Lernen › Thema 7

Wechselstrom und Zeiger: Sinussignale, Effektivwert und Impedanz

8 Min. Lesezeit · bitGateLab-Team

Die Energie, die bei dir zu Hause ankommt, das Signal eines Mikrofons und der Ausgang eines Funktionsgenerators haben etwas gemeinsam: Sie ändern sich mit der Zeit und folgen dabei genau oder näherungsweise einer Sinuskurve. Um Schaltungen mit solchen Signalen zu analysieren, brauchst du drei Werkzeuge: die Kenngrößen eines Sinussignals lesen können, verstehen, was der Effektivwert bedeutet, und mit Zeigern und Impedanzen rechnen. Damit löst du eine Wechselstromschaltung (AC) mit denselben Gesetzen von Ohm und Kirchhoff, die du schon vom Gleichstrom kennst, nur eben mit komplexen Zahlen.

Das Sinussignal und seine Kenngrößen

Eine sinusförmige Spannung schreibt man so:

v(t) = V_p · sin(ωt + φ)

Amplitude oder Scheitelwert (V_p): der größte Wert, den das Signal von null aus gemessen erreicht. Der Spitze-Spitze-Wert ist V_pp = 2·V_p.
Frequenz (f): wie viele vollständige Perioden in einer Sekunde ablaufen, in Hertz (Hz). Die Periodendauer ist die Dauer einer Periode: T = 1/f.
Kreisfrequenz (ω): ω = 2πf, in Radiant pro Sekunde. In dieser Form taucht die Frequenz in den Formeln auf.
Phase (φ): gibt an, wie weit die Kurve gegenüber einer Bezugsgröße vor- oder nacheilt. Sie wird in Grad oder Radiant angegeben. Eine vollständige Periode entspricht 360°.

Die Phase allein sagt nicht viel aus; entscheidend ist die Phasendifferenz zwischen zwei Signalen gleicher Frequenz, zum Beispiel zwischen Spannung und Strom eines Bauteils.

Effektivwert (RMS)

Der Effektivwert (RMS, quadratischer Mittelwert) einer Wechselspannung ist die Gleichspannung, die an einem Widerstand dieselbe mittlere Leistung umsetzen würde. Für ein reines Sinussignal gilt:

V_eff = V_p / √2 ≈ 0.707 · V_p

Die Beziehung V_p/√2 gilt nur für Sinussignale. Ein symmetrisches Rechtecksignal mit der Amplitude V_p hat V_eff = V_p, und ein Dreiecksignal hat V_p/√3. AC-Multimeter ohne „Echteffektivwert-Messung“ (True RMS) setzen ein Sinussignal voraus und liegen bei anderen Kurvenformen daneben.

Beispiel: die Steckdose. In Mexiko hat das Haushaltsnetz 127 V effektiv bei 60 Hz.

Scheitelwert: V_p = 127 · √2 = 179.6 V.
Spitze-Spitze-Wert: V_pp = 2 · 179.6 = 359.2 V.
Periodendauer: T = 1/60 = 16.67 ms.
Kreisfrequenz: ω = 2π · 60 = 377 rad/s.

Die Spannung an der Steckdose ist also v(t) = 179.6 · sin(377t) V. Wenn jemand „127 Volt“ sagt, meint er den Effektivwert, nicht den Scheitelwert.

Zeiger: das Sinussignal als komplexe Zahl

In einer linearen Schaltung, die mit einer einzigen Frequenz gespeist wird, sind alle Spannungen und Ströme sinusförmig mit genau dieser Frequenz. Von einem Signal zum anderen ändern sich nur Amplitude und Phase. Ein Zeiger hält genau diese beiden Angaben in einer komplexen Zahl fest:

v(t) = V_p · sin(ωt + φ)   →   V = V_p ∠ φ

Du kannst ihn in Polarform (Betrag und Winkel) oder in kartesischer Form (Real- und Imaginärteil) schreiben:

V_p ∠ φ = V_p·cos φ + j·V_p·sin φ

Hier ist j = √(−1); in der Elektronik verwendet man j statt i, um Verwechslungen mit dem Strom zu vermeiden. Der Vorteil der Zeiger: Das Ableiten nach der Zeit wird zu einer Multiplikation mit jω. Dadurch werden aus den Differentialgleichungen von Spulen und Kondensatoren algebraische Gleichungen. Du kannst in den Zeigern Scheitelwerte oder Effektivwerte verwenden, solange du sie nicht in derselben Rechnung vermischst.

Impedanz von R, L und C

Die Impedanz Z ist das Wechselstrom-Gegenstück zum Widerstand: Z = V/I, gemessen in Ohm. Sie ist eine komplexe Zahl: Ihr Realteil ist der Wirkwiderstand, und ihr Imaginärteil ist der Blindwiderstand (die Reaktanz) X.

Bauteil	Impedanz	Blindwiderstand	Phasenbeziehung
Widerstand	Z = R	0	V und I in Phase
Spule	Z = jωL	X_L = ωL	V eilt I um 90° vor
Kondensator	Z = 1/(jωC) = −j/(ωC)	X_C = 1/(ωC)	V eilt I um 90° nach

Beachte die Frequenzabhängigkeit: Der Blindwiderstand der Spule wächst mit f, der des Kondensators nimmt ab. Bei Gleichstrom (f = 0) ist die Spule ein Kurzschluss und der Kondensator eine Unterbrechung; bei sehr hohen Frequenzen ist es umgekehrt.

Beispiel: Blindwiderstände bei 1 kHz. Eine Spule von 10 mH und ein Kondensator von 1 µF bei f = 1 kHz (ω = 6283 rad/s):

X_L = 6283 · 0.010 = 62.8 Ω, also Z_L = j62.8 Ω.
X_C = 1/(6283 · 1×10⁻⁶) = 159.2 Ω, also Z_C = −j159.2 Ω.

Verdoppelst du die Frequenz auf 2 kHz, steigt X_L auf 125.7 Ω, und X_C sinkt auf 79.6 Ω.

Vollständiges Beispiel: RC-Reihenschaltung an Wechselspannung

Impedanzen in Reihe addieren sich genauso wie Widerstände, und das ohmsche Gesetz wird mit Zeigern angewendet.

Gegeben: Eine Sinusquelle mit 5 V Scheitelwert und 100 Hz speist einen Widerstand von 1 kΩ in Reihe mit einem Kondensator von 1 µF. Berechne den Strom und die Spannungen an R und an C.

Blindwiderstand des Kondensators: X_C = 1/(2π · 100 · 1×10⁻⁶) = 1591.5 Ω.
Gesamtimpedanz: Z = 1000 − j1591.5 Ω.
Betrag: |Z| = √(1000² + 1591.5²) = 1879.6 Ω. Winkel: arctan(−1591.5/1000) = −57.9°. Also Z = 1879.6 ∠ −57.9° Ω.
Strom, mit der Quelle als Bezug (5 ∠ 0° V): I = 5 ∠ 0° / 1879.6 ∠ −57.9° = 2.66 ∠ +57.9° mA Scheitelwert. Der Strom eilt der Quellenspannung um 57.9° vor: Die Schaltung ist kapazitiv.
Spannung an R: V_R = R·I = 2.66 ∠ 57.9° V Scheitelwert (in Phase mit dem Strom).
Spannung an C: V_C = (−j1591.5)·I = 4.23 ∠ −32.1° V Scheitelwert (eilt dem Strom um 90° nach).
Probe: √(2.66² + 4.23²) = 5.00 V. Die Zeigersumme ergibt wieder die Quellenspannung.

Beachte, dass 2.66 + 4.23 = 6.89 V ist, mehr als die 5 V der Quelle. Das ist kein Widerspruch: Die kirchhoffsche Maschenregel gilt für die Zeiger, nicht für die einzelnen Beträge, weil die beiden Spannungen ihren Scheitelwert nicht gleichzeitig erreichen.

Zeigerdiagramm mit V_R (und dem Strom, der mit ihr in Phase ist) als waagerechtem Bezug. V_C eilt um 90° nach, und die Summe beider ist die Quellenspannung, die dem Strom um 57.9° nacheilt.

Häufige Fehler

Scheitel- und Effektivwerte in derselben Rechnung vermischen. Entscheide dich am Anfang für eines und bleibe bis zum Ende dabei.
Die Beträge von Spannungen mit unterschiedlicher Phase addieren. Bei Wechselstrom addiert man Zeiger (Realteile mit Realteilen und Imaginärteile mit Imaginärteilen).
In X_L = ωL oder X_C = 1/(ωC) f statt ω einsetzen. Wer die 2π vergisst, liegt um mehr als das Sechsfache daneben.
Den Taschenrechner auf Radiant stellen, wenn man in Grad rechnet, oder umgekehrt, wenn man Arkustangenswerte berechnet.
V_eff = V_p/√2 auf Signale anwenden, die nicht sinusförmig sind.

Probiere es im Simulator aus

Baue die RC-Schaltung aus dem Beispiel auf und vergleiche die Messwerte des Simulators mit den Zahlen, die du von Hand berechnet hast. Im virtuellen Oszilloskop siehst du den voreilenden Strom und die beiden phasenverschobenen Spannungen.

Platziere eine Sinusspannungsquelle und stelle sie auf 5 V Amplitude und 100 Hz ein.
Schalte einen Widerstand von 1 kΩ und einen Kondensator von 1 µF in Reihe und schließe den Stromkreis gegen Masse.
Schließe einen Kanal des Oszilloskops an den Ausgang der Quelle und einen weiteren an den Knoten zwischen R und C an.
Beobachte die Amplitude am Kondensator (etwa 4.23 V) und die Verzögerung gegenüber der Quelle.
Starte eine AC-Analyse bei 100 Hz und vergleiche Beträge und Phasen mit denen aus dem Beispiel.
Ändere die Frequenz auf 1 kHz und beobachte, wie die Spannung am Kondensator sinkt.

Übungen

Ein Sinussignal misst 20 V Spitze-Spitze. Wie groß ist sein Effektivwert?

Lösung anzeigen
V_p = 20/2 = 10 V. V_eff = 10/√2 = 7.07 V.
Berechne den Blindwiderstand eines Kondensators von 10 nF bei 10 kHz.

Lösung anzeigen
X_C = 1/(2π · 10 000 · 10×10⁻⁹) = 1/(6.283×10⁻⁴) = 1591.5 Ω.
Eine RL-Reihenschaltung hat R = 100 Ω und L = 10 mH bei 1 kHz. Bestimme die Impedanz in Polarform.

Lösung anzeigen
X_L = 2π · 1000 · 0.01 = 62.83 Ω. |Z| = √(100² + 62.83²) = 118.1 Ω. Winkel = arctan(62.83/100) = 32.1°. Z = 118.1 ∠ 32.1° Ω; der Strom eilt der Spannung um 32.1° nach.
Bei welcher Frequenz ist der Blindwiderstand eines Kondensators von 1 µF gleich 1 kΩ?

Lösung anzeigen
Aus X_C = 1/(2πfC) folgt f = 1/(2π · X_C · C) = 1/(2π · 1000 · 1×10⁻⁶) = 159.2 Hz.