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交流とフェーザ：正弦波・実効値（RMS）・インピーダンス

読了時間 8 分 · bitGateLab チーム

家庭に届く電気、マイクの信号、ファンクションジェネレータの出力には共通点があります。どれも時間とともに、正弦波に従って、あるいはそれに近い形で変化するのです。こうした信号を扱う回路を解析するには、三つの道具が必要です。正弦波のパラメータを読み取ること、実効値（RMS）の意味を理解すること、そしてフェーザとインピーダンスを使いこなすことです。これらがあれば、交流（AC）回路も、直流ですでに使っているオームの法則とキルヒホッフの法則で解くことができます。違いは、複素数を使う点だけです。

正弦波信号とそのパラメータ

正弦波電圧は次のように書きます。

v(t) = V_p · sin(ωt + φ)

振幅またはピーク値（V_p）：ゼロから測った、信号の最大値。ピークツーピーク値は V_pp = 2·V_p です。
周波数（f）：一秒間に完全なサイクルが何回起こるかを表し、単位はヘルツ（Hz）です。周期は一サイクルの長さです：T = 1/f。
角周波数（ω）：ω = 2πf で、単位はラジアン毎秒です。数式の中では、周波数はこの形で現れます。
位相（φ）：波形が基準に対してどれだけ進んでいるか、または遅れているかを表します。度またはラジアンで表します。一サイクルは 360° です。

位相は、それだけではあまり意味をもちません。重要なのは、同じ周波数の二つの信号の間の位相差です。たとえば、ある部品の電圧と電流の間の位相差です。

実効値（RMS）

交流電圧の実効値（RMS、二乗平均平方根）とは、抵抗に同じ平均電力を供給する直流電圧のことです。純粋な正弦波の場合は次のとおりです。

V_rms = V_p / √2 ≈ 0.707 · V_p

V_p/√2 という関係は、正弦波でしか成り立ちません。振幅 V_p の対称な方形波は V_rms = V_p、三角波は V_p/√3 です。「真の実効値（True RMS）」対応でない交流用マルチメータは、正弦波を前提にしているため、ほかの波形では誤った値を示します。

例：壁のコンセント。メキシコの家庭用電源は、実効値 127 V、60 Hz です。

ピーク値：V_p = 127 · √2 = 179.6 V。
ピークツーピーク値：V_pp = 2 · 179.6 = 359.2 V。
周期：T = 1/60 = 16.67 ms。
角周波数：ω = 2π · 60 = 377 rad/s。

したがって、コンセントの電圧は v(t) = 179.6 · sin(377t) V です。「127 ボルト」と言うとき、それはピーク値ではなく実効値を指しています。

フェーザ：正弦波を複素数で表す

単一の周波数で駆動される線形回路では、すべての電圧と電流が、その同じ周波数の正弦波になります。信号ごとに違うのは、振幅と位相だけです。フェーザは、ちょうどこの二つの情報を一つの複素数にまとめたものです。

v(t) = V_p · sin(ωt + φ)   →   V = V_p ∠ φ

極形式（大きさと角度）でも、直交形式（実部と虚部）でも書けます。

V_p ∠ φ = V_p·cos φ + j·V_p·sin φ

ここで j = √(−1) です。電子工学では、電流と混同しないように i の代わりに j を使います。フェーザの利点は、時間微分が jω を掛けることに置き換わる点です。これにより、インダクタとコンデンサの微分方程式が代数方程式に変わります。フェーザにはピーク値を使っても実効値を使ってもかまいませんが、同じ計算の中で混ぜてはいけません。

R・L・C のインピーダンス

インピーダンス Z は、抵抗の交流版です：Z = V/I、単位はオームです。インピーダンスは複素数で、実部が抵抗、虚部がリアクタンス X です。

素子	インピーダンス	リアクタンス	位相関係
抵抗	Z = R	0	V と I は同相
インダクタ	Z = jωL	X_L = ωL	V が I より 90° 進む
コンデンサ	Z = 1/(jωC) = −j/(ωC)	X_C = 1/(ωC)	V が I より 90° 遅れる

周波数への依存性に注目してください。インダクタのリアクタンスは f とともに増加し、コンデンサのリアクタンスは減少します。直流（f = 0）ではインダクタは短絡、コンデンサは開放になり、非常に高い周波数ではその逆になります。

例：1 kHz でのリアクタンス。10 mH のインダクタと 1 µF のコンデンサについて、f = 1 kHz（ω = 6283 rad/s）で考えます。

X_L = 6283 · 0.010 = 62.8 Ω なので、Z_L = j62.8 Ω。
X_C = 1/(6283 · 1×10⁻⁶) = 159.2 Ω なので、Z_C = −j159.2 Ω。

周波数を二倍の 2 kHz にすると、X_L は 125.7 Ω に上がり、X_C は 79.6 Ω に下がります。

完全な例題：交流の RC 直列回路

直列のインピーダンスは抵抗と同じように足し合わせ、オームの法則はフェーザで適用します。

条件：ピーク値 5 V、100 Hz の正弦波電源が、1 µF のコンデンサと直列にした 1 kΩ の抵抗に接続されています。電流と、R および C の電圧を求めてください。

コンデンサのリアクタンス：X_C = 1/(2π · 100 · 1×10⁻⁶) = 1591.5 Ω。
合成インピーダンス：Z = 1000 − j1591.5 Ω。
大きさ：|Z| = √(1000² + 1591.5²) = 1879.6 Ω。角度：arctan(−1591.5/1000) = −57.9°。したがって Z = 1879.6 ∠ −57.9° Ω。
電源を基準（5 ∠ 0° V）にとった電流：I = 5 ∠ 0° / 1879.6 ∠ −57.9° = 2.66 ∠ +57.9° mA（ピーク値）。電流は電源電圧より 57.9° 進んでいます。この回路は容量性です。
R の電圧：V_R = R·I = 2.66 ∠ 57.9° V（ピーク値、電流と同相）。
C の電圧：V_C = (−j1591.5)·I = 4.23 ∠ −32.1° V（ピーク値、電流より 90° 遅れ）。
検算：√(2.66² + 4.23²) = 5.00 V。フェーザの和は電源電圧に一致します。

ここで、2.66 + 4.23 = 6.89 V となり、電源の 5 V より大きいことに注目してください。矛盾はありません。キルヒホッフの電圧則は、個々の大きさではなくフェーザについて成り立ちます。二つの電圧が同時にピークに達するわけではないからです。

V_R（およびそれと同相の電流）を水平の基準にとったフェーザ図。V_C は 90° 遅れており、両者の和が電源電圧です。電源電圧は電流より 57.9° 遅れています。

よくある間違い

同じ計算の中でピーク値と実効値を混ぜてしまう。最初にどちらかを選び、最後までそれで通しましょう。
位相の異なる電圧の大きさをそのまま足してしまう。交流ではフェーザを足します（実部は実部と、虚部は虚部と）。
X_L = ωL や X_C = 1/(ωC) で、ω の代わりに f を使ってしまう。2π を忘れると、六倍以上の誤差になります。
逆正接を計算するとき、度で計算しているのに電卓をラジアンにしてしまう、またはその逆。
正弦波でない波形に V_rms = V_p/√2 を当てはめてしまう。

シミュレータで試してみよう

例題の RC 回路を組んで、シミュレータの測定値を手計算の数値と比べてみましょう。仮想オシロスコープで、進んだ電流と、位相のずれた二つの電圧を見ることができます。

正弦波電圧源を配置し、振幅 5 V、100 Hz に設定します。
1 kΩ の抵抗と 1 µF のコンデンサを直列に接続し、グランドにつないで回路を閉じます。
オシロスコープのチャンネルの一つを電源の出力に、もう一つを R と C の間の節点に接続します。
コンデンサの振幅（約 4.23 V）と、電源に対する遅れを観察します。
100 Hz で交流解析を実行し、大きさと位相を例題の値と比べます。
周波数を 1 kHz に変えて、コンデンサの電圧が下がる様子を確かめます。

練習問題

ある正弦波は、ピークツーピークで 20 V です。実効値はいくらでしょうか。

解答を見る
V_p = 20/2 = 10 V。V_rms = 10/√2 = 7.07 V。
10 kHz における 10 nF のコンデンサのリアクタンスを求めてください。

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X_C = 1/(2π · 10 000 · 10×10⁻⁹) = 1/(6.283×10⁻⁴) = 1591.5 Ω。
ある RL 直列回路は、R = 100 Ω、L = 10 mH で、周波数は 1 kHz です。インピーダンスを極形式で求めてください。

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X_L = 2π · 1000 · 0.01 = 62.83 Ω。|Z| = √(100² + 62.83²) = 118.1 Ω。角度 = arctan(62.83/100) = 32.1°。Z = 118.1 ∠ 32.1° Ω で、電流は電圧より 32.1° 遅れます。
1 µF のコンデンサのリアクタンスが 1 kΩ に等しくなる周波数はいくらでしょうか。

解答を見る
X_C = 1/(2πfC) を f について解くと、f = 1/(2π · X_C · C) = 1/(2π · 1000 · 1×10⁻⁶) = 159.2 Hz。