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Filtros RC pasa-bajas y pasa-altas y diagramas de Bode
Lectura de 7 min · Equipo bitGateLab
Un filtro deja pasar unas frecuencias y atenúa otras. Con una sola resistencia y un capacitor puedes quitar el ruido de alta frecuencia de un sensor, eliminar el nivel de CD de una señal de audio o separar graves de agudos. En este tema aprenderás a calcular la frecuencia de corte de los filtros RC pasivos, a expresar su ganancia en decibeles y a dibujar su diagrama de Bode, la gráfica que usan los ingenieros para describir cualquier sistema en frecuencia. Si todavía no manejas impedancias complejas, repasa primero corriente alterna y fasores.
Función de transferencia
La función de transferencia H relaciona el fasor de salida con el de entrada: H = Vout/Vin. Es un número complejo que depende de la frecuencia. Su magnitud |H| dice cuánto se amplifica o atenúa la señal y su ángulo dice cuánto se desfasa. Como los filtros RC son divisores de voltaje con impedancias, H se obtiene con la fórmula del divisor.
Filtro pasa-bajas RC
La resistencia va en serie con la señal y el capacitor de la salida a tierra. A baja frecuencia el capacitor casi no conduce (XC grande) y la salida es casi igual a la entrada; a alta frecuencia el capacitor se comporta como un corto y la salida se va a cero.
H(f) = ZC / (R + ZC) = 1 / (1 + j·f/fc) fc = 1 / (2πRC) |H| = 1 / √(1 + (f/fc)²) fase = −arctan(f/fc)
La frecuencia de corte fc es aquella donde XC = R. Ahí |H| = 1/√2 = 0.707 y la fase vale −45°. A esa frecuencia la potencia de salida es la mitad de la de entrada, por eso también se le llama frecuencia de media potencia.
Filtro pasa-altas RC
Basta intercambiar los componentes: el capacitor en serie y la resistencia de la salida a tierra. Ahora el capacitor bloquea la CD y las frecuencias bajas, y deja pasar las altas.
H(f) = R / (R + ZC) = (j·f/fc) / (1 + j·f/fc) |H| = (f/fc) / √(1 + (f/fc)²) fase = 90° − arctan(f/fc)
La frecuencia de corte se calcula con la misma fórmula, fc = 1/(2πRC). En fc la magnitud también es 0.707, pero la fase es de +45°: la salida se adelanta a la entrada.
Ganancia en decibeles
Como las ganancias de los filtros abarcan muchos órdenes de magnitud, se expresan en decibeles:
GdB = 20 · log10|H|
| |H| | G (dB) |
|---|---|
| 2 | +6.02 |
| 1 | 0 |
| 0.707 | −3.01 |
| 0.5 | −6.02 |
| 0.1 | −20 |
| 0.01 | −40 |
Diagrama de Bode
El diagrama de Bode son dos gráficas con el eje de frecuencia en escala logarítmica: una de magnitud en dB y otra de fase en grados. La escala logarítmica hace que cada década (multiplicar la frecuencia por 10) ocupe el mismo espacio.
Para el pasa-bajas, la magnitud se aproxima con dos rectas llamadas asíntotas:
- Por debajo de fc: una recta horizontal en 0 dB.
- Por encima de fc: una recta que cae 20 dB por década (equivale a unos 6 dB por octava, es decir, cada vez que duplicas la frecuencia).
La curva real se separa de las asíntotas como máximo 3 dB, justo en fc. Para la fase se usa otra aproximación: 0° hasta fc/10, una recta que baja hasta −90° en 10·fc pasando por −45° en fc, y −90° de ahí en adelante. El error de esta aproximación es menor de 6°. El pasa-altas es la imagen en espejo: sube 20 dB por década hasta fc y luego se queda en 0 dB, con una fase que va de +90° a 0°.
Ejemplo 1: análisis. Un filtro tiene R = 10 kΩ y C = 10 nF. Calcula fc y la respuesta de las versiones pasa-bajas y pasa-altas a varias frecuencias.
- fc = 1/(2π · 10 000 · 10×10−9) = 1/(6.283×10−4) = 1591.5 Hz.
- A 5 kHz: f/fc = 3.14. Pasa-bajas: |H| = 1/√(1 + 9.87) = 0.303, es decir −10.36 dB, con fase −72.3°.
- Pasa-altas a 5 kHz: |H| = 3.14/√(10.87) = 0.953, es decir −0.42 dB, con fase +17.7°.
| f | Pasa-bajas (dB) | Fase PB | Pasa-altas (dB) | Fase PA |
|---|---|---|---|---|
| 159 Hz (fc/10) | −0.04 | −5.7° | −20.04 | +84.3° |
| 1591.5 Hz (fc) | −3.01 | −45° | −3.01 | +45° |
| 5 kHz | −10.36 | −72.3° | −0.42 | +17.7° |
| 15.9 kHz (10 fc) | −20.04 | −84.3° | −0.04 | +5.7° |
| 159 kHz (100 fc) | −40.00 | −89.4° | 0.00 | +0.6° |
Observa la simetría: lo que uno atenúa, el otro lo deja pasar.
Ejemplo 2: diseño. Necesitas un pasa-bajas con fc ≈ 1 kHz y tienes un capacitor de 100 nF.
- Despeja R: R = 1/(2π · fc · C) = 1/(2π · 1000 · 100×10−9) = 1591.5 Ω.
- El valor comercial más cercano es 1.6 kΩ.
- Con 1.6 kΩ: fc = 1/(2π · 1600 · 100×10−9) = 994.7 Hz, a menos de 1 % del objetivo.
Un detalle práctico: estas fórmulas suponen que nada se conecta a la salida. Si cargas el filtro con una resistencia comparable a R, la ganancia en la banda de paso baja y fc se mueve. Para evitarlo se usa una carga mucho mayor que R o un seguidor de voltaje con un amplificador operacional.
Errores comunes
- Usar 10·log10 para cocientes de voltaje. Con voltajes y corrientes se usa 20·log10; 10·log10 es para potencias.
- Pensar que en fc la señal desaparece. En fc sale el 70.7 % del voltaje; el filtro atenúa poco a poco, no corta en seco.
- Graficar la frecuencia en escala lineal: las asíntotas dejan de ser rectas y la pendiente de −20 dB/década no se aprecia.
- Olvidar la carga conectada a la salida, que cambia la frecuencia de corte real.
- Confundir la fase del pasa-altas (positiva, de +90° a 0°) con la del pasa-bajas (negativa, de 0° a −90°).
Pruébalo en el simulador
El análisis de CA del simulador barre la frecuencia y traza la magnitud y la fase, de modo que puedes comparar la curva con tus asíntotas dibujadas a mano.
- Coloca una fuente senoidal, una resistencia de 10 kΩ y un capacitor de 10 nF formando un pasa-bajas.
- Ejecuta un barrido de CA de 10 Hz a 1 MHz con eje logarítmico y observa la salida.
- Localiza el punto de −3 dB y comprueba que está cerca de 1591 Hz y que la fase ahí es −45°.
- Mide la caída entre 15.9 kHz y 159 kHz: deben ser unos 20 dB.
- Intercambia R y C para formar el pasa-altas y repite el barrido.
- Conecta una resistencia de carga de 10 kΩ a la salida y observa cómo cambia la curva.
Ejercicios
Calcula la frecuencia de corte de un filtro RC con R = 4.7 kΩ y C = 100 nF.
Ver respuesta
fc = 1/(2π · 4700 · 100×10−9) = 1/(2.953×10−3) = 338.6 Hz.
Un filtro deja pasar la cuarta parte del voltaje de entrada. ¿Cuál es su ganancia en dB?
Ver respuesta
G = 20 · log10(0.25) = −12.04 dB.
Un pasa-bajas RC recibe una señal de frecuencia 2·fc. Encuentra |H| en dB y la fase.
Ver respuesta
|H| = 1/√(1 + 4) = 0.447, que da 20·log10(0.447) = −6.99 dB. Fase = −arctan(2) = −63.4°.
Con R = 10 kΩ y C = 10 nF en configuración pasa-altas, ¿cuánto se atenúa una señal de 159 Hz?
Ver respuesta
f/fc = 159.15/1591.5 = 0.1. |H| = 0.1/√(1.01) = 0.0995, que equivale a −20.04 dB, con fase +84.3°. Una década por debajo del corte, el pasa-altas atenúa unos 20 dB.