Переменный ток и фазоры: синусоида, действующее значение и импеданс

8 мин чтения · Команда bitGateLab

У электроэнергии, которая приходит в дом, сигнала микрофона и выхода функционального генератора есть общее: все они меняются во времени по синусоиде или близко к ней. Чтобы анализировать цепи с такими сигналами, нужны три инструмента: умение читать параметры синусоиды, понимание действующего значения (RMS) и работа с фазорами и импедансами. С ними цепь переменного тока (AC) рассчитывается по тем же законам Ома и Кирхгофа, которыми вы уже пользуетесь на постоянном токе, только с комплексными числами.

Синусоидальный сигнал и его параметры

Синусоидальное напряжение записывается так:

v(t) = V_p · sin(ωt + φ)

Амплитуда, или пиковое значение (V_p): наибольшее значение сигнала, отсчитанное от нуля. Размах (значение от пика до пика) равен V_pp = 2·V_p.
Частота (f): число полных колебаний за секунду, в герцах (Hz). Период — длительность одного колебания: T = 1/f.
Угловая частота (ω): ω = 2πf, в радианах в секунду. Именно в таком виде частота входит в формулы.
Фаза (φ): показывает, насколько волна опережает опорный сигнал или отстаёт от него. Выражается в градусах или радианах. Полный период — это 360°.

Сама по себе фаза мало о чём говорит; важна разность фаз двух сигналов одной частоты, например напряжения и тока какого-либо компонента.

Действующее значение (RMS)

Действующее (среднеквадратичное, RMS) значение переменного напряжения — это такое постоянное напряжение, которое выделило бы на резисторе ту же среднюю мощность. Для чистой синусоиды:

V_rms = V_p / √2 ≈ 0.707 · V_p

Соотношение V_p/√2 справедливо только для синусоиды. У симметричного прямоугольного сигнала с амплитудой V_p действующее значение V_rms = V_p, а у треугольного — V_p/√3. Мультиметры переменного тока, которые не измеряют «истинное» среднеквадратичное значение (True RMS), считают сигнал синусоидой и ошибаются на других формах.

Пример: бытовая розетка. В Мексике напряжение бытовой сети — 127 V RMS при частоте 60 Hz.

Амплитуда: V_p = 127 · √2 = 179.6 V.
Размах: V_pp = 2 · 179.6 = 359.2 V.
Период: T = 1/60 = 16.67 ms.
Угловая частота: ω = 2π · 60 = 377 rad/s.

Таким образом, напряжение в розетке равно v(t) = 179.6 · sin(377t) V. Когда говорят «127 вольт», имеют в виду действующее значение, а не амплитуду.

Фазоры: синусоида как комплексное число

В линейной цепи, питаемой одной частотой, все напряжения и токи — синусоиды той же частоты. От сигнала к сигналу меняются только амплитуда и фаза. Фазор (комплексная амплитуда) хранит именно эти два параметра в одном комплексном числе:

v(t) = V_p · sin(ωt + φ)   →   V = V_p ∠ φ

Его можно записать в полярной форме (модуль и угол) или в алгебраической (действительная и мнимая части):

V_p ∠ φ = V_p·cos φ + j·V_p·sin φ

Здесь j = √(−1); в электронике пишут j вместо i, чтобы не путать с током. Преимущество фазоров в том, что дифференцирование по времени превращается в умножение на jω. Благодаря этому дифференциальные уравнения катушек и конденсаторов становятся алгебраическими. В фазорах можно использовать амплитудные или действующие значения, лишь бы не смешивать их в одном расчёте.

Импеданс R, L и C

Импеданс (комплексное сопротивление) Z — это аналог сопротивления на переменном токе: Z = V/I, измеряется в омах. Это комплексное число: его действительная часть — активное сопротивление, а мнимая — реактивное сопротивление X.

Компонент	Импеданс	Реактивное сопротивление	Фазовое соотношение
Резистор	Z = R	0	V и I в фазе
Катушка	Z = jωL	X_L = ωL	V опережает I на 90°
Конденсатор	Z = 1/(jωC) = −j/(ωC)	X_C = 1/(ωC)	V отстаёт от I на 90°

Обратите внимание на зависимость от частоты: реактивное сопротивление катушки растёт с f, а конденсатора — уменьшается. На постоянном токе (f = 0) катушка — это короткое замыкание, а конденсатор — разрыв цепи; на очень высоких частотах всё наоборот.

Пример: реактивные сопротивления на 1 kHz. Катушка 10 mH и конденсатор 1 µF при f = 1 kHz (ω = 6283 rad/s):

X_L = 6283 · 0.010 = 62.8 Ω, значит, Z_L = j62.8 Ω.
X_C = 1/(6283 · 1×10⁻⁶) = 159.2 Ω, значит, Z_C = −j159.2 Ω.

Если удвоить частоту до 2 kHz, X_L вырастет до 125.7 Ω, а X_C упадёт до 79.6 Ω.

Полный пример: последовательная RC-цепь на переменном токе

Импедансы при последовательном соединении складываются так же, как сопротивления, а закон Ома применяется к фазорам.

Дано: синусоидальный источник с амплитудой 5 V и частотой 100 Hz питает резистор 1 kΩ, включённый последовательно с конденсатором 1 µF. Найдите ток и напряжения на R и на C.

Реактивное сопротивление конденсатора: X_C = 1/(2π · 100 · 1×10⁻⁶) = 1591.5 Ω.
Полный импеданс: Z = 1000 − j1591.5 Ω.
Модуль: |Z| = √(1000² + 1591.5²) = 1879.6 Ω. Угол: arctg(−1591.5/1000) = −57.9°. Тогда Z = 1879.6 ∠ −57.9° Ω.
Ток, если принять источник за опорный (5 ∠ 0° V): I = 5 ∠ 0° / 1879.6 ∠ −57.9° = 2.66 ∠ +57.9° mA (амплитудное значение). Ток опережает напряжение источника на 57.9°: цепь имеет ёмкостный характер.
Напряжение на R: V_R = R·I = 2.66 ∠ 57.9° V, амплитудное значение (в фазе с током).
Напряжение на C: V_C = (−j1591.5)·I = 4.23 ∠ −32.1° V, амплитудное значение (отстаёт от тока на 90°).
Проверка: √(2.66² + 4.23²) = 5.00 V. Сумма фазоров воспроизводит напряжение источника.

Заметьте, что 2.66 + 4.23 = 6.89 V — больше, чем 5 V источника. Противоречия нет: закон напряжений Кирхгофа выполняется для фазоров, а не для отдельных модулей, потому что два напряжения достигают максимума не одновременно.

Векторная диаграмма, на которой V_R (и ток, совпадающий с ним по фазе) принят за горизонтальную опорную ось. V_C отстаёт на 90°, а сумма обоих — напряжение источника, которое отстаёт от тока на 57.9°.

Типичные ошибки

Смешивать амплитудные и действующие значения в одном расчёте. Выберите что-то одно в начале и придерживайтесь этого до конца.
Складывать модули напряжений с разной фазой. На переменном токе складывают фазоры (действительные части с действительными, мнимые с мнимыми).
Подставлять f вместо ω в X_L = ωL или X_C = 1/(ωC). Забытый множитель 2π даёт ошибку более чем в шесть раз.
Оставлять калькулятор в радианах, когда вы работаете в градусах, или наоборот, при вычислении арктангенсов.
Применять V_rms = V_p/√2 к несинусоидальным сигналам.

Попробуйте в симуляторе

Соберите RC-цепь из примера и сравните измерения симулятора с числами, которые вы получили вручную. На виртуальном осциллографе вы увидите опережающий ток и два напряжения, сдвинутые по фазе.

Поставьте источник синусоидального напряжения и задайте амплитуду 5 V и частоту 100 Hz.
Соедините последовательно резистор 1 kΩ и конденсатор 1 µF и замкните цепь на землю.
Подключите один канал осциллографа к выходу источника, а другой — к узлу между R и C.
Посмотрите амплитуду на конденсаторе (около 4.23 V) и запаздывание относительно источника.
Запустите анализ по переменному току на частоте 100 Hz и сравните модули и фазы с примером.
Измените частоту на 1 kHz и посмотрите, как уменьшается напряжение на конденсаторе.

Упражнения

Размах синусоиды равен 20 V. Каково её действующее значение?

Показать ответ
V_p = 20/2 = 10 V. V_rms = 10/√2 = 7.07 V.
Найдите реактивное сопротивление конденсатора 10 nF на частоте 10 kHz.

Показать ответ
X_C = 1/(2π · 10 000 · 10×10⁻⁹) = 1/(6.283×10⁻⁴) = 1591.5 Ω.
В последовательной RL-цепи R = 100 Ω и L = 10 mH, частота 1 kHz. Найдите импеданс в полярной форме.

Показать ответ
X_L = 2π · 1000 · 0.01 = 62.83 Ω. |Z| = √(100² + 62.83²) = 118.1 Ω. Угол = arctg(62.83/100) = 32.1°. Z = 118.1 ∠ 32.1° Ω; ток отстаёт от напряжения на 32.1°.
На какой частоте реактивное сопротивление конденсатора 1 µF равно 1 kΩ?

Показать ответ
Из X_C = 1/(2πfC) выражаем f = 1/(2π · X_C · C) = 1/(2π · 1000 · 1×10⁻⁶) = 159.2 Hz.