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Corrente alternada e fasores: senoides, RMS e impedância

Leitura de 8 min · Equipe bitGateLab

A energia que chega à sua casa, o sinal de um microfone e a saída de um gerador de funções têm algo em comum: variam no tempo seguindo, ou se aproximando de, uma onda senoidal. Para analisar circuitos com esse tipo de sinal você precisa de três ferramentas: saber ler os parâmetros de uma senoide, entender o que significa o valor RMS e trabalhar com fasores e impedâncias. Com elas, um circuito de corrente alternada (CA) é resolvido com as mesmas leis de Ohm e de Kirchhoff que você já usa em corrente contínua, só que com números complexos.

O sinal senoidal e seus parâmetros

Uma tensão senoidal é escrita assim:

v(t) = V_p · sen(ωt + φ)

Amplitude ou valor de pico (V_p): o valor máximo que o sinal atinge, medido a partir de zero. O valor pico a pico é V_pp = 2·V_p.
Frequência (f): quantos ciclos completos ocorrem em um segundo, em hertz (Hz). O período é a duração de um ciclo: T = 1/f.
Frequência angular (ω): ω = 2πf, em radianos por segundo. É a forma como a frequência aparece dentro das fórmulas.
Fase (φ): indica o quanto a onda está adiantada ou atrasada em relação a uma referência. É expressa em graus ou radianos. Um ciclo completo corresponde a 360°.

A fase sozinha não diz muito; o que importa é a diferença de fase entre dois sinais de mesma frequência, por exemplo entre a tensão e a corrente de um componente.

Valor eficaz (RMS)

O valor RMS (raiz do valor quadrático médio) de uma tensão alternada é a tensão CC que forneceria a mesma potência média a um resistor. Para uma senoide pura:

V_rms = V_p / √2 ≈ 0.707 · V_p

A relação V_p/√2 só vale para senoides. Uma onda quadrada simétrica de amplitude V_p tem V_rms = V_p, e uma triangular tem V_p/√3. Os multímetros de CA que não são "True RMS" supõem uma senoide e erram com outras formas de onda.

Exemplo: a tomada de parede. No México, a rede doméstica é de 127 V RMS a 60 Hz.

Valor de pico: V_p = 127 · √2 = 179.6 V.
Valor pico a pico: V_pp = 2 · 179.6 = 359.2 V.
Período: T = 1/60 = 16.67 ms.
Frequência angular: ω = 2π · 60 = 377 rad/s.

Assim, a tensão da tomada é v(t) = 179.6 · sen(377t) V. Quando alguém diz "127 volts", está se referindo ao valor RMS, não ao de pico.

Fasores: a senoide como um número complexo

Em um circuito linear alimentado com uma única frequência, todas as tensões e correntes são senoides dessa mesma frequência. A única coisa que muda de um sinal para outro é a amplitude e a fase. Um fasor guarda exatamente esses dois dados em um número complexo:

v(t) = V_p · sen(ωt + φ)   →   V = V_p ∠ φ

Você pode escrevê-lo na forma polar (magnitude e ângulo) ou retangular (parte real e parte imaginária):

V_p ∠ φ = V_p·cos φ + j·V_p·sen φ

Aqui j = √(−1); em eletrônica usa-se j em vez de i para não confundir com a corrente. A vantagem dos fasores é que derivar em relação ao tempo se transforma em multiplicar por jω. Isso converte as equações diferenciais de indutores e capacitores em equações algébricas. Você pode usar valores de pico ou valores RMS nos fasores, desde que não os misture no mesmo cálculo.

Impedância de R, L e C

A impedância Z é a versão em CA da resistência: Z = V/I, medida em ohms. É um número complexo: sua parte real é a resistência e sua parte imaginária é a reatância X.

Componente	Impedância	Reatância	Relação de fase
Resistor	Z = R	0	V e I em fase
Indutor	Z = jωL	X_L = ωL	V adiantada 90° em relação a I
Capacitor	Z = 1/(jωC) = −j/(ωC)	X_C = 1/(ωC)	V atrasada 90° em relação a I

Observe a dependência com a frequência: a reatância do indutor cresce com f, e a do capacitor diminui. Em CC (f = 0) o indutor é um curto e o capacitor, um circuito aberto; em frequências muito altas ocorre o contrário.

Exemplo: reatâncias em 1 kHz. Um indutor de 10 mH e um capacitor de 1 µF em f = 1 kHz (ω = 6283 rad/s):

X_L = 6283 · 0.010 = 62.8 Ω, portanto Z_L = j62.8 Ω.
X_C = 1/(6283 · 1×10⁻⁶) = 159.2 Ω, portanto Z_C = −j159.2 Ω.

Se você dobrar a frequência para 2 kHz, X_L sobe para 125.7 Ω e X_C cai para 79.6 Ω.

Exemplo completo: circuito RC série em CA

As impedâncias em série se somam como as resistências, e a lei de Ohm é aplicada com fasores.

Dados: uma fonte senoidal de 5 V de pico e 100 Hz alimenta um resistor de 1 kΩ em série com um capacitor de 1 µF. Calcule a corrente e as tensões em R e em C.

Reatância do capacitor: X_C = 1/(2π · 100 · 1×10⁻⁶) = 1591.5 Ω.
Impedância total: Z = 1000 − j1591.5 Ω.
Magnitude: |Z| = √(1000² + 1591.5²) = 1879.6 Ω. Ângulo: arctan(−1591.5/1000) = −57.9°. Então Z = 1879.6 ∠ −57.9° Ω.
Corrente, tomando a fonte como referência (5 ∠ 0° V): I = 5 ∠ 0° / 1879.6 ∠ −57.9° = 2.66 ∠ +57.9° mA de pico. A corrente está adiantada 57.9° em relação à tensão da fonte: o circuito é capacitivo.
Tensão em R: V_R = R·I = 2.66 ∠ 57.9° V de pico (em fase com a corrente).
Tensão em C: V_C = (−j1591.5)·I = 4.23 ∠ −32.1° V de pico (atrasada 90° em relação à corrente).
Verificação: √(2.66² + 4.23²) = 5.00 V. A soma fasorial reproduz a fonte.

Repare que 2.66 + 4.23 = 6.89 V, mais que os 5 V da fonte. Não há contradição: a lei de Kirchhoff das tensões vale para os fasores, não para as magnitudes isoladas, porque as duas tensões não atingem o pico ao mesmo tempo.

Diagrama fasorial tomando V_R (e a corrente, que está em fase com ela) como referência horizontal. V_C fica 90° atrás, e a soma das duas é a tensão da fonte, que fica 57.9° atrasada em relação à corrente.

Erros comuns

Misturar valores de pico e RMS no mesmo cálculo. Escolha um no início e mantenha-o até o fim.
Somar as magnitudes de tensões que têm fases diferentes. Em CA somam-se fasores (partes reais com reais e imaginárias com imaginárias).
Usar f em vez de ω em X_L = ωL ou X_C = 1/(ωC). Esquecer o 2π dá erros de mais de seis vezes.
Deixar a calculadora em radianos quando você trabalha em graus, ou o contrário, ao calcular arcotangentes.
Aplicar V_rms = V_p/√2 a ondas que não são senoidais.

Experimente no simulador

Monte o circuito RC do exemplo e compare o que o simulador mede com os números que você calculou à mão. Você verá a corrente adiantada e as duas tensões defasadas no osciloscópio virtual.

Coloque uma fonte de tensão senoidal e ajuste-a para 5 V de amplitude e 100 Hz.
Ligue em série um resistor de 1 kΩ e um capacitor de 1 µF, e feche o circuito no terra.
Ligue um canal do osciloscópio à saída da fonte e outro ao nó entre R e C.
Observe a amplitude no capacitor (perto de 4.23 V) e o atraso em relação à fonte.
Execute uma análise CA em 100 Hz e compare as magnitudes e as fases com as do exemplo.
Mude a frequência para 1 kHz e observe como a tensão no capacitor diminui.

Exercícios

Uma senoide mede 20 V pico a pico. Qual é o seu valor RMS?

Ver resposta
V_p = 20/2 = 10 V. V_rms = 10/√2 = 7.07 V.
Calcule a reatância de um capacitor de 10 nF em 10 kHz.

Ver resposta
X_C = 1/(2π · 10 000 · 10×10⁻⁹) = 1/(6.283×10⁻⁴) = 1591.5 Ω.
Um circuito RL série tem R = 100 Ω e L = 10 mH em 1 kHz. Encontre a impedância na forma polar.

Ver resposta
X_L = 2π · 1000 · 0.01 = 62.83 Ω. |Z| = √(100² + 62.83²) = 118.1 Ω. Ângulo = arctan(62.83/100) = 32.1°. Z = 118.1 ∠ 32.1° Ω; a corrente está atrasada 32.1° em relação à tensão.
Em que frequência a reatância de um capacitor de 1 µF é igual a 1 kΩ?

Ver resposta
De X_C = 1/(2πfC) você obtém f = 1/(2π · X_C · C) = 1/(2π · 1000 · 1×10⁻⁶) = 159.2 Hz.