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Corrente alternata e fasori: sinusoidi, valore efficace e impedenza

8 min di lettura · Team bitGateLab

L'energia che arriva a casa tua, il segnale di un microfono e l'uscita di un generatore di funzioni hanno una cosa in comune: variano nel tempo seguendo, in modo esatto o approssimato, un'onda sinusoidale. Per analizzare i circuiti con questo tipo di segnali ti servono tre strumenti: saper leggere i parametri di una sinusoide, capire che cosa significa il valore RMS e lavorare con fasori e impedenze. Con questi strumenti un circuito in corrente alternata (CA) si risolve con le stesse leggi di Ohm e di Kirchhoff che già usi in corrente continua, solo con i numeri complessi.

Il segnale sinusoidale e i suoi parametri

Una tensione sinusoidale si scrive così:

v(t) = V_p · sin(ωt + φ)

Ampiezza o valore di picco (V_p): il valore massimo raggiunto dal segnale, misurato a partire da zero. Il valore picco-picco è V_pp = 2·V_p.
Frequenza (f): quanti cicli completi avvengono in un secondo, in hertz (Hz). Il periodo è la durata di un ciclo: T = 1/f.
Pulsazione (ω): ω = 2πf, in radianti al secondo. È la forma in cui la frequenza compare nelle formule.
Fase (φ): indica di quanto l'onda è in anticipo o in ritardo rispetto a un riferimento. Si esprime in gradi o in radianti. Un ciclo completo corrisponde a 360°.

La fase da sola non dice molto; ciò che conta è la differenza di fase tra due segnali della stessa frequenza, per esempio tra la tensione e la corrente di un componente.

Valore efficace (RMS)

Il valore efficace, o RMS (radice della media dei quadrati), di una tensione alternata è la tensione continua che fornirebbe la stessa potenza media a un resistore. Per una sinusoide pura:

V_rms = V_p / √2 ≈ 0.707 · V_p

La relazione V_p/√2 vale solo per le sinusoidi. Un'onda quadra simmetrica di ampiezza V_p ha V_rms = V_p, e una triangolare ha V_p/√3. I multimetri in CA che non sono «a vero valore efficace» presuppongono una sinusoide e sbagliano con le altre forme d'onda.

Esempio: la presa di corrente. In Messico la rete domestica è a 127 V RMS e 60 Hz.

Valore di picco: V_p = 127 · √2 = 179.6 V.
Valore picco-picco: V_pp = 2 · 179.6 = 359.2 V.
Periodo: T = 1/60 = 16.67 ms.
Pulsazione: ω = 2π · 60 = 377 rad/s.

Quindi la tensione della presa è v(t) = 179.6 · sin(377t) V. Quando qualcuno dice «127 volt» si riferisce al valore RMS, non al picco.

Fasori: la sinusoide come numero complesso

In un circuito lineare alimentato a una sola frequenza, tutte le tensioni e le correnti sono sinusoidi di quella stessa frequenza. Da un segnale all'altro cambiano soltanto l'ampiezza e la fase. Un fasore racchiude proprio questi due dati in un numero complesso:

v(t) = V_p · sin(ωt + φ)   →   V = V_p ∠ φ

Puoi scriverlo in forma polare (modulo e angolo) o rettangolare (parte reale e parte immaginaria):

V_p ∠ φ = V_p·cos φ + j·V_p·sin φ

Qui j = √(−1); in elettronica si usa j al posto di i per non confonderla con la corrente. Il vantaggio dei fasori è che derivare rispetto al tempo equivale a moltiplicare per jω. Questo trasforma le equazioni differenziali di induttori e condensatori in equazioni algebriche. Nei fasori puoi usare valori di picco o valori RMS, purché non li mescoli nello stesso calcolo.

Impedenza di R, L e C

L'impedenza Z è la versione in CA della resistenza: Z = V/I, misurata in ohm. È un numero complesso: la sua parte reale è la resistenza e la sua parte immaginaria è la reattanza X.

Componente	Impedenza	Reattanza	Relazione di fase
Resistore	Z = R	0	V e I in fase
Induttore	Z = jωL	X_L = ωL	V in anticipo di 90° su I
Condensatore	Z = 1/(jωC) = −j/(ωC)	X_C = 1/(ωC)	V in ritardo di 90° su I

Nota la dipendenza dalla frequenza: la reattanza dell'induttore cresce con f, e quella del condensatore diminuisce. In CC (f = 0) l'induttore è un cortocircuito e il condensatore un circuito aperto; a frequenze molto alte avviene il contrario.

Esempio: reattanze a 1 kHz. Un induttore da 10 mH e un condensatore da 1 µF a f = 1 kHz (ω = 6283 rad/s):

X_L = 6283 · 0.010 = 62.8 Ω, quindi Z_L = j62.8 Ω.
X_C = 1/(6283 · 1×10⁻⁶) = 159.2 Ω, quindi Z_C = −j159.2 Ω.

Se raddoppi la frequenza a 2 kHz, X_L sale a 125.7 Ω e X_C scende a 79.6 Ω.

Esempio completo: circuito RC serie in CA

Le impedenze in serie si sommano come le resistenze, e la legge di Ohm si applica con i fasori.

Dati: un generatore sinusoidale da 5 V di picco e 100 Hz alimenta un resistore da 1 kΩ in serie con un condensatore da 1 µF. Calcola la corrente e le tensioni su R e su C.

Reattanza del condensatore: X_C = 1/(2π · 100 · 1×10⁻⁶) = 1591.5 Ω.
Impedenza totale: Z = 1000 − j1591.5 Ω.
Modulo: |Z| = √(1000² + 1591.5²) = 1879.6 Ω. Angolo: arctan(−1591.5/1000) = −57.9°. Quindi Z = 1879.6 ∠ −57.9° Ω.
Corrente, prendendo il generatore come riferimento (5 ∠ 0° V): I = 5 ∠ 0° / 1879.6 ∠ −57.9° = 2.66 ∠ +57.9° mA di picco. La corrente è in anticipo di 57.9° sulla tensione del generatore: il circuito è capacitivo.
Tensione su R: V_R = R·I = 2.66 ∠ 57.9° V di picco (in fase con la corrente).
Tensione su C: V_C = (−j1591.5)·I = 4.23 ∠ −32.1° V di picco (in ritardo di 90° rispetto alla corrente).
Verifica: √(2.66² + 4.23²) = 5.00 V. La somma fasoriale restituisce la tensione del generatore.

Nota che 2.66 + 4.23 = 6.89 V, più dei 5 V del generatore. Non c'è contraddizione: la legge di Kirchhoff delle tensioni vale per i fasori, non per i soli moduli, perché le due tensioni non raggiungono il picco nello stesso istante.

Diagramma fasoriale con V_R (e la corrente, che è in fase con essa) come riferimento orizzontale. V_C è in ritardo di 90° e la somma delle due è la tensione del generatore, che risulta in ritardo di 57.9° rispetto alla corrente.

Errori comuni

Mescolare valori di picco e RMS nello stesso calcolo. Scegline uno all'inizio e mantienilo fino alla fine.
Sommare i moduli di tensioni con fase diversa. In CA si sommano i fasori (parti reali con parti reali e immaginarie con immaginarie).
Usare f al posto di ω in X_L = ωL o X_C = 1/(ωC). Dimenticare il 2π porta a errori di oltre sei volte.
Impostare la calcolatrice in radianti quando lavori in gradi, o viceversa, nel calcolo delle arcotangenti.
Applicare V_rms = V_p/√2 a onde non sinusoidali.

Provalo nel simulatore

Monta il circuito RC dell'esempio e confronta ciò che misura il simulatore con i numeri calcolati a mano. Sull'oscilloscopio virtuale vedrai la corrente in anticipo e le due tensioni sfasate.

Inserisci una sorgente di tensione sinusoidale e impostala a 5 V di ampiezza e 100 Hz.
Collega in serie un resistore da 1 kΩ e un condensatore da 1 µF, e chiudi il circuito a massa.
Collega un canale dell'oscilloscopio all'uscita della sorgente e un altro al nodo tra R e C.
Osserva l'ampiezza sul condensatore (circa 4.23 V) e il ritardo rispetto alla sorgente.
Esegui un'analisi in CA a 100 Hz e confronta moduli e fasi con quelli dell'esempio.
Porta la frequenza a 1 kHz e osserva come diminuisce la tensione sul condensatore.

Esercizi

Una sinusoide misura 20 V picco-picco. Qual è il suo valore RMS?

Mostra la soluzione
V_p = 20/2 = 10 V. V_rms = 10/√2 = 7.07 V.
Calcola la reattanza di un condensatore da 10 nF a 10 kHz.

Mostra la soluzione
X_C = 1/(2π · 10 000 · 10×10⁻⁹) = 1/(6.283×10⁻⁴) = 1591.5 Ω.
Un circuito RL serie ha R = 100 Ω e L = 10 mH a 1 kHz. Trova l'impedenza in forma polare.

Mostra la soluzione
X_L = 2π · 1000 · 0.01 = 62.83 Ω. |Z| = √(100² + 62.83²) = 118.1 Ω. Angolo = arctan(62.83/100) = 32.1°. Z = 118.1 ∠ 32.1° Ω; la corrente è in ritardo di 32.1° rispetto alla tensione.
A quale frequenza la reattanza di un condensatore da 1 µF è uguale a 1 kΩ?

Mostra la soluzione
Da X_C = 1/(2πfC) ricavi f = 1/(2π · X_C · C) = 1/(2π · 1000 · 1×10⁻⁶) = 159.2 Hz.