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Risonanza nei circuiti RLC serie e parallelo

7 min di lettura · Team bitGateLab

Quando metti insieme un induttore e un condensatore nello stesso circuito compare un fenomeno molto utile: la risonanza. A una certa frequenza le reattanze dei due si annullano a vicenda e il circuito risponde in modo molto diverso rispetto al resto dello spettro. Grazie a questo un ricevitore radio sceglie una stazione tra centinaia, un filtro seleziona un tono e un oscillatore produce una frequenza stabile. Qui imparerai a calcolare la frequenza di risonanza, il fattore di qualità Q e la larghezza di banda dei circuiti RLC serie e parallelo.

Il circuito RLC serie

Con R, L e C in serie, l'impedenza totale è la somma delle tre:

Z = R + j(X_L − X_C) = R + j(ωL − 1/(ωC))

La reattanza dell'induttore cresce con la frequenza e quella del condensatore diminuisce. Questo definisce tre zone:

Al di sotto della risonanza, X_C > X_L: il circuito è capacitivo e la corrente è in anticipo sulla tensione.
Alla risonanza, X_L = X_C: le reattanze si annullano, Z = R, l'impedenza è minima, la corrente è massima ed è in fase con la tensione.
Al di sopra della risonanza, X_L > X_C: il circuito è induttivo e la corrente è in ritardo.

Uguagliando ωL = 1/(ωC) si ottiene la frequenza di risonanza:

f₀ = 1 / (2π√(LC))

Nota che f₀ dipende solo dal prodotto LC. La resistenza non cambia la frequenza a cui avviene la risonanza, ma determina quanto è marcata.

Fattore di qualità Q

Il fattore Q misura quanto è «acuta» la risonanza. Per il circuito serie è definito come la reattanza alla risonanza divisa per la resistenza:

Q = X_L0 / R = (1/R) · √(L/C)

Un Q elevato ha una conseguenza che la prima volta sorprende: alla risonanza, la tensione sull'induttore e sul condensatore è Q volte la tensione del generatore. Le due tensioni sono uguali e opposte, quindi si annullano a vicenda e non le vedi nella somma, ma ciascun componente le deve comunque sopportare.

In un RLC serie con Q = 30 alimentato a 1 V, ai capi del condensatore possono esserci 30 V. Controlla sempre la tensione nominale dei componenti di un circuito risonante.

Larghezza di banda

La larghezza di banda (BW) è l'intervallo di frequenze in cui la corrente resta al di sopra di 0.707 volte il suo valore massimo, cioè in cui la potenza fornita a R è almeno la metà di quella massima. I suoi estremi, f₁ e f₂, sono le frequenze di metà potenza o a −3 dB:

BW = f₂ − f₁ = f₀ / Q       (nel circuito serie: BW = R / (2πL))

La frequenza di risonanza è la media geometrica degli estremi, f₀ = √(f₁·f₂). Quando Q è maggiore di 10, la curva è quasi simmetrica e puoi approssimare f₁ ≈ f₀ − BW/2 e f₂ ≈ f₀ + BW/2.

Corrente normalizzata di un RLC serie in funzione della frequenza. Con Q = 2 (linea continua) la larghezza di banda va da 0.78·f₀ a 1.28·f₀, cioè f₀/2. Con Q = 5 (linea tratteggiata) la curva è più stretta.

Esempio 1: RLC serie. L = 10 mH, C = 100 nF e R = 10 Ω, alimentati a 1 V RMS.

LC = 0.01 · 100×10⁻⁹ = 1×10⁻⁹; √(LC) = 3.162×10⁻⁵ s.
f₀ = 1/(2π · 3.162×10⁻⁵) = 5032.9 Hz.
Reattanza alla risonanza: X_L0 = 2π · 5032.9 · 0.01 = 316.2 Ω (e anche X_C0 vale 316.2 Ω).
Q = 316.2/10 = 31.6.
BW = f₀/Q = 5032.9/31.6 = 159.2 Hz. Verifica: R/(2πL) = 10/(0.0628) = 159.2 Hz.
Estremi: f₁ ≈ 4954 Hz e f₂ ≈ 5113 Hz.
Corrente alla risonanza: I = 1 V/10 Ω = 0.1 A RMS. Potenza su R: 0.1 W.
Tensione sull'induttore e sul condensatore: 0.1 A · 316.2 Ω = 31.6 V RMS ciascuna, Q volte quella del generatore.

Il circuito RLC parallelo

Con R, L e C in parallelo conviene lavorare con le ammettenze (Y = 1/Z), che si sommano:

Y = 1/R + j(ωC − 1/(ωL))

La risonanza avviene alla stessa frequenza, f₀ = 1/(2π√(LC)), ma il comportamento è l'opposto di quello del circuito serie: l'ammettenza è minima, l'impedenza è massima e pari a R, e la corrente erogata dal generatore è minima. All'interno, però, l'energia va avanti e indietro tra L e C: la corrente che circola in ciascuno dei due è Q volte quella del generatore. Per il parallelo:

Q = R / X₀ = R · √(C/L)        BW = f₀/Q = 1/(2πRC)

Nota che nel parallelo una R maggiore dà un Q maggiore, al contrario del circuito serie. Questo circuito, detto circuito serbatoio o circuito tank, è quello usato negli oscillatori e negli stadi accordati.

Esempio 2: RLC parallelo. Gli stessi L = 10 mH e C = 100 nF, ora in parallelo a R = 10 kΩ e alimentati a 1 V RMS.

f₀ = 5032.9 Hz, come prima, perché LC non è cambiato.
Q = 10 000 · √(100×10⁻⁹/0.01) = 10 000 · 3.162×10⁻³ = 31.6.
BW = 1/(2π · 10 000 · 100×10⁻⁹) = 159.2 Hz.
Corrente del generatore alla risonanza: solo quella di R, 1 V/10 kΩ = 0.1 mA.
Corrente nell'induttore: 1 V/316.2 Ω = 3.16 mA, e la stessa nel condensatore: 31.6 volte la corrente del generatore.

In un circuito reale l'induttore ha in serie la resistenza del filo, quindi il parallelo ideale è un'approssimazione. Se questa resistenza è piccola rispetto a X_L0, la frequenza di risonanza cambia appena.

Errori comuni

Dimenticare la radice quadrata in f₀ = 1/(2π√(LC)), oppure il 2π, ottenendo così la pulsazione ω₀ invece di f₀.
Usare la formula di Q del circuito serie in un circuito parallelo. Nel serie Q = X₀/R e nel parallelo Q = R/X₀.
Credere che alla risonanza la tensione su L o su C non possa superare quella del generatore. Può essere Q volte maggiore.
Pensare che nel circuito ideale la resistenza sposti la frequenza di risonanza. Cambia solo Q e la larghezza di banda.
Far variare la frequenza con passi troppo grandi e «saltare» il picco quando Q è alto.

Provalo nel simulatore

Con l'analisi in CA puoi vedere il picco di risonanza e misurarne la larghezza di banda direttamente sul grafico.

Inserisci una sorgente sinusoidale da 1 V e collega in serie un resistore da 10 Ω, un induttore da 10 mH e un condensatore da 100 nF.
Esegui uno sweep in CA da 1 kHz a 20 kHz con un numero sufficiente di punti per decade e osserva la corrente o la tensione sul resistore.
Individua il picco vicino a 5 kHz e misura le due frequenze in cui la curva scende di 3 dB.
Osserva la tensione sul condensatore alla risonanza: deve aggirarsi intorno a 31.6 V.
Porta R a 100 Ω e osserva come il picco si allarga e si abbassa, mentre f₀ resta al suo posto.
Monta la versione in parallelo con R = 10 kΩ e verifica che ora l'impedenza è massima a f₀.

Esercizi

Calcola f₀ per L = 1 mH e C = 10 nF.

Mostra la soluzione
LC = 1×10⁻¹¹, √(LC) = 3.162×10⁻⁶ s. f₀ = 1/(2π · 3.162×10⁻⁶) = 50.33 kHz.
Se questo induttore e questo condensatore formano un RLC serie con R = 5 Ω, quanto valgono Q e la larghezza di banda?

Mostra la soluzione
√(L/C) = √(10⁵) = 316.2 Ω, quindi Q = 316.2/5 = 63.2. BW = f₀/Q = 50 329/63.2 = 796 Hz (anche R/(2πL) = 5/0.006283 = 796 Hz).
Che condensatore ti serve perché un induttore da 100 mH risuoni a 1 kHz?

Mostra la soluzione
C = 1/((2πf₀)² · L) = 1/((6283)² · 0.1) = 1/(3.948×10⁶) = 253 nF.
In un RLC serie che lavora al di sopra di f₀, il circuito è induttivo o capacitivo? La corrente è in anticipo o in ritardo?

Mostra la soluzione
Al di sopra di f₀, X_L > X_C, quindi il circuito è induttivo e la corrente è in ritardo rispetto alla tensione del generatore.