Condensateurs, bobines et circuits RC et RL : constante τ

8 min de lecture · Équipe bitGateLab

Les résistances réagissent instantanément : vous changez la tension et le courant change au même moment. Les condensateurs et les bobines, eux, non ; ils stockent de l'énergie et mettent donc un certain temps à réagir. Ce retard est à la base des temporisateurs, des filtres, des alimentations à découpage et de l'anti-rebond des boutons-poussoirs. Ici, vous allez apprendre comment chacun se comporte, ce qu'est la constante de temps τ et comment calculer tensions et courants à n'importe quel instant d'une charge ou d'une décharge.

Le condensateur

Un condensateur est formé de deux armatures conductrices séparées par un isolant. Lorsqu'on lui applique une tension, une charge positive s'accumule sur une armature et une charge négative sur l'autre. Sa capacité C (en farads, F) indique la quantité de charge stockée par volt : Q = C · V. En pratique, on utilise les µF, nF et pF.

Le courant dans un condensateur dépend de la vitesse à laquelle sa tension varie :

i = C · dv/dt        E = ½ · C · V²

Il en découle deux conséquences importantes :

La tension d'un condensateur ne peut pas varier brusquement ; il faudrait un courant infini.
En CC, une fois le condensateur chargé, dv/dt = 0 et aucun courant ne passe : il se comporte comme un circuit ouvert.

Les capacités de condensateurs en parallèle s'additionnent (C_eq = C₁ + C₂) ; en série, elles se combinent comme des résistances en parallèle. Un condensateur de 100 µF chargé à 5 V stocke ½ × 100×10⁻⁶ × 25 = 1.25 mJ.

La bobine

Une bobine (ou inductance) est un enroulement de fil. Le courant qui la parcourt crée un champ magnétique qui stocke de l'énergie. Son inductance L (en henrys, H) relie la tension à la vitesse de variation du courant :

v = L · di/dt        E = ½ · L · I²

C'est le comportement dual de celui du condensateur :

Le courant d'une bobine ne peut pas varier brusquement. Si vous tentez de le couper d'un coup, la bobine génère une pointe de tension très élevée ; c'est pourquoi les bobines de relais sont équipées d'une diode de roue libre montée en antiparallèle.
En CC, en régime permanent, di/dt = 0 et il n'y a pas de tension : la bobine se comporte comme un fil.

Les inductances se combinent comme les résistances : en série elles s'additionnent, en parallèle « produit sur somme ».

Charge et décharge d'un circuit RC

Branchez en série une source V_s, une résistance R et un condensateur déchargé, puis fermez l'interrupteur à t = 0. Au début, le condensateur est à 0 V : toute la tension de la source se retrouve donc aux bornes de R et le courant est maximal, V_s/R. À mesure que le condensateur se charge, la tension aux bornes de R diminue, et le courant aussi. Le résultat est une courbe exponentielle :

Charge :   v_C(t) = V_s · (1 − e^−t/τ)        i(t) = (V_s/R) · e^−t/τ
Décharge : v_C(t) = V₀ · e^−t/τ
           τ = R · C

La constante de temps τ (tau) se mesure en secondes (des ohms multipliés par des farads donnent des secondes). C'est le temps que met le condensateur à parcourir 63.2 % du chemin vers sa valeur finale.

Charge (trait plein) et décharge (trait pointillé) d'un condensateur. À t = τ, la charge atteint 63.2 % et la décharge descend à 36.8 %.

Ces pourcentages se retrouvent dans n'importe quel circuit RC ou RL ; il est donc utile de les avoir sous la main :

Temps	Charge (% de la valeur finale)	Décharge (% de la valeur initiale)
1τ	63.2 %	36.8 %
2τ	86.5 %	13.5 %
3τ	95.0 %	5.0 %
4τ	98.2 %	1.8 %
5τ	99.3 %	0.7 %

Par convention, on considère qu'après 5τ le circuit a atteint le régime permanent.

Exemple 1. Un condensateur de 100 µF se charge à travers 10 kΩ depuis une source de 5 V (échelon de 0 à 5 V à t = 0).

τ = R · C = 10 000 Ω × 100×10⁻⁶ F = 1 s.
Courant initial : 5 V / 10 kΩ = 0.5 mA.
v_C(1 s) = 5 × 0.632 = 3.16 V ; v_C(2 s) = 5 × 0.865 = 4.32 V ; v_C(3 s) = 5 × 0.950 = 4.75 V.
Temps pour atteindre la moitié (2.5 V) : 1 − e^−t/τ = 0.5, donc t = τ · ln 2 = 0.693 s.
Régime permanent en pratique : 5τ = 5 s, avec v_C ≈ 4.97 V et un courant pratiquement nul.

Exemple 2. Un condensateur de 47 µF chargé à 12 V se décharge à travers 22 kΩ. Combien de temps met-il à descendre à 1 V ?

τ = 22 000 × 47×10⁻⁶ = 1.034 s.
De 1 = 12 · e^−t/τ : t = τ · ln(12/1) = 1.034 × 2.485 = 2.57 s.

Le circuit RL

Avec une bobine en série avec une résistance, il se passe quelque chose de très semblable, mais cette fois la grandeur qui ne peut pas varier brusquement est le courant. Lorsqu'on applique un échelon de tension V_s, le courant part de zéro et croît vers V_s/R, tandis que la tension aux bornes de la bobine part de V_s et tombe à zéro :

i(t) = (V_s/R) · (1 − e^−t/τ)        v_L(t) = V_s · e^−t/τ        τ = L / R

Attention à la formule : dans le circuit RL, une résistance plus grande rend la réponse plus rapide, à l'inverse du circuit RC.

Exemple 3. Une bobine de 100 mH en série avec 50 Ω est branchée sur 10 V.

τ = L / R = 0.1 H / 50 Ω = 2 ms.
Courant final : 10 V / 50 Ω = 0.2 A = 200 mA.
À t = 1 ms (un demi-τ) : i = 0.2 × (1 − e^−0.5) = 0.2 × 0.3935 = 78.7 mA.
À t = 2 ms : i = 0.2 × 0.632 = 126.4 mA. Au bout de 10 ms (5τ), il est déjà pratiquement à 200 mA.
Énergie stockée à la fin : ½ × 0.1 × 0.2² = 2 mJ.

À retenir : pour résoudre n'importe quel circuit du premier ordre avec une seule résistance équivalente, il ne vous faut que trois données : la valeur initiale, la valeur finale et τ. La réponse est toujours x(t) = x_final + (x_initial − x_final) · e^−t/τ. S'il y a plusieurs résistances, utilisez la résistance de Thévenin vue depuis le condensateur ou la bobine.

Erreurs fréquentes

Oublier de convertir les unités : 100 µF valent 100×10⁻⁶ F et 100 mH valent 0.1 H.
Utiliser τ = R/L ou τ = L·R dans le circuit RL ; c'est L/R.
Supposer que le condensateur est « plein » au bout de 1τ ; à cet instant, il n'en est qu'à 63.2 %.
Croire que le courant dans un condensateur suit sa tension ; en réalité, il est maximal lorsque la tension varie le plus vite, au début de la charge.
Ouvrir un circuit contenant une bobine chargée sans laisser de chemin à son courant ; la pointe de tension peut détruire un transistor ou un interrupteur.

Essayez dans le simulateur

Avec l'oscilloscope virtuel, vous pouvez voir la courbe exponentielle et y mesurer directement τ. Utilisez un signal carré comme source pour observer la charge et la décharge de façon répétée.

Placez une source de signal carré de 0 à 5 V avec une période d'au moins 10τ (par exemple 10 s pour l'exemple 1, ou bien utilisez des valeurs plus petites, comme 10 kΩ et 100 nF, avec τ = 1 ms et une période de 10 ms).
Branchez en série la résistance et le condensateur.
Reliez une voie de l'oscilloscope à la source et une autre au condensateur.
Observez la courbe de charge et mesurez le temps au bout duquel elle atteint 3.16 V ; c'est τ.
Doublez la résistance et observez que la courbe met deux fois plus de temps.
Recommencez avec une bobine et une résistance, en observant le courant au lieu de la tension.

Exercices

Calculez τ et le temps d'établissement du régime permanent (5τ) pour R = 1 kΩ et C = 470 µF.

Voir la réponse

τ = 1 000 × 470×10⁻⁶ = 0.47 s. 5τ = 2.35 s.
Un circuit RC avec τ = 2 s se charge à partir de 0 V avec une source de 9 V. Quelle est la tension du condensateur à t = 3 s ?

Voir la réponse

v_C = 9 × (1 − e^−1.5) = 9 × (1 − 0.2231) = 9 × 0.7769 ≈ 6.99 V.
Une bobine de 20 mH en série avec 100 Ω est branchée sur 12 V. Calculez τ, le courant final et le courant à t = τ.

Voir la réponse

τ = 0.02 / 100 = 0.2 ms. Courant final : 12 / 100 = 120 mA. À t = τ : 0.632 × 120 ≈ 75.9 mA.
Quelle énergie stocke un condensateur de 1 000 µF chargé à 25 V ?

Voir la réponse

E = ½ × 1×10⁻³ × 25² = ½ × 10⁻³ × 625 = 0.3125 J.

Pour calculer la résistance équivalente vue depuis le condensateur, révisez Thévenin, Norton et superposition.