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교류와 페이저: 정현파, RMS, 임피던스

읽는 시간 8분 · bitGateLab 팀

집으로 들어오는 전기, 마이크의 신호, 함수 발생기의 출력에는 공통점이 있습니다. 모두 시간에 따라 정현파 모양으로, 또는 그에 가깝게 변한다는 것입니다. 이런 신호가 있는 회로를 해석하려면 세 가지 도구가 필요합니다. 정현파의 파라미터를 읽을 줄 알고, RMS 값의 의미를 이해하고, 페이저와 임피던스를 다룰 줄 알아야 합니다. 이 도구들이 있으면 교류(AC) 회로도 직류에서 이미 사용하던 옴의 법칙과 키르히호프 법칙으로 풀 수 있습니다. 다만 복소수를 사용할 뿐입니다.

정현파 신호와 그 파라미터

정현파 전압은 다음과 같이 씁니다.

v(t) = V_p · sin(ωt + φ)

진폭 또는 피크값(V_p): 영점에서부터 잰 신호의 최댓값입니다. 피크-피크값은 V_pp = 2·V_p입니다.
주파수(f): 매초 완전한 사이클이 몇 번 일어나는지를 나타내며, 단위는 헤르츠(Hz)입니다. 주기는 한 사이클이 지속되는 시간입니다: T = 1/f.
각주파수(ω): ω = 2πf이며 단위는 초당 라디안입니다. 공식 안에서 주파수가 나타나는 형태입니다.
위상(φ): 파형이 기준에 비해 얼마나 앞서거나 뒤지는지를 나타냅니다. 도 또는 라디안으로 표시합니다. 한 사이클 전체는 360°입니다.

위상 그 자체만으로는 알 수 있는 것이 많지 않습니다. 중요한 것은 주파수가 같은 두 신호 사이의 위상차이며, 예를 들어 어떤 소자의 전압과 전류 사이의 위상차가 그렇습니다.

실효값 (RMS)

교류 전압의 RMS 값(제곱평균제곱근)은 저항에 같은 평균 전력을 전달하는 DC 전압을 말합니다. 순수한 정현파의 경우 다음과 같습니다.

V_rms = V_p / √2 ≈ 0.707 · V_p

V_p/√2 관계는 정현파에만 성립합니다. 진폭이 V_p인 대칭 구형파는 V_rms = V_p이고, 삼각파는 V_p/√3입니다. "트루 RMS" 방식이 아닌 AC 멀티미터는 정현파라고 가정하므로 다른 파형에서는 틀린 값을 보여 줍니다.

예제: 벽 콘센트. 멕시코의 가정용 전원은 60 Hz, 127 V RMS입니다.

피크값: V_p = 127 · √2 = 179.6 V.
피크-피크값: V_pp = 2 · 179.6 = 359.2 V.
주기: T = 1/60 = 16.67 ms.
각주파수: ω = 2π · 60 = 377 rad/s.

따라서 콘센트의 전압은 v(t) = 179.6 · sin(377t) V입니다. 누군가 "127볼트"라고 말할 때는 피크값이 아니라 RMS 값을 가리킵니다.

페이저: 복소수로 나타낸 정현파

단일 주파수로 구동되는 선형 회로에서는 모든 전압과 전류가 그 주파수의 정현파입니다. 신호마다 달라지는 것은 진폭과 위상뿐입니다. 페이저는 바로 이 두 가지 정보를 하나의 복소수에 담습니다.

v(t) = V_p · sin(ωt + φ)   →   V = V_p ∠ φ

극형식(크기와 각도)이나 직교형식(실수부와 허수부)으로 쓸 수 있습니다.

V_p ∠ φ = V_p·cos φ + j·V_p·sin φ

여기서 j = √(−1)입니다. 전자공학에서는 전류와 혼동하지 않도록 i 대신 j를 씁니다. 페이저의 장점은 시간에 대한 미분이 jω를 곱하는 것으로 바뀐다는 점입니다. 덕분에 인덕터와 커패시터의 미분방정식이 대수방정식으로 바뀝니다. 페이저에는 피크값을 써도 되고 RMS 값을 써도 되지만, 한 계산 안에서 섞어 쓰면 안 됩니다.

R, L, C의 임피던스

교류에서 임피던스 Z는 저항에 해당하는 양입니다: Z = V/I이며 단위는 옴입니다. 임피던스는 복소수로, 실수부는 저항이고 허수부는 리액턴스 X입니다.

소자	임피던스	리액턴스	위상 관계
저항	Z = R	0	V와 I가 동상
인덕터	Z = jωL	X_L = ωL	V가 I보다 90° 앞섬
커패시터	Z = 1/(jωC) = −j/(ωC)	X_C = 1/(ωC)	V가 I보다 90° 뒤짐

주파수에 따라 어떻게 달라지는지 살펴보세요. 인덕터의 리액턴스는 f와 함께 커지고 커패시터의 리액턴스는 작아집니다. DC(f = 0)에서 인덕터는 단락이고 커패시터는 개방 회로이며, 매우 높은 주파수에서는 그 반대가 됩니다.

예제: 1 kHz에서의 리액턴스. f = 1 kHz(ω = 6283 rad/s)에서 10 mH 인덕터와 1 µF 커패시터의 리액턴스는 다음과 같습니다.

X_L = 6283 · 0.010 = 62.8 Ω이므로 Z_L = j62.8 Ω입니다.
X_C = 1/(6283 · 1×10⁻⁶) = 159.2 Ω이므로 Z_C = −j159.2 Ω입니다.

주파수를 2 kHz로 두 배 높이면 X_L은 125.7 Ω으로 올라가고 X_C는 79.6 Ω으로 내려갑니다.

풀이 예제: 교류에서의 직렬 RC 회로

직렬 임피던스는 저항과 똑같이 더하고, 옴의 법칙은 페이저에 적용합니다.

주어진 값: 피크 5 V, 100 Hz의 정현파 전원이 1 kΩ 저항과 1 µF 커패시터의 직렬 회로에 연결되어 있습니다. 전류와 R, C에 걸리는 전압을 구하세요.

커패시터의 리액턴스: X_C = 1/(2π · 100 · 1×10⁻⁶) = 1591.5 Ω.
전체 임피던스: Z = 1000 − j1591.5 Ω.
크기: |Z| = √(1000² + 1591.5²) = 1879.6 Ω. 각도: arctan(−1591.5/1000) = −57.9°. 따라서 Z = 1879.6 ∠ −57.9° Ω입니다.
전원을 기준(5 ∠ 0° V)으로 한 전류: I = 5 ∠ 0° / 1879.6 ∠ −57.9° = 2.66 ∠ +57.9° mA(피크). 전류가 전원 전압보다 57.9° 앞섭니다. 즉, 이 회로는 용량성입니다.
R의 전압: V_R = R·I = 2.66 ∠ 57.9° V(피크), 전류와 동상입니다.
C의 전압: V_C = (−j1591.5)·I = 4.23 ∠ −32.1° V(피크), 전류보다 90° 뒤집니다.
검산: √(2.66² + 4.23²) = 5.00 V. 페이저 합이 전원 전압과 같습니다.

2.66 + 4.23 = 6.89 V로 전원의 5 V보다 크다는 점에 주목하세요. 모순이 아닙니다. 두 전압이 동시에 피크에 도달하지 않기 때문에, 키르히호프의 전압 법칙은 크기만 따로 더했을 때가 아니라 페이저로 더했을 때 성립합니다.

V_R(그리고 그와 동상인 전류)을 수평 기준으로 잡은 페이저도. V_C는 90° 뒤지며, 둘의 합이 전원 전압이고 이는 전류보다 57.9° 뒤집니다.

흔히 하는 실수

한 계산 안에서 피크값과 RMS 값을 섞는 것. 처음에 하나를 정하고 끝까지 지키세요.
위상이 다른 전압의 크기를 그대로 더하는 것. 교류에서는 페이저를 더합니다(실수부는 실수부끼리, 허수부는 허수부끼리).
X_L = ωL이나 X_C = 1/(ωC)에서 ω 대신 f를 쓰는 것. 2π를 빠뜨리면 여섯 배가 넘는 오차가 생깁니다.
아크탄젠트를 계산할 때 도 단위로 작업하면서 계산기를 라디안으로 두거나, 그 반대로 하는 것.
정현파가 아닌 파형에 V_rms = V_p/√2를 적용하는 것.

시뮬레이터에서 직접 해 보기

예제의 RC 회로를 만들고 시뮬레이터의 측정값을 손으로 계산한 값과 비교해 보세요. 가상 오실로스코프에서 앞선 전류와 위상이 어긋난 두 전압을 볼 수 있습니다.

정현파 전압원을 배치하고 진폭 5 V, 100 Hz로 설정합니다.
1 kΩ 저항과 1 µF 커패시터를 직렬로 연결하고 접지로 회로를 닫습니다.
오실로스코프의 한 채널은 전원 출력에, 다른 채널은 R과 C 사이의 노드에 연결합니다.
커패시터의 진폭(약 4.23 V)과 전원에 대한 지연을 관찰합니다.
100 Hz에서 AC 해석을 실행하고 크기와 위상을 예제의 값과 비교합니다.
주파수를 1 kHz로 바꾸고 커패시터의 전압이 어떻게 내려가는지 관찰합니다.

연습 문제

어떤 정현파가 피크-피크 20 V입니다. RMS 값은 얼마일까요?

정답 보기
V_p = 20/2 = 10 V. V_rms = 10/√2 = 7.07 V.
10 kHz에서 10 nF 커패시터의 리액턴스를 구하세요.

정답 보기
X_C = 1/(2π · 10 000 · 10×10⁻⁹) = 1/(6.283×10⁻⁴) = 1591.5 Ω.
직렬 RL 회로가 1 kHz에서 R = 100 Ω, L = 10 mH입니다. 임피던스를 극형식으로 구하세요.

정답 보기
X_L = 2π · 1000 · 0.01 = 62.83 Ω. |Z| = √(100² + 62.83²) = 118.1 Ω. 각도 = arctan(62.83/100) = 32.1°. Z = 118.1 ∠ 32.1° Ω이며, 전류는 전압보다 32.1° 뒤집니다.
1 µF 커패시터의 리액턴스가 1 kΩ과 같아지는 주파수는 얼마일까요?

정답 보기
X_C = 1/(2πfC)에서 f = 1/(2π · X_C · C) = 1/(2π · 1000 · 1×10⁻⁶) = 159.2 Hz입니다.