Резонанс в последовательных и параллельных RLC-цепях

7 мин чтения · Команда bitGateLab

Когда в одной цепи встречаются катушка и конденсатор, возникает очень полезное явление — резонанс. На определённой частоте их реактивные сопротивления компенсируют друг друга, и цепь ведёт себя совсем не так, как в остальной части спектра. Благодаря этому радиоприёмник выбирает одну станцию из сотен, фильтр выделяет один тон, а генератор выдаёт стабильную частоту. Здесь вы научитесь рассчитывать резонансную частоту, добротность Q и полосу пропускания последовательных и параллельных RLC-цепей.

Последовательная RLC-цепь

Когда R, L и C соединены последовательно, полный импеданс равен сумме трёх:

Z = R + j(X_L − X_C) = R + j(ωL − 1/(ωC))

Реактивное сопротивление катушки растёт с частотой, а конденсатора — уменьшается. Это задаёт три области:

Ниже резонанса, X_C > X_L: цепь имеет ёмкостный характер, ток опережает напряжение.
При резонансе, X_L = X_C: реактивные сопротивления компенсируются, Z = R, импеданс минимален, ток максимален и совпадает по фазе с напряжением.
Выше резонанса, X_L > X_C: цепь имеет индуктивный характер, ток отстаёт.

Приравняв ωL = 1/(ωC), получаем резонансную частоту:

f₀ = 1 / (2π√(LC))

Заметьте, что f₀ зависит только от произведения LC. Сопротивление не меняет частоту, на которой наступает резонанс, но определяет, насколько он выражен.

Добротность Q

Добротность Q показывает, насколько «острый» резонанс. Для последовательной цепи она определяется как реактивное сопротивление при резонансе, делённое на активное сопротивление:

Q = X_L0 / R = (1/R) · √(L/C)

У высокой добротности есть следствие, которое удивляет при первом знакомстве: при резонансе напряжение на катушке и на конденсаторе в Q раз больше напряжения источника. Эти два напряжения равны и противоположны, поэтому взаимно компенсируются и в сумме не видны, но каждый компонент испытывает их в полной мере.

В последовательной RLC-цепи с Q = 30, питаемой от 1 V, на конденсаторе может оказаться 30 V. Всегда проверяйте номинальное напряжение компонентов резонансной цепи.

Полоса пропускания

Полоса пропускания (BW) — это интервал частот, в котором ток остаётся выше 0.707 своего максимального значения, то есть где мощность, отдаваемая в R, составляет не менее половины максимальной. Её границы, f₁ и f₂, — это частоты половинной мощности, или частоты −3 dB:

BW = f₂ − f₁ = f₀ / Q       (для последовательной цепи: BW = R / (2πL))

Резонансная частота — среднее геометрическое границ, f₀ = √(f₁·f₂). Когда Q больше 10, кривая почти симметрична и можно принять f₁ ≈ f₀ − BW/2 и f₂ ≈ f₀ + BW/2.

Нормированный ток последовательной RLC-цепи в зависимости от частоты. При Q = 2 (сплошная линия) полоса пропускания простирается от 0.78·f₀ до 1.28·f₀, то есть равна f₀/2. При Q = 5 (штриховая линия) кривая более узкая.

Пример 1: последовательная RLC-цепь. L = 10 mH, C = 100 nF и R = 10 Ω, питание — 1 V RMS.

LC = 0.01 · 100×10⁻⁹ = 1×10⁻⁹; √(LC) = 3.162×10⁻⁵ s.
f₀ = 1/(2π · 3.162×10⁻⁵) = 5032.9 Hz.
Реактивное сопротивление при резонансе: X_L0 = 2π · 5032.9 · 0.01 = 316.2 Ω (и X_C0 тоже равно 316.2 Ω).
Q = 316.2/10 = 31.6.
BW = f₀/Q = 5032.9/31.6 = 159.2 Hz. Проверка: R/(2πL) = 10/(0.0628) = 159.2 Hz.
Границы: f₁ ≈ 4954 Hz и f₂ ≈ 5113 Hz.
Ток при резонансе: I = 1 V/10 Ω = 0.1 A RMS. Мощность в R: 0.1 W.
Напряжение на катушке и на конденсаторе: 0.1 A · 316.2 Ω = 31.6 V RMS на каждом — в Q раз больше напряжения источника.

Параллельная RLC-цепь

Когда R, L и C соединены параллельно, удобнее работать с комплексными проводимостями (Y = 1/Z), которые складываются:

Y = 1/R + j(ωC − 1/(ωL))

Резонанс наступает на той же частоте, f₀ = 1/(2π√(LC)), но поведение обратно поведению последовательной цепи: проводимость минимальна, импеданс максимален и равен R, а ток, отдаваемый источником, минимален. Внутри же энергия перекачивается между L и C туда и обратно: ток через каждый из них в Q раз больше тока источника. Для параллельной цепи:

Q = R / X₀ = R · √(C/L)        BW = f₀/Q = 1/(2πRC)

Заметьте, что в параллельной цепи большее R даёт большую добротность — наоборот по сравнению с последовательной. Эту цепь, называемую параллельным колебательным контуром, применяют в генераторах и настраиваемых каскадах.

Пример 2: параллельная RLC-цепь. Те же L = 10 mH и C = 100 nF, теперь параллельно с R = 10 kΩ, питание — 1 V RMS.

f₀ = 5032.9 Hz, как и раньше, потому что LC не изменилось.
Q = 10 000 · √(100×10⁻⁹/0.01) = 10 000 · 3.162×10⁻³ = 31.6.
BW = 1/(2π · 10 000 · 100×10⁻⁹) = 159.2 Hz.
Ток источника при резонансе: только ток через R, 1 V/10 kΩ = 0.1 mA.
Ток через катушку: 1 V/316.2 Ω = 3.16 mA, и такой же через конденсатор: в 31.6 раза больше тока источника.

В реальной цепи у катушки есть последовательное сопротивление провода, поэтому идеальная параллельная цепь — это приближение. Если это сопротивление мало по сравнению с X_L0, резонансная частота почти не меняется.

Типичные ошибки

Забывать квадратный корень в f₀ = 1/(2π√(LC)) или множитель 2π, из-за чего получается угловая частота ω₀ вместо f₀.
Применять формулу Q последовательной цепи к параллельной. В последовательной Q = X₀/R, а в параллельной Q = R/X₀.
Считать, что при резонансе напряжение на L или C не может превышать напряжение источника. Оно может быть в Q раз больше.
Думать, что в идеальной цепи сопротивление сдвигает резонансную частоту. Оно меняет только Q и полосу пропускания.
Менять частоту слишком крупными шагами и «перескочить» пик при высокой добротности.

Попробуйте в симуляторе

С помощью анализа по переменному току можно увидеть резонансный пик и измерить полосу пропускания прямо по графику.

Поставьте синусоидальный источник 1 V и соедините последовательно резистор 10 Ω, катушку 10 mH и конденсатор 100 nF.
Запустите частотную развёртку от 1 kHz до 20 kHz с достаточным числом точек на декаду и наблюдайте ток или напряжение на резисторе.
Найдите пик около 5 kHz и измерьте две частоты, на которых кривая спадает на 3 dB.
Посмотрите напряжение на конденсаторе при резонансе: оно должно быть около 31.6 V.
Измените R на 100 Ω и посмотрите, как пик расширяется и снижается, а f₀ остаётся на месте.
Соберите параллельный вариант с R = 10 kΩ и убедитесь, что теперь импеданс максимален на f₀.

Упражнения

Найдите f₀ для L = 1 mH и C = 10 nF.

Показать ответ
LC = 1×10⁻¹¹, √(LC) = 3.162×10⁻⁶ s. f₀ = 1/(2π · 3.162×10⁻⁶) = 50.33 kHz.
Если эти катушка и конденсатор образуют последовательную RLC-цепь с R = 5 Ω, чему равны Q и полоса пропускания?

Показать ответ
√(L/C) = √(10⁵) = 316.2 Ω, значит, Q = 316.2/5 = 63.2. BW = f₀/Q = 50 329/63.2 = 796 Hz (также R/(2πL) = 5/0.006283 = 796 Hz).
Какой конденсатор нужен, чтобы катушка 100 mH резонировала на 1 kHz?

Показать ответ
C = 1/((2πf₀)² · L) = 1/((6283)² · 0.1) = 1/(3.948×10⁶) = 253 nF.
Последовательная RLC-цепь работает на частоте выше f₀. Какой характер имеет цепь: индуктивный или ёмкостный? Ток опережает или отстаёт?

Показать ответ
Выше f₀ выполняется X_L > X_C, поэтому цепь имеет индуктивный характер и ток отстаёт от напряжения источника.