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Resonanz in RLC-Reihen- und RLC-Parallelschwingkreisen

7 Min. Lesezeit · bitGateLab-Team

Wenn du eine Spule und einen Kondensator in derselben Schaltung zusammenbringst, tritt ein sehr nützliches Phänomen auf: die Resonanz. Bei einer bestimmten Frequenz heben sich die Blindwiderstände der beiden auf, und die Schaltung verhält sich ganz anders als im übrigen Spektrum. Dank dieses Effekts wählt ein Radioempfänger einen Sender unter Hunderten aus, ein Filter greift einen Ton heraus, und ein Oszillator erzeugt eine stabile Frequenz. Hier lernst du, die Resonanzfrequenz, die Güte Q und die Bandbreite von RLC-Reihen- und RLC-Parallelschwingkreisen zu berechnen.

Der RLC-Reihenschwingkreis

Liegen R, L und C in Reihe, ist die Gesamtimpedanz die Summe der drei:

Z = R + j(X_L − X_C) = R + j(ωL − 1/(ωC))

Der Blindwiderstand der Spule wächst mit der Frequenz, der des Kondensators nimmt ab. Daraus ergeben sich drei Bereiche:

Unterhalb der Resonanz, X_C > X_L: Die Schaltung ist kapazitiv, und der Strom eilt der Spannung vor.
Bei Resonanz, X_L = X_C: Die Blindwiderstände heben sich auf, Z = R, die Impedanz ist minimal, der Strom ist maximal und in Phase mit der Spannung.
Oberhalb der Resonanz, X_L > X_C: Die Schaltung ist induktiv, und der Strom eilt nach.

Setzt man ωL = 1/(ωC), erhält man die Resonanzfrequenz:

f₀ = 1 / (2π√(LC))

Beachte, dass f₀ nur vom Produkt LC abhängt. Der Widerstand ändert nicht, wo die Resonanz auftritt, wohl aber, wie ausgeprägt sie ist.

Güte Q

Die Güte Q gibt an, wie „scharf“ die Resonanz ist. Für den Reihenschwingkreis ist sie definiert als der Blindwiderstand bei Resonanz geteilt durch den Widerstand:

Q = X_L0 / R = (1/R) · √(L/C)

Eine hohe Güte hat eine Folge, die beim ersten Mal überrascht: Bei Resonanz ist die Spannung an der Spule und am Kondensator das Q-Fache der Quellenspannung. Die beiden Spannungen sind gleich groß und entgegengesetzt, sie heben sich also gegenseitig auf, und du siehst sie in der Summe nicht, aber jedes Bauteil muss sie sehr wohl aushalten.

In einem RLC-Reihenschwingkreis mit Q = 30, der mit 1 V gespeist wird, können am Kondensator 30 V anliegen. Prüfe bei den Bauteilen eines Schwingkreises immer die Nennspannung.

Bandbreite

Die Bandbreite (BW) ist der Frequenzbereich, in dem der Strom über dem 0.707-Fachen seines Maximalwerts bleibt, in dem also die an R abgegebene Leistung mindestens die Hälfte der maximalen beträgt. Ihre Grenzen, f₁ und f₂, sind die Frequenzen der halben Leistung oder −3-dB-Frequenzen:

BW = f₂ − f₁ = f₀ / Q       (in Reihe: BW = R / (2πL))

Die Resonanzfrequenz ist das geometrische Mittel der Grenzen, f₀ = √(f₁·f₂). Ist Q größer als 10, ist die Kurve fast symmetrisch, und du kannst f₁ ≈ f₀ − BW/2 und f₂ ≈ f₀ + BW/2 annähern.

Normierter Strom eines RLC-Reihenschwingkreises in Abhängigkeit von der Frequenz. Bei Q = 2 (durchgezogene Linie) reicht die Bandbreite von 0.78·f₀ bis 1.28·f₀, also f₀/2. Bei Q = 5 (gestrichelte Linie) ist die Kurve schmaler.

Beispiel 1: RLC-Reihenschwingkreis. L = 10 mH, C = 100 nF und R = 10 Ω, gespeist mit 1 V effektiv.

LC = 0.01 · 100×10⁻⁹ = 1×10⁻⁹; √(LC) = 3.162×10⁻⁵ s.
f₀ = 1/(2π · 3.162×10⁻⁵) = 5032.9 Hz.
Blindwiderstand bei Resonanz: X_L0 = 2π · 5032.9 · 0.01 = 316.2 Ω (und X_C0 beträgt ebenfalls 316.2 Ω).
Q = 316.2/10 = 31.6.
BW = f₀/Q = 5032.9/31.6 = 159.2 Hz. Probe: R/(2πL) = 10/(0.0628) = 159.2 Hz.
Grenzen: f₁ ≈ 4954 Hz und f₂ ≈ 5113 Hz.
Strom bei Resonanz: I = 1 V/10 Ω = 0.1 A effektiv. Leistung an R: 0.1 W.
Spannung an der Spule und am Kondensator: 0.1 A · 316.2 Ω = 31.6 V effektiv an jedem, das Q-Fache der Quellenspannung.

Der RLC-Parallelschwingkreis

Liegen R, L und C parallel, rechnet man am besten mit Admittanzen (Y = 1/Z), die sich addieren:

Y = 1/R + j(ωC − 1/(ωL))

Die Resonanz tritt bei derselben Frequenz auf, f₀ = 1/(2π√(LC)), aber das Verhalten ist umgekehrt wie in der Reihenschaltung: Die Admittanz ist minimal, die Impedanz ist maximal und gleich R, und der Strom, den die Quelle liefert, ist minimal. Im Inneren pendelt die Energie jedoch zwischen L und C hin und her: Der Strom, der durch jedes der beiden fließt, ist das Q-Fache des Quellenstroms. Für die Parallelschaltung gilt:

Q = R / X₀ = R · √(C/L)        BW = f₀/Q = 1/(2πRC)

Beachte, dass in der Parallelschaltung ein größeres R eine höhere Güte ergibt, umgekehrt wie in der Reihenschaltung. Diese Schaltung, auch Tankkreis genannt, wird in Oszillatoren und abgestimmten Stufen eingesetzt.

Beispiel 2: RLC-Parallelschwingkreis. Dieselben Werte L = 10 mH und C = 100 nF, jetzt parallel zu R = 10 kΩ und gespeist mit 1 V effektiv.

f₀ = 5032.9 Hz, wie zuvor, weil sich LC nicht geändert hat.
Q = 10 000 · √(100×10⁻⁹/0.01) = 10 000 · 3.162×10⁻³ = 31.6.
BW = 1/(2π · 10 000 · 100×10⁻⁹) = 159.2 Hz.
Quellenstrom bei Resonanz: nur der durch R, 1 V/10 kΩ = 0.1 mA.
Strom durch die Spule: 1 V/316.2 Ω = 3.16 mA, und derselbe durch den Kondensator: das 31.6-Fache des Quellenstroms.

In einer realen Schaltung hat die Spule einen Drahtwiderstand in Reihe, der ideale Parallelschwingkreis ist also eine Näherung. Ist dieser Widerstand klein gegenüber X_L0, ändert sich die Resonanzfrequenz kaum.

Häufige Fehler

Die Quadratwurzel in f₀ = 1/(2π√(LC)) vergessen, oder die 2π, was die Kreisfrequenz ω₀ statt f₀ ergibt.
Die Güteformel der Reihenschaltung in einem Parallelschwingkreis verwenden. In der Reihenschaltung gilt Q = X₀/R und in der Parallelschaltung Q = R/X₀.
Glauben, dass die Spannung an L oder an C bei Resonanz die Quellenspannung nicht übersteigen kann. Sie kann das Q-Fache betragen.
Denken, dass der Widerstand in der idealen Schaltung die Resonanzfrequenz verschiebt. Er ändert nur Q und die Bandbreite.
Die Frequenz in zu großen Schritten durchlaufen und bei hoher Güte die Spitze „überspringen“.

Probiere es im Simulator aus

Mit der AC-Analyse kannst du die Resonanzspitze sehen und ihre Bandbreite direkt im Diagramm messen.

Platziere eine Sinusquelle mit 1 V und schalte einen Widerstand von 10 Ω, eine Spule von 10 mH und einen Kondensator von 100 nF in Reihe.
Starte einen AC-Frequenzdurchlauf von 1 kHz bis 20 kHz mit genügend Punkten pro Dekade und beobachte den Strom oder die Spannung am Widerstand.
Suche die Spitze nahe 5 kHz und miss die beiden Frequenzen, bei denen die Kurve um 3 dB gefallen ist.
Beobachte die Spannung am Kondensator bei Resonanz: Sie muss bei etwa 31.6 V liegen.
Ändere R auf 100 Ω und beobachte, wie die Spitze breiter und niedriger wird, während f₀ an seinem Platz bleibt.
Baue die Parallelvariante mit R = 10 kΩ auf und überprüfe, dass die Impedanz jetzt bei f₀ maximal ist.

Übungen

Berechne f₀ für L = 1 mH und C = 10 nF.

Lösung anzeigen
LC = 1×10⁻¹¹, √(LC) = 3.162×10⁻⁶ s. f₀ = 1/(2π · 3.162×10⁻⁶) = 50.33 kHz.
Diese Spule und dieser Kondensator bilden mit R = 5 Ω einen RLC-Reihenschwingkreis. Wie groß sind Q und die Bandbreite?

Lösung anzeigen
√(L/C) = √(10⁵) = 316.2 Ω, also Q = 316.2/5 = 63.2. BW = f₀/Q = 50 329/63.2 = 796 Hz (ebenso R/(2πL) = 5/0.006283 = 796 Hz).
Welchen Kondensator brauchst du, damit eine Spule von 100 mH bei 1 kHz in Resonanz ist?

Lösung anzeigen
C = 1/((2πf₀)² · L) = 1/((6283)² · 0.1) = 1/(3.948×10⁶) = 253 nF.
Ist ein RLC-Reihenschwingkreis, der oberhalb von f₀ betrieben wird, induktiv oder kapazitiv? Eilt der Strom vor oder nach?

Lösung anzeigen
Oberhalb von f₀ ist X_L > X_C, die Schaltung ist also induktiv, und der Strom eilt der Quellenspannung nach.