Courant alternatif et phaseurs : sinusoïdes, valeur efficace et impédance

8 min de lecture · Équipe bitGateLab

L'énergie qui arrive chez vous, le signal d'un microphone et la sortie d'un générateur de fonctions ont un point commun : ils varient dans le temps en suivant, exactement ou approximativement, une onde sinusoïdale. Pour analyser des circuits avec ce type de signaux, il vous faut trois outils : savoir lire les paramètres d'une sinusoïde, comprendre ce que signifie la valeur efficace et travailler avec les phaseurs et les impédances. Grâce à eux, un circuit en courant alternatif (CA) se résout avec les mêmes lois d'Ohm et de Kirchhoff que vous utilisez déjà en courant continu, mais avec des nombres complexes.

Le signal sinusoïdal et ses paramètres

Une tension sinusoïdale s'écrit ainsi :

v(t) = V_max · sin(ωt + φ)

Amplitude ou valeur de crête (V_max) : la valeur maximale atteinte par le signal, mesurée à partir de zéro. La valeur crête à crête est V_càc = 2·V_max.
Fréquence (f) : le nombre de cycles complets par seconde, en hertz (Hz). La période est la durée d'un cycle : T = 1/f.
Pulsation (ω) : ω = 2πf, en radians par seconde. C'est sous cette forme que la fréquence apparaît dans les formules.
Phase (φ) : indique de combien l'onde est en avance ou en retard par rapport à une référence. Elle s'exprime en degrés ou en radians. Un cycle complet correspond à 360°.

La phase à elle seule ne dit pas grand-chose ; ce qui compte, c'est la différence de phase entre deux signaux de même fréquence, par exemple entre la tension et le courant d'un composant.

Valeur efficace (RMS)

La valeur efficace, ou valeur RMS (racine de la moyenne des carrés), d'une tension alternative est la tension continue qui fournirait la même puissance moyenne à une résistance. Pour une sinusoïde pure :

V_eff = V_max / √2 ≈ 0.707 · V_max

La relation V_max/√2 ne vaut que pour les sinusoïdes. Un signal carré symétrique d'amplitude V_max a V_eff = V_max, et un signal triangulaire a V_max/√3. Les multimètres CA qui ne sont pas « RMS vrai » supposent une sinusoïde et se trompent avec les autres formes d'onde.

Exemple : la prise murale. Au Mexique, le réseau domestique fournit 127 V efficaces à 60 Hz.

Valeur de crête : V_max = 127 · √2 = 179.6 V.
Valeur crête à crête : V_càc = 2 · 179.6 = 359.2 V.
Période : T = 1/60 = 16.67 ms.
Pulsation : ω = 2π · 60 = 377 rad/s.

Ainsi, la tension de la prise est v(t) = 179.6 · sin(377t) V. Quand on parle de « 127 volts », il s'agit de la valeur efficace, pas de la valeur de crête.

Phaseurs : la sinusoïde comme nombre complexe

Dans un circuit linéaire alimenté à une seule fréquence, toutes les tensions et tous les courants sont des sinusoïdes de cette même fréquence. Seules changent, d'un signal à l'autre, l'amplitude et la phase. Un phaseur rassemble justement ces deux informations dans un nombre complexe :

v(t) = V_max · sin(ωt + φ)   →   V = V_max ∠ φ

Vous pouvez l'écrire sous forme polaire (module et argument) ou sous forme algébrique (partie réelle et partie imaginaire) :

V_max ∠ φ = V_max·cos φ + j·V_max·sin φ

Ici, j = √(−1) ; en électronique, on utilise j au lieu de i pour ne pas le confondre avec le courant. L'avantage des phaseurs est que dériver par rapport au temps revient à multiplier par jω. Les équations différentielles des bobines et des condensateurs deviennent ainsi des équations algébriques. Vous pouvez utiliser des valeurs de crête ou des valeurs efficaces dans les phaseurs, à condition de ne pas les mélanger dans un même calcul.

Impédance de R, L et C

L'impédance Z est l'équivalent en CA de la résistance : Z = V/I, mesurée en ohms. C'est un nombre complexe : sa partie réelle est la résistance et sa partie imaginaire est la réactance X.

Composant	Impédance	Réactance	Relation de phase
Résistance	Z = R	0	V et I en phase
Bobine	Z = jωL	X_L = ωL	V en avance de 90° sur I
Condensateur	Z = 1/(jωC) = −j/(ωC)	X_C = 1/(ωC)	V en retard de 90° sur I

Observez la dépendance en fréquence : la réactance de la bobine croît avec f, et celle du condensateur diminue. En CC (f = 0), la bobine est un court-circuit et le condensateur un circuit ouvert ; aux très hautes fréquences, c'est l'inverse.

Exemple : réactances à 1 kHz. Une bobine de 10 mH et un condensateur de 1 µF à f = 1 kHz (ω = 6283 rad/s) :

X_L = 6283 · 0.010 = 62.8 Ω, donc Z_L = j62.8 Ω.
X_C = 1/(6283 · 1×10⁻⁶) = 159.2 Ω, donc Z_C = −j159.2 Ω.

Si vous doublez la fréquence pour passer à 2 kHz, X_L monte à 125.7 Ω et X_C descend à 79.6 Ω.

Exemple complet : circuit RC série en CA

Les impédances en série s'additionnent comme les résistances, et la loi d'Ohm s'applique avec les phaseurs.

Données : une source sinusoïdale de 5 V crête et 100 Hz alimente une résistance de 1 kΩ en série avec un condensateur de 1 µF. Calculez le courant et les tensions aux bornes de R et de C.

Réactance du condensateur : X_C = 1/(2π · 100 · 1×10⁻⁶) = 1591.5 Ω.
Impédance totale : Z = 1000 − j1591.5 Ω.
Module : |Z| = √(1000² + 1591.5²) = 1879.6 Ω. Argument : arctan(−1591.5/1000) = −57.9°. Donc Z = 1879.6 ∠ −57.9° Ω.
Courant, en prenant la source comme référence (5 ∠ 0° V) : I = 5 ∠ 0° / 1879.6 ∠ −57.9° = 2.66 ∠ +57.9° mA crête. Le courant est en avance de 57.9° sur la tension de la source : le circuit est capacitif.
Tension aux bornes de R : V_R = R·I = 2.66 ∠ 57.9° V crête (en phase avec le courant).
Tension aux bornes de C : V_C = (−j1591.5)·I = 4.23 ∠ −32.1° V crête (en retard de 90° sur le courant).
Vérification : √(2.66² + 4.23²) = 5.00 V. La somme des phaseurs redonne bien la source.

Remarquez que 2.66 + 4.23 = 6.89 V, plus que les 5 V de la source. Il n'y a pas de contradiction : la loi des mailles de Kirchhoff est vérifiée par les phaseurs, pas par les modules pris isolément, car les deux tensions n'atteignent pas leur crête au même instant.

Diagramme de Fresnel (diagramme des phaseurs) prenant V_R (et le courant, qui est en phase avec elle) comme référence horizontale. V_C est en retard de 90° et la somme des deux est la tension de la source, en retard de 57.9° sur le courant.

Erreurs fréquentes

Mélanger valeurs de crête et valeurs efficaces dans un même calcul. Choisissez l'une au départ et tenez-vous-y jusqu'au bout.
Additionner les modules de tensions qui n'ont pas la même phase. En CA, on additionne des phaseurs (parties réelles entre elles et parties imaginaires entre elles).
Utiliser f au lieu de ω dans X_L = ωL ou X_C = 1/(ωC). Oublier le 2π donne des erreurs d'un facteur supérieur à six.
Régler la calculatrice en radians alors que vous travaillez en degrés, ou l'inverse, pour calculer des arctangentes.
Appliquer V_eff = V_max/√2 à des signaux qui ne sont pas sinusoïdaux.

Essayez dans le simulateur

Montez le circuit RC de l'exemple et comparez ce que mesure le simulateur avec les valeurs que vous avez calculées à la main. Vous verrez le courant en avance et les deux tensions déphasées sur l'oscilloscope virtuel.

Placez une source de tension sinusoïdale et réglez-la sur 5 V d'amplitude et 100 Hz.
Branchez en série une résistance de 1 kΩ et un condensateur de 1 µF, et refermez le circuit sur la masse.
Reliez une voie de l'oscilloscope à la sortie de la source et une autre au nœud situé entre R et C.
Observez l'amplitude aux bornes du condensateur (proche de 4.23 V) et son retard par rapport à la source.
Lancez une analyse CA à 100 Hz et comparez les modules et les phases à ceux de l'exemple.
Passez la fréquence à 1 kHz et observez comment la tension aux bornes du condensateur diminue.

Exercices

Une sinusoïde mesure 20 V crête à crête. Quelle est sa valeur efficace ?

Voir la réponse
V_max = 20/2 = 10 V. V_eff = 10/√2 = 7.07 V.
Calculez la réactance d'un condensateur de 10 nF à 10 kHz.

Voir la réponse
X_C = 1/(2π · 10 000 · 10×10⁻⁹) = 1/(6.283×10⁻⁴) = 1591.5 Ω.
Un circuit RL série a R = 100 Ω et L = 10 mH à 1 kHz. Trouvez l'impédance sous forme polaire.

Voir la réponse
X_L = 2π · 1000 · 0.01 = 62.83 Ω. |Z| = √(100² + 62.83²) = 118.1 Ω. Argument = arctan(62.83/100) = 32.1°. Z = 118.1 ∠ 32.1° Ω ; le courant est en retard de 32.1° sur la tension.
À quelle fréquence la réactance d'un condensateur de 1 µF est-elle égale à 1 kΩ ?

Voir la réponse
De X_C = 1/(2πfC), on tire f = 1/(2π · X_C · C) = 1/(2π · 1000 · 1×10⁻⁶) = 159.2 Hz.