Lernen › Thema 8

RC-Tiefpass und RC-Hochpass und das Bode-Diagramm

7 Min. Lesezeit · bitGateLab-Team

Ein Filter lässt manche Frequenzen durch und dämpft andere. Mit einem einzigen Widerstand und einem Kondensator kannst du das hochfrequente Rauschen eines Sensors entfernen, den Gleichanteil eines Audiosignals beseitigen oder Bässe von Höhen trennen. In diesem Thema lernst du, die Grenzfrequenz passiver RC-Filter zu berechnen, ihre Verstärkung in Dezibel anzugeben und ihr Bode-Diagramm zu zeichnen, die Darstellung, mit der Ingenieure jedes System im Frequenzbereich beschreiben. Wenn du mit komplexen Impedanzen noch nicht vertraut bist, wiederhole zuerst Wechselstrom und Zeiger.

Übertragungsfunktion

Die Übertragungsfunktion H setzt den Ausgangszeiger ins Verhältnis zum Eingangszeiger: H = V_out/V_in. Sie ist eine komplexe Zahl, die von der Frequenz abhängt. Ihr Betrag |H| sagt, wie stark das Signal verstärkt oder gedämpft wird, und ihr Winkel, wie stark es in der Phase verschoben wird. Da RC-Filter Spannungsteiler aus Impedanzen sind, erhält man H mit der Teilerformel.

RC-Tiefpass

Der Widerstand liegt in Reihe mit dem Signal und der Kondensator zwischen Ausgang und Masse. Bei niedriger Frequenz leitet der Kondensator fast nicht (X_C groß), und der Ausgang ist fast gleich dem Eingang; bei hoher Frequenz verhält sich der Kondensator wie ein Kurzschluss, und der Ausgang geht gegen null.

H(f) = Z_C / (R + Z_C) = 1 / (1 + j·f/f_c)

f_c = 1 / (2πRC)

|H| = 1 / √(1 + (f/f_c)²)        Phase = −arctan(f/f_c)

Die Grenzfrequenz f_c ist die Frequenz, bei der X_C = R ist. Dort ist |H| = 1/√2 = 0.707, und die Phase beträgt −45°. Bei dieser Frequenz ist die Ausgangsleistung halb so groß wie die Eingangsleistung, deshalb spricht man auch von der Frequenz der halben Leistung.

RC-Hochpass

Es genügt, die Bauteile zu vertauschen: der Kondensator in Reihe und der Widerstand zwischen Ausgang und Masse. Jetzt sperrt der Kondensator den Gleichanteil und die niedrigen Frequenzen und lässt die hohen durch.

H(f) = R / (R + Z_C) = (j·f/f_c) / (1 + j·f/f_c)

|H| = (f/f_c) / √(1 + (f/f_c)²)        Phase = 90° − arctan(f/f_c)

Die Grenzfrequenz berechnet man mit derselben Formel, f_c = 1/(2πRC). Bei f_c ist der Betrag ebenfalls 0.707, aber die Phase beträgt +45°: Der Ausgang eilt dem Eingang vor.

Verstärkung in Dezibel

Da die Verstärkungen von Filtern viele Größenordnungen überstreichen, gibt man sie in Dezibel an:

G_dB = 20 · log₁₀|H|

\|H\|	G (dB)
2	+6.02
1	0
0.707	−3.01
0.5	−6.02
0.1	−20
0.01	−40

Ein negativer Wert in dB bedeutet Dämpfung. Jeder Faktor 10 in der Spannung entspricht 20 dB und jeder Faktor 2 etwa 6 dB. Deshalb nennt man die Grenzfrequenz auch „den −3-dB-Punkt“.

Bode-Diagramm

Das Bode-Diagramm besteht aus zwei Kurven mit logarithmisch geteilter Frequenzachse: dem Betrag in dB und der Phase in Grad. Durch die logarithmische Teilung nimmt jede Dekade (die Frequenz mit 10 multiplizieren) gleich viel Platz ein.

Beim Tiefpass nähert man den Betrag durch zwei Geraden an, die Asymptoten:

Unterhalb von f_c: eine waagerechte Gerade bei 0 dB.
Oberhalb von f_c: eine Gerade, die mit 20 dB pro Dekade fällt (das entspricht etwa 6 dB pro Oktave, also bei jeder Verdopplung der Frequenz).

Die tatsächliche Kurve weicht von den Asymptoten höchstens um 3 dB ab, und zwar genau bei f_c. Für die Phase verwendet man eine andere Näherung: 0° bis f_c/10, eine Gerade, die bis 10·f_c auf −90° fällt und bei f_c durch −45° geht, und von da an −90°. Der Fehler dieser Näherung ist kleiner als 6°. Der Hochpass ist das Spiegelbild: Er steigt mit 20 dB pro Dekade bis f_c und bleibt dann bei 0 dB, mit einer Phase, die von +90° auf 0° geht.

Betrag eines RC-Tiefpasses. Die dicke Linie ist der tatsächliche Verlauf, die gestrichelte zeigt die Asymptoten: 0 dB bis f_c und danach −20 dB pro Dekade. Die größte Abweichung, 3 dB, tritt bei f_c auf.

Beispiel 1: Analyse. Ein Filter hat R = 10 kΩ und C = 10 nF. Berechne f_c und das Verhalten der Tiefpass- und der Hochpassvariante bei verschiedenen Frequenzen.

f_c = 1/(2π · 10 000 · 10×10⁻⁹) = 1/(6.283×10⁻⁴) = 1591.5 Hz.
Bei 5 kHz: f/f_c = 3.14. Tiefpass: |H| = 1/√(1 + 9.87) = 0.303, also −10.36 dB, mit der Phase −72.3°.
Hochpass bei 5 kHz: |H| = 3.14/√(10.87) = 0.953, also −0.42 dB, mit der Phase +17.7°.

f	Tiefpass (dB)	Phase TP	Hochpass (dB)	Phase HP
159 Hz (f_c/10)	−0.04	−5.7°	−20.04	+84.3°
1591.5 Hz (f_c)	−3.01	−45°	−3.01	+45°
5 kHz	−10.36	−72.3°	−0.42	+17.7°
15.9 kHz (10 f_c)	−20.04	−84.3°	−0.04	+5.7°
159 kHz (100 f_c)	−40.00	−89.4°	0.00	+0.6°

Beachte die Symmetrie: Was der eine dämpft, lässt der andere durch.

Beispiel 2: Entwurf. Du brauchst einen Tiefpass mit f_c ≈ 1 kHz und hast einen Kondensator von 100 nF.

Löse nach R auf: R = 1/(2π · f_c · C) = 1/(2π · 1000 · 100×10⁻⁹) = 1591.5 Ω.
Der nächstliegende Normwert ist 1.6 kΩ.
Mit 1.6 kΩ: f_c = 1/(2π · 1600 · 100×10⁻⁹) = 994.7 Hz, weniger als 1 % vom Zielwert entfernt.

Ein praktisches Detail: Diese Formeln setzen voraus, dass am Ausgang nichts angeschlossen ist. Belastest du das Filter mit einem Widerstand in der Größenordnung von R, sinkt die Verstärkung im Durchlassbereich, und f_c verschiebt sich. Um das zu vermeiden, verwendet man eine Last, die viel größer als R ist, oder einen Spannungsfolger mit einem Operationsverstärker.

Häufige Fehler

10·log₁₀ für Spannungsverhältnisse verwenden. Bei Spannungen und Strömen nimmt man 20·log₁₀; 10·log₁₀ gilt für Leistungen.
Denken, dass das Signal bei f_c verschwindet. Bei f_c kommen noch 70.7 % der Spannung an; das Filter dämpft allmählich, es schneidet nicht schlagartig ab.
Die Frequenz linear auftragen: Die Asymptoten sind dann keine Geraden mehr, und die Steigung von −20 dB/Dekade ist nicht zu erkennen.
Die am Ausgang angeschlossene Last vergessen, die die tatsächliche Grenzfrequenz verändert.
Die Phase des Hochpasses (positiv, von +90° bis 0°) mit der des Tiefpasses (negativ, von 0° bis −90°) verwechseln.

Probiere es im Simulator aus

Die AC-Analyse des Simulators durchläuft die Frequenz und zeichnet Betrag und Phase, sodass du die Kurve mit deinen von Hand gezeichneten Asymptoten vergleichen kannst.

Platziere eine Sinusquelle, einen Widerstand von 10 kΩ und einen Kondensator von 10 nF so, dass sie einen Tiefpass bilden.
Starte einen AC-Frequenzdurchlauf von 10 Hz bis 1 MHz mit logarithmischer Achse und sieh dir den Ausgang an.
Suche den −3-dB-Punkt und überprüfe, dass er nahe bei 1591 Hz liegt und die Phase dort −45° beträgt.
Miss den Abfall zwischen 15.9 kHz und 159 kHz: Es müssen etwa 20 dB sein.
Vertausche R und C, um den Hochpass zu bilden, und wiederhole den Durchlauf.
Schließe einen Lastwiderstand von 10 kΩ an den Ausgang an und beobachte, wie sich die Kurve ändert.

Übungen

Berechne die Grenzfrequenz eines RC-Filters mit R = 4.7 kΩ und C = 100 nF.

Lösung anzeigen
f_c = 1/(2π · 4700 · 100×10⁻⁹) = 1/(2.953×10⁻³) = 338.6 Hz.
Ein Filter lässt ein Viertel der Eingangsspannung durch. Wie groß ist seine Verstärkung in dB?

Lösung anzeigen
G = 20 · log₁₀(0.25) = −12.04 dB.
Ein RC-Tiefpass erhält ein Signal der Frequenz 2·f_c. Bestimme |H| in dB und die Phase.

Lösung anzeigen
|H| = 1/√(1 + 4) = 0.447, das ergibt 20·log₁₀(0.447) = −6.99 dB. Phase = −arctan(2) = −63.4°.
Wie stark wird ein Signal von 159 Hz gedämpft, wenn R = 10 kΩ und C = 10 nF als Hochpass geschaltet sind?

Lösung anzeigen
f/f_c = 159.15/1591.5 = 0.1. |H| = 0.1/√(1.01) = 0.0995, das entspricht −20.04 dB, mit der Phase +84.3°. Eine Dekade unterhalb der Grenzfrequenz dämpft der Hochpass um etwa 20 dB.