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커패시터, 인덕터, RC·RL 회로: 시정수 τ

읽는 시간 8분 · bitGateLab 팀

저항은 즉시 반응합니다. 전압을 바꾸면 바로 그 순간 전류가 바뀝니다. 커패시터와 인덕터는 그렇지 않습니다. 에너지를 저장하기 때문에 반응하는 데 시간이 걸립니다. 이 지연이 타이머, 필터, 스위칭 전원, 버튼의 채터링 제거의 바탕이 됩니다. 이 글에서는 각 소자가 어떻게 동작하는지, 시정수 τ가 무엇인지, 그리고 충전이나 방전 중 임의의 순간의 전압과 전류를 계산하는 방법을 배웁니다.

커패시터

커패시터는 절연체를 사이에 둔 두 개의 도체판으로 이루어져 있습니다. 전압을 가하면 한쪽 판에는 양전하가, 다른 쪽 판에는 음전하가 쌓입니다. 정전용량 C(단위 패럿, F)는 볼트당 얼마만큼의 전하를 저장하는지를 나타냅니다: Q = C · V. 실제로는 µF, nF, pF 단위를 사용합니다.

커패시터에 흐르는 전류는 전압이 얼마나 빨리 변하는지에 따라 결정됩니다.

i = C · dv/dt        E = ½ · C · V²

여기서 중요한 결과 두 가지가 나옵니다.

커패시터의 전압은 갑자기 변할 수 없습니다. 그러려면 무한대의 전류가 필요하기 때문입니다.
DC에서는 충전이 끝나면 dv/dt = 0이 되어 전류가 흐르지 않습니다. 커패시터는 개방 회로처럼 동작합니다.

커패시터를 병렬로 연결하면 용량이 더해지고(C_eq = C₁ + C₂), 직렬로 연결하면 저항의 병렬처럼 합성됩니다. 5 V로 충전된 100 µF 커패시터는 ½ × 100×10⁻⁶ × 25 = 1.25 mJ을 저장합니다.

인덕터

인덕터는 도선을 감은 코일입니다. 코일에 흐르는 전류가 자기장을 만들고, 이 자기장에 에너지가 저장됩니다. 인덕턴스 L(단위 헨리, H)은 전압과 전류의 변화율 사이의 관계를 나타냅니다.

v = L · di/dt        E = ½ · L · I²

커패시터와 쌍대 관계에 있는 동작입니다.

인덕터의 전류는 갑자기 변할 수 없습니다. 전류를 급격히 끊으려 하면 인덕터는 매우 높은 전압 스파이크를 만들어 냅니다. 릴레이 코일에 역병렬 다이오드를 다는 것도 이 때문입니다.
DC의 정상 상태에서는 di/dt = 0이 되어 전압이 걸리지 않습니다. 인덕터는 도선처럼 동작합니다.

인덕터는 저항과 같은 방식으로 합성합니다. 직렬이면 더하고, 병렬이면 "곱을 합으로 나눈 값"입니다.

RC 회로의 충전과 방전

전원 V_s, 저항 R, 방전된 커패시터를 직렬로 연결하고 t = 0에서 스위치를 닫습니다. 처음에는 커패시터가 0 V이므로 전원 전압이 모두 R에 걸리고 전류는 최댓값인 V_s/R입니다. 커패시터가 충전될수록 R에 걸리는 전압이 줄어들고 전류도 줄어듭니다. 그 결과는 지수 곡선입니다.

충전:  v_C(t) = V_s · (1 − e^−t/τ)        i(t) = (V_s/R) · e^−t/τ
방전:  v_C(t) = V₀ · e^−t/τ
       τ = R · C

여기서 시정수 τ(타우)의 단위는 초입니다(옴에 패럿을 곱하면 초가 됩니다). 커패시터가 최종값까지 가는 길의 63.2 %를 지나는 데 걸리는 시간입니다.

커패시터의 충전(실선)과 방전(점선). t = τ에서 충전은 63.2 %에 도달하고 방전은 36.8 %로 내려갑니다.

이 백분율은 어떤 RC·RL 회로에서나 똑같이 나타나므로 가까이 두고 참고하면 좋습니다.

시간	충전 (최종값 대비 %)	방전 (초깃값 대비 %)
1τ	63.2 %	36.8 %
2τ	86.5 %	13.5 %
3τ	95.0 %	5.0 %
4τ	98.2 %	1.8 %
5τ	99.3 %	0.7 %

관례적으로 5τ가 지나면 회로가 정상 상태에 도달했다고 봅니다.

예제 1. 100 µF 커패시터를 5 V 전원에서 10 kΩ을 통해 충전합니다(t = 0에서 0 V에서 5 V로 변하는 계단 입력).

τ = R · C = 10 000 Ω × 100×10⁻⁶ F = 1 s입니다.
초기 전류: 5 V / 10 kΩ = 0.5 mA.
v_C(1 s) = 5 × 0.632 = 3.16 V; v_C(2 s) = 5 × 0.865 = 4.32 V; v_C(3 s) = 5 × 0.950 = 4.75 V.
절반(2.5 V)에 도달하는 시간: 1 − e^−t/τ = 0.5이므로 t = τ · ln 2 = 0.693 s입니다.
실용적인 정상 상태: 5τ = 5 s, 이때 v_C ≈ 4.97 V이고 전류는 거의 흐르지 않습니다.

예제 2. 12 V로 충전된 47 µF 커패시터를 22 kΩ을 통해 방전합니다. 1 V로 내려갈 때까지 얼마나 걸릴까요?

τ = 22 000 × 47×10⁻⁶ = 1.034 s.
1 = 12 · e^−t/τ에서: t = τ · ln(12/1) = 1.034 × 2.485 = 2.57 s입니다.

RL 회로

인덕터를 저항과 직렬로 연결해도 아주 비슷한 일이 일어나지만, 이번에는 갑자기 변할 수 없는 변수가 전류입니다. 계단 전압 V_s를 가하면 전류는 0에서 출발해 V_s/R을 향해 커지고, 인덕터의 전압은 V_s에서 시작해 0으로 떨어집니다.

i(t) = (V_s/R) · (1 − e^−t/τ)        v_L(t) = V_s · e^−t/τ        τ = L / R

공식에 주의하세요. RL 회로에서는 저항이 클수록 응답이 더 빨라지며, RC 회로와는 반대입니다.

예제 3. 100 mH 인덕터를 50 Ω과 직렬로 10 V에 연결합니다.

τ = L / R = 0.1 H / 50 Ω = 2 ms입니다.
최종 전류: 10 V / 50 Ω = 0.2 A = 200 mA.
t = 1 ms(τ의 절반)일 때: i = 0.2 × (1 − e^−0.5) = 0.2 × 0.3935 = 78.7 mA입니다.
t = 2 ms일 때: i = 0.2 × 0.632 = 126.4 mA. 10 ms(5τ)가 되면 사실상 200 mA에 도달합니다.
최종적으로 저장된 에너지: ½ × 0.1 × 0.2² = 2 mJ.

핵심 포인트: 등가 저항이 하나인 1차 회로는 초깃값, 최종값, τ의 세 가지만 알면 풀 수 있습니다. 응답은 항상 x(t) = x_최종 + (x_초기 − x_최종) · e^−t/τ입니다. 저항이 여러 개라면 커패시터나 인덕터에서 바라본 테브난 저항 R을 사용하세요.

흔히 하는 실수

단위 변환을 잊는 것: 100 µF는 100×10⁻⁶ F이고 100 mH는 0.1 H입니다.
RL 회로에서 τ = R/L이나 τ = L·R을 쓰는 것. 올바른 식은 L/R입니다.
커패시터가 1τ 만에 "가득 찬다"고 생각하는 것. 그 시점에는 63.2 %밖에 되지 않습니다.
커패시터의 전류가 전압을 따라간다고 생각하는 것. 실제로는 전압이 가장 빨리 변하는 충전 초기에 전류가 최대입니다.
전류가 흐르고 있는 인덕터 회로를, 그 전류가 흐를 다른 경로 없이 끊는 것. 전압 스파이크가 트랜지스터나 스위치를 손상시킬 수 있습니다.

시뮬레이터에서 직접 해 보기

가상 오실로스코프로 지수 곡선을 보고 그 위에서 τ를 직접 측정할 수 있습니다. 전원으로 구형파를 사용하면 충전과 방전을 반복해서 관찰할 수 있습니다.

주기가 10τ 이상인 0~5 V 구형파 전원을 배치합니다(예를 들어 예제 1이라면 10 s, 또는 10 kΩ과 100 nF처럼 더 작은 값을 써서 τ = 1 ms, 주기 10 ms로 설정합니다).
저항과 커패시터를 직렬로 연결합니다.
오실로스코프의 한 채널은 전원에, 다른 채널은 커패시터에 연결합니다.
충전 곡선을 관찰하고 3.16 V에 도달하는 시간을 측정합니다. 그것이 τ입니다.
저항을 두 배로 바꾸고 곡선이 두 배 오래 걸리는 것을 확인합니다.
인덕터와 저항으로 같은 실험을 반복하되, 이번에는 전압 대신 전류를 관찰합니다.

연습 문제

R = 1 kΩ, C = 470 µF일 때 τ와 정상 상태에 도달하는 시간(5τ)을 구하세요.

정답 보기

τ = 1 000 × 470×10⁻⁶ = 0.47 s. 5τ = 2.35 s.
τ = 2 s인 RC 회로를 9 V 전원으로 0 V에서부터 충전합니다. t = 3 s일 때 커패시터의 전압은 얼마일까요?

정답 보기

v_C = 9 × (1 − e^−1.5) = 9 × (1 − 0.2231) = 9 × 0.7769 ≈ 6.99 V.
20 mH 인덕터를 100 Ω과 직렬로 12 V에 연결합니다. τ, 최종 전류, t = τ일 때의 전류를 구하세요.

정답 보기

τ = 0.02 / 100 = 0.2 ms. 최종 전류: 12 / 100 = 120 mA. t = τ일 때: 0.632 × 120 ≈ 75.9 mA.
25 V로 충전된 1 000 µF 커패시터에는 얼마만큼의 에너지가 저장될까요?

정답 보기

E = ½ × 1×10⁻³ × 25² = ½ × 10⁻³ × 625 = 0.3125 J.

커패시터에서 바라본 등가 저항을 계산하려면 테브난, 노턴, 중첩의 원리를 복습하세요.