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交流电与相量：正弦信号、有效值与阻抗

阅读约 8 分钟 · bitGateLab 团队

送到你家里的电能、麦克风的信号和函数发生器的输出有一个共同点：它们都随时间变化，并且遵循或近似于正弦波。要分析含这类信号的电路，你需要三样工具：会读正弦信号的参数，理解有效值（RMS）的含义，以及会用相量和阻抗。有了它们，交流（AC）电路就可以用你在直流电路中已经熟悉的欧姆定律和基尔霍夫定律来求解，只不过要用复数。

正弦信号及其参数

正弦电压写成这样：

v(t) = V_p · sin(ωt + φ)

幅值或峰值（V_p）：信号从零算起所能达到的最大值。峰峰值为 V_pp = 2·V_p。
频率（f）：一秒内完成多少个完整周期，单位为赫兹（Hz）。周期是一个循环持续的时间：T = 1/f。
角频率（ω）：ω = 2πf，单位为弧度每秒。频率在公式里就是以这种形式出现的。
相位（φ）：表示波形相对于某个参考超前或滞后了多少。用度或弧度表示。一个完整周期是 360°。

单独一个相位说明不了多少问题；重要的是两个同频率信号之间的相位差，例如某个元件上电压与电流之间的相位差。

有效值（RMS）

交流电压的有效值（RMS，即方均根值）是指：能向电阻提供相同平均功率的直流电压。对于纯正弦波：

V_rms = V_p / √2 ≈ 0.707 · V_p

V_p/√2 这个关系只对正弦波成立。幅值为 V_p 的对称方波，其 V_rms = V_p，而三角波为 V_p/√3。不是“真有效值”型的交流万用表按正弦波来换算，测其他波形时会出错。

例：墙上的插座。在墨西哥，家用市电为 127 V（有效值）、60 Hz。

峰值：V_p = 127 · √2 = 179.6 V。
峰峰值：V_pp = 2 · 179.6 = 359.2 V。
周期：T = 1/60 = 16.67 ms。
角频率：ω = 2π · 60 = 377 rad/s。

因此，插座上的电压为 v(t) = 179.6 · sin(377t) V。人们说“127 伏”时，指的是有效值，而不是峰值。

相量：把正弦量看作复数

在由单一频率供电的线性电路中，所有电压和电流都是同一频率的正弦量。不同信号之间唯一的区别是幅值和相位。相量正是用一个复数把这两个数据保存下来：

v(t) = V_p · sin(ωt + φ)   →   V = V_p ∠ φ

相量可以写成极坐标形式（模和辐角），也可以写成直角坐标形式（实部和虚部）：

V_p ∠ φ = V_p·cos φ + j·V_p·sin φ

这里 j = √(−1)；电子学中用 j 而不用 i，以免与电流混淆。相量的好处在于：对时间求导变成了乘以 jω。这样，电感和电容的微分方程就变成了代数方程。相量可以用峰值，也可以用有效值，只要在同一次计算中不混用即可。

R、L、C 的阻抗

所谓阻抗 Z，就是电阻在交流电路中的对应量：Z = V/I，单位为欧姆。它是一个复数：实部是电阻，虚部是电抗 X。

元件	阻抗	电抗	相位关系
电阻	Z = R	0	V 与 I 同相
电感	Z = jωL	X_L = ωL	V 超前 I 90°
电容	Z = 1/(jωC) = −j/(ωC)	X_C = 1/(ωC)	V 滞后 I 90°

注意它们与频率的关系：电感的电抗随 f 增大，电容的电抗随 f 减小。在直流（f = 0）下，电感相当于短路，电容相当于开路；频率很高时则正好相反。

例：1 kHz 下的电抗。一个 10 mH 的电感和一个 1 µF 的电容，f = 1 kHz（ω = 6283 rad/s）：

X_L = 6283 · 0.010 = 62.8 Ω，所以 Z_L = j62.8 Ω。
X_C = 1/(6283 · 1×10⁻⁶) = 159.2 Ω，所以 Z_C = −j159.2 Ω。

如果把频率加倍到 2 kHz，X_L 升到 125.7 Ω，X_C 降到 79.6 Ω。

完整例题：交流下的 RC 串联电路

串联阻抗的相加方式与电阻相同，欧姆定律则用相量来应用。

已知：一个峰值 5 V、频率 100 Hz 的正弦电源，给 1 kΩ 电阻与 1 µF 电容的串联电路供电。求电流以及 R 和 C 上的电压。

电容的电抗：X_C = 1/(2π · 100 · 1×10⁻⁶) = 1591.5 Ω。
总阻抗：Z = 1000 − j1591.5 Ω。
模：|Z| = √(1000² + 1591.5²) = 1879.6 Ω。辐角：arctan(−1591.5/1000) = −57.9°。于是 Z = 1879.6 ∠ −57.9° Ω。
电流，以电源为参考（5 ∠ 0° V）：I = 5 ∠ 0° / 1879.6 ∠ −57.9° = 2.66 ∠ +57.9° mA（峰值）。电流超前电源电压 57.9°：电路呈容性。
R 上的电压：V_R = R·I = 2.66 ∠ 57.9° V（峰值，与电流同相）。
C 上的电压：V_C = (−j1591.5)·I = 4.23 ∠ −32.1° V（峰值，滞后电流 90°）。
验算：√(2.66² + 4.23²) = 5.00 V。相量之和正好等于电源电压。

注意，2.66 + 4.23 = 6.89 V，比电源的 5 V 还大。这并不矛盾：基尔霍夫电压定律是对相量成立的，而不是对单独的幅值成立，因为这两个电压并不在同一时刻达到峰值。

以 V_R（以及与它同相的电流）为水平参考的相量图。V_C 滞后 90°，两者之和就是电源电压，它滞后电流 57.9°。

常见错误

在同一次计算中混用峰值和有效值。一开始选定一种，并坚持到底。
把相位不同的电压的幅值直接相加。在交流电路中相加的是相量（实部加实部，虚部加虚部）。
在 X_L = ωL 或 X_C = 1/(ωC) 中用 f 代替 ω。漏掉 2π 会造成六倍以上的误差。
计算反正切时，以度为单位却把计算器设在弧度模式，或者反过来。
把 V_rms = V_p/√2 用在非正弦波上。

在模拟器中试一试

搭建例题中的 RC 电路，把模拟器测得的结果与你手算的数值比较。在虚拟示波器上，你会看到电流超前，以及两个电压之间的相位差。

放置一个正弦电压源，把它设为幅值 5 V、频率 100 Hz。
串联接入一个 1 kΩ 的电阻和一个 1 µF 的电容，并把电路接地构成回路。
把示波器的一个通道接到电源的输出端，另一个通道接到 R 与 C 之间的节点。
观察电容上的幅值（约 4.23 V）以及相对于电源的滞后。
在 100 Hz 下运行交流分析，把幅值和相位与例题中的结果比较。
把频率改为 1 kHz，观察电容上的电压如何下降。

练习题

一个正弦波的峰峰值为 20 V。它的有效值是多少？

查看答案
V_p = 20/2 = 10 V。V_rms = 10/√2 = 7.07 V。
计算 10 nF 电容在 10 kHz 下的电抗。

查看答案
X_C = 1/(2π · 10 000 · 10×10⁻⁹) = 1/(6.283×10⁻⁴) = 1591.5 Ω。
一个 RL 串联电路，R = 100 Ω，L = 10 mH，工作在 1 kHz。求极坐标形式的阻抗。

查看答案
X_L = 2π · 1000 · 0.01 = 62.83 Ω。|Z| = √(100² + 62.83²) = 118.1 Ω。辐角 = arctan(62.83/100) = 32.1°。Z = 118.1 ∠ 32.1° Ω；电流滞后电压 32.1°。
在什么频率下，1 µF 电容的电抗等于 1 kΩ？

查看答案
由 X_C = 1/(2πfC) 解出 f = 1/(2π · X_C · C) = 1/(2π · 1000 · 1×10⁻⁶) = 159.2 Hz。