CA de la resistencia: Z = V/I, medida en ohms. Es un número complejo: su parte real es la resistencia y su parte imaginaria es la reactancia X.

Componente	Impedancia	Reactancia	Relación de fase
Resistencia	Z = R	0	V e I en fase
Inductor	Z = jωL	X_L = ωL	V adelanta 90° a I
Capacitor	Z = 1/(jωC) = −j/(ωC)	X_C = 1/(ωC)	V atrasa 90° a I

Observa la dependencia con la frecuencia: la reactancia del inductor crece con f, y la del capacitor disminuye. En CD (f = 0) el inductor es un corto y el capacitor un circuito abierto; a frecuencias muy altas ocurre lo contrario.

Ejemplo: reactancias a 1 kHz. Un inductor de 10 mH y un capacitor de 1 µF a f = 1 kHz (ω = 6283 rad/s):

X_L = 6283 · 0.010 = 62.8 Ω, así que Z_L = j62.8 Ω.
X_C = 1/(6283 · 1×10⁻⁶) = 159.2 Ω, así que Z_C = −j159.2 Ω.

Si duplicas la frecuencia a 2 kHz, X_L sube a 125.7 Ω y X_C baja a 79.6 Ω.

Ejemplo completo: circuito RC serie en CA

Las impedancias en serie se suman igual que las resistencias, y la ley de Ohm se aplica con fasores.

Datos: una fuente senoidal de 5 V pico y 100 Hz alimenta una resistencia de 1 kΩ en serie con un capacitor de 1 µF. Calcula la corriente y los voltajes en R y en C.

Reactancia del capacitor: X_C = 1/(2π · 100 · 1×10⁻⁶) = 1591.5 Ω.
Impedancia total: Z = 1000 − j1591.5 Ω.
Magnitud: |Z| = √(1000² + 1591.5²) = 1879.6 Ω. Ángulo: arctan(−1591.5/1000) = −57.9°. Entonces Z = 1879.6 ∠ −57.9° Ω.
Corriente, tomando la fuente como referencia (5 ∠ 0° V): I = 5 ∠ 0° / 1879.6 ∠ −57.9° = 2.66 ∠ +57.9° mA pico. La corriente se adelanta 57.9° al voltaje de la fuente: el circuito es capacitivo.
Voltaje en R: V_R = R·I = 2.66 ∠ 57.9° V pico (en fase con la corriente).
Voltaje en C: V_C = (−j1591.5)·I = 4.23 ∠ −32.1° V pico (atrasado 90° respecto a la corriente).
Comprobación: √(2.66² + 4.23²) = 5.00 V. La suma fasorial reproduce la fuente.

Fíjate en que 2.66 + 4.23 = 6.89 V, más que los 5 V de la fuente. No hay contradicción: la ley de voltajes de Kirchhoff se cumple con fasores, no con las magnitudes sueltas, porque los dos voltajes no alcanzan su pico al mismo tiempo.

Diagrama fasorial tomando V_R (y la corriente, que va en fase con ella) como referencia horizontal. V_C va 90° atrás y la suma de ambos es el voltaje de la fuente, que queda 57.9° atrasado respecto a la corriente.

Errores comunes

Mezclar valores pico y RMS en el mismo cálculo. Elige uno al inicio y respétalo hasta el final.
Sumar las magnitudes de voltajes que tienen distinta fase. En CA se suman fasores (partes reales con reales e imaginarias con imaginarias).
Usar f en lugar de ω en X_L = ωL o X_C = 1/(ωC). Olvidar el 2π da errores de más de seis veces.
Poner la calculadora en radianes cuando trabajas en grados, o al revés, al calcular arcotangentes.
Aplicar V_rms = V_p/√2 a ondas que no son senoidales.

Pruébalo en el simulador

Arma el circuito RC del ejemplo y compara lo que mide el simulador con los números que calculaste a mano. Verás la corriente adelantada y los dos voltajes desfasados en el osciloscopio virtual.

Coloca una fuente de voltaje senoidal y ajústala a 5 V de amplitud y 100 Hz.
Conecta en serie una resistencia de 1 kΩ y un capacitor de 1 µF, y cierra el circuito a tierra.
Conecta un canal del osciloscopio a la salida de la fuente y otro al nodo entre R y C.
Observa la amplitud en el capacitor (cerca de 4.23 V) y el retraso respecto a la fuente.
Ejecuta un análisis de CA a 100 Hz y compara las magnitudes y fases con las del ejemplo.
Cambia la frecuencia a 1 kHz y observa cómo baja el voltaje en el capacitor.

Ejercicios

Una senoidal mide 20 V pico a pico. ¿Cuál es su valor RMS?

Ver respuesta
V_p = 20/2 = 10 V. V_rms = 10/√2 = 7.07 V.
Calcula la reactancia de un capacitor de 10 nF a 10 kHz.

Ver respuesta
X_C = 1/(2π · 10 000 · 10×10⁻⁹) = 1/(6.283×10⁻⁴) = 1591.5 Ω.
Un circuito RL serie tiene R = 100 Ω y L = 10 mH a 1 kHz. Encuentra la impedancia en forma polar.

Ver respuesta
X_L = 2π · 1000 · 0.01 = 62.83 Ω. |Z| = √(100² + 62.83²) = 118.1 Ω. Ángulo = arctan(62.83/100) = 32.1°. Z = 118.1 ∠ 32.1° Ω; la corriente se atrasa 32.1° respecto al voltaje.
¿A qué frecuencia la reactancia de un capacitor de 1 µF es igual a 1 kΩ?

Ver respuesta
De X_C = 1/(2πfC) despejas f = 1/(2π · X_C · C) = 1/(2π · 1000 · 1×10⁻⁶) = 159.2 Hz.