Конденсаторы, катушки индуктивности, цепи RC и RL: постоянная времени τ

8 мин чтения · Команда bitGateLab

Резисторы реагируют мгновенно: вы меняете напряжение — и ток меняется в тот же момент. Конденсаторы и катушки индуктивности ведут себя иначе: они накапливают энергию и потому реагируют с задержкой. На этой задержке основаны таймеры, фильтры, импульсные источники питания и подавление дребезга кнопок. Здесь вы узнаете, как ведёт себя каждый из этих элементов, что такое постоянная времени τ и как рассчитать напряжения и токи в любой момент заряда или разряда.

Конденсатор

Конденсатор состоит из двух проводящих обкладок, разделённых диэлектриком. Когда к нему прикладывают напряжение, на одной обкладке накапливается положительный заряд, на другой — отрицательный. Его ёмкость C (в фарадах, F) показывает, какой заряд он накапливает на каждый вольт: Q = C · V. На практике используют µF, nF и pF.

Ток через конденсатор зависит от того, насколько быстро меняется напряжение на нём:

i = C · dv/dt        E = ½ · C · V²

Отсюда два важных следствия:

Напряжение на конденсаторе не может измениться скачком: для этого потребовался бы бесконечный ток.
На постоянном токе, когда конденсатор заряжен, dv/dt = 0 и ток не течёт: конденсатор ведёт себя как разрыв цепи.

Ёмкости параллельных конденсаторов складываются (C_экв = C₁ + C₂); при последовательном соединении они объединяются как параллельные резисторы. Конденсатор 100 µF, заряженный до 5 V, хранит ½ × 100×10⁻⁶ × 25 = 1.25 mJ.

Катушка индуктивности

Катушка индуктивности — это провод, намотанный витками. Протекающий по ней ток создаёт магнитное поле, в котором запасается энергия. Её индуктивность L (в генри, H) связывает напряжение со скоростью изменения тока:

v = L · di/dt        E = ½ · L · I²

Это поведение дуально поведению конденсатора:

Ток через катушку не может измениться скачком. Если попытаться резко его оборвать, катушка создаёт очень высокий всплеск напряжения; поэтому обмотки реле шунтируют диодом, включённым в обратном направлении.
На постоянном токе в установившемся режиме di/dt = 0 и напряжения нет: катушка ведёт себя как провод.

Индуктивности объединяются так же, как сопротивления: при последовательном соединении складываются, при параллельном — «произведение, делённое на сумму».

Заряд и разряд RC-цепи

Соедините последовательно источник V_s, резистор R и разряженный конденсатор и замкните ключ в момент t = 0. Вначале на конденсаторе 0 V, поэтому всё напряжение источника падает на R и ток максимален: V_s/R. По мере заряда конденсатора напряжение на R уменьшается, а с ним и ток. В результате получается экспоненциальная кривая:

Заряд:     v_C(t) = V_s · (1 − e^−t/τ)        i(t) = (V_s/R) · e^−t/τ
Разряд:    v_C(t) = V₀ · e^−t/τ
           τ = R · C

Постоянная времени τ (тау) измеряется в секундах (омы, умноженные на фарады, дают секунды). Это время, за которое конденсатор проходит 63.2 % пути к своему конечному значению.

Заряд (сплошная линия) и разряд (штриховая линия) конденсатора. При t = τ напряжение при заряде достигает 63.2 %, а при разряде падает до 36.8 %.

Эти проценты повторяются в любой цепи RC или RL, так что их полезно держать под рукой:

Время	Заряд (% от конечного)	Разряд (% от начального)
1τ	63.2 %	36.8 %
2τ	86.5 %	13.5 %
3τ	95.0 %	5.0 %
4τ	98.2 %	1.8 %
5τ	99.3 %	0.7 %

Принято считать, что через 5τ цепь достигла установившегося режима.

Пример 1. Конденсатор 100 µF заряжается через 10 kΩ от источника 5 V (скачок от 0 до 5 V в момент t = 0).

τ = R · C = 10 000 Ω × 100×10⁻⁶ F = 1 s.
Начальный ток: 5 V / 10 kΩ = 0.5 mA.
v_C(1 s) = 5 × 0.632 = 3.16 V; v_C(2 s) = 5 × 0.865 = 4.32 V; v_C(3 s) = 5 × 0.950 = 4.75 V.
Время достижения половины (2.5 V): 1 − e^−t/τ = 0.5, значит, t = τ · ln 2 = 0.693 s.
Практически установившийся режим: 5τ = 5 s, при этом v_C ≈ 4.97 V, а ток практически равен нулю.

Пример 2. Конденсатор 47 µF, заряженный до 12 V, разряжается через 22 kΩ. За какое время напряжение упадёт до 1 V?

τ = 22 000 × 47×10⁻⁶ = 1.034 s.
Из 1 = 12 · e^−t/τ: t = τ · ln(12/1) = 1.034 × 2.485 = 2.57 s.

RL-цепь

С катушкой, включённой последовательно с резистором, происходит нечто очень похожее, но теперь величина, которая не может измениться скачком, — это ток. При подаче скачка напряжения V_s ток начинается с нуля и растёт к V_s/R, а напряжение на катушке начинается с V_s и спадает до нуля:

i(t) = (V_s/R) · (1 − e^−t/τ)        v_L(t) = V_s · e^−t/τ        τ = L / R

Осторожно с формулой: в RL-цепи большее сопротивление делает реакцию более быстрой — наоборот по сравнению с RC-цепью.

Пример 3. Катушка 100 mH, включённая последовательно с 50 Ω, подключается к 10 V.

τ = L / R = 0.1 H / 50 Ω = 2 ms.
Конечный ток: 10 V / 50 Ω = 0.2 A = 200 mA.
При t = 1 ms (половина τ): i = 0.2 × (1 − e^−0.5) = 0.2 × 0.3935 = 78.7 mA.
При t = 2 ms: i = 0.2 × 0.632 = 126.4 mA. Через 10 ms (5τ) ток уже практически равен 200 mA.
Энергия, запасённая в конце: ½ × 0.1 × 0.2² = 2 mJ.

Важно: чтобы рассчитать любую цепь первого порядка с одним эквивалентным сопротивлением, нужны всего три величины: начальное значение, конечное значение и τ. Ответ всегда имеет вид x(t) = x_кон + (x_нач − x_кон) · e^−t/τ. Если резисторов несколько, берите сопротивление Тевенена со стороны конденсатора или катушки.

Типичные ошибки

Забывать переводить единицы: 100 µF — это 100×10⁻⁶ F, а 100 mH — это 0.1 H.
Использовать τ = R/L или τ = L·R в RL-цепи; правильно L/R.
Считать, что конденсатор «полон» через 1τ; в этот момент он заряжен только на 63.2 %.
Думать, что ток конденсатора повторяет его напряжение; на самом деле ток максимален, когда напряжение меняется быстрее всего, то есть в начале заряда.
Размыкать цепь с катушкой, по которой течёт ток, не оставив этому току пути; всплеск напряжения может повредить транзистор или ключ.

Попробуйте в симуляторе

На виртуальном осциллографе можно увидеть экспоненту и измерить τ прямо по ней. Возьмите в качестве источника прямоугольный сигнал, чтобы наблюдать заряд и разряд снова и снова.

Поставьте источник прямоугольного сигнала от 0 до 5 V с периодом не менее 10τ (например, 10 s для примера 1, или возьмите меньшие номиналы, скажем 10 kΩ и 100 nF, с τ = 1 ms и периодом 10 ms).
Соедините последовательно резистор и конденсатор.
Подключите один канал осциллографа к источнику, а другой — к конденсатору.
Наблюдайте кривую заряда и измерьте время, за которое она достигает 3.16 V; это и есть τ.
Увеличьте сопротивление вдвое и убедитесь, что кривая растягивается вдвое.
Повторите с катушкой и резистором, наблюдая ток вместо напряжения.

Упражнения

Найдите τ и время установления (5τ) для R = 1 kΩ и C = 470 µF.

Показать ответ

τ = 1 000 × 470×10⁻⁶ = 0.47 s. 5τ = 2.35 s.
RC-цепь с τ = 2 s заряжается от 0 V источником 9 V. Каково напряжение на конденсаторе при t = 3 s?

Показать ответ

v_C = 9 × (1 − e^−1.5) = 9 × (1 − 0.2231) = 9 × 0.7769 ≈ 6.99 V.
Катушка 20 mH, включённая последовательно с 100 Ω, подключается к 12 V. Найдите τ, конечный ток и ток при t = τ.

Показать ответ

τ = 0.02 / 100 = 0.2 ms. Конечный ток: 12 / 100 = 120 mA. При t = τ: 0.632 × 120 ≈ 75.9 mA.
Какую энергию хранит конденсатор 1 000 µF, заряженный до 25 V?

Показать ответ

E = ½ × 1×10⁻³ × 25² = ½ × 10⁻³ × 625 = 0.3125 J.

Чтобы найти эквивалентное сопротивление со стороны конденсатора, повторите тему Тевенен, Нортон и суперпозиция.