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학습 › 주제 9

직렬·병렬 RLC 회로의 공진

읽는 시간 7분 · bitGateLab 팀

인덕터와 커패시터를 한 회로에 함께 넣으면 매우 유용한 현상이 나타납니다. 바로 공진입니다. 특정 주파수에서 두 소자의 리액턴스가 상쇄되어 회로가 나머지 주파수 대역과는 전혀 다르게 반응합니다. 이 덕분에 라디오 수신기는 수백 개의 방송국 중 하나를 골라내고, 필터는 특정 음을 선택하고, 발진기는 안정된 주파수를 만들어 냅니다. 이 글에서는 직렬·병렬 RLC 회로의 공진 주파수, 품질 계수 Q, 대역폭을 계산하는 방법을 배웁니다.

직렬 RLC 회로

R, L, C가 직렬이면 전체 임피던스는 세 임피던스의 합입니다.

Z = R + j(XL − XC) = R + j(ωL − 1/(ωC))

인덕터의 리액턴스는 주파수와 함께 커지고 커패시터의 리액턴스는 작아집니다. 이에 따라 세 영역이 생깁니다.

ωL = 1/(ωC)로 놓으면 공진 주파수를 얻습니다.

f0 = 1 / (2π√(LC))

f0이 곱 LC에만 의존한다는 점에 주목하세요. 저항은 공진이 일어나는 위치를 바꾸지 않지만, 공진이 얼마나 뚜렷한지는 바꿉니다.

품질 계수 Q

Q는 공진이 얼마나 "날카로운지"를 나타냅니다. 직렬 회로에서는 공진 시의 리액턴스를 저항으로 나눈 값으로 정의합니다.

Q = XL0 / R = (1/R) · √(L/C)

Q가 높으면 처음 볼 때 놀라운 결과가 나타납니다. 공진 시 인덕터와 커패시터의 전압이 전원 전압의 Q배가 됩니다. 두 전압은 크기가 같고 방향이 반대여서 서로 상쇄되므로 합에는 나타나지 않지만, 각 소자는 실제로 그 전압을 견뎌야 합니다.

1 V로 구동되는 Q = 30인 직렬 RLC 회로에서 커패시터에는 30 V가 걸릴 수 있습니다. 공진 회로에서는 항상 소자의 정격 전압을 확인하세요.

대역폭

대역폭(BW)은 전류가 최댓값의 0.707배 이상으로 유지되는 주파수 구간, 즉 R에 전달되는 전력이 최대 전력의 절반 이상인 구간입니다. 그 경계인 f1과 f2는 반전력 주파수 또는 −3 dB 주파수입니다.

BW = f2 − f1 = f0 / Q       (직렬 회로: BW = R / (2πL))

공진 주파수는 양 끝 주파수의 기하 평균으로, f0 = √(f1·f2)입니다. Q가 10보다 크면 곡선이 거의 대칭이므로 f1 ≈ f0 − BW/2, f2 ≈ f0 + BW/2로 근사할 수 있습니다.

010.707 0f02 f0 f1f2 — Q = 2- - Q = 5 주파수 I / I max
주파수에 따른 직렬 RLC 회로의 정규화 전류. Q = 2(실선)일 때 대역폭은 0.78·f0에서 1.28·f0까지, 즉 f0/2입니다. Q = 5(점선)일 때는 곡선이 더 좁습니다.

예제 1: 직렬 RLC. L = 10 mH, C = 100 nF, R = 10 Ω이고 1 V RMS로 구동합니다.

  1. LC = 0.01 · 100×10−9 = 1×10−9; √(LC) = 3.162×10−5 s.
  2. f0 = 1/(2π · 3.162×10−5) = 5032.9 Hz.
  3. 공진 시의 리액턴스: XL0 = 2π · 5032.9 · 0.01 = 316.2 Ω (XC0도 316.2 Ω입니다).
  4. Q = 316.2/10 = 31.6.
  5. BW = f0/Q = 5032.9/31.6 = 159.2 Hz. 검산: R/(2πL) = 10/(0.0628) = 159.2 Hz.
  6. 양 끝 주파수: f1 ≈ 4954 Hz, f2 ≈ 5113 Hz.
  7. 공진 시의 전류: I = 1 V/10 Ω = 0.1 A RMS. R의 전력: 0.1 W.
  8. 인덕터와 커패시터의 전압: 0.1 A · 316.2 Ω = 각각 31.6 V RMS로, 전원 전압의 Q배입니다.

병렬 RLC 회로

R, L, C가 병렬이면 서로 더해지는 어드미턴스(Y = 1/Z)로 계산하는 편이 편리합니다.

Y = 1/R + j(ωC − 1/(ωL))

공진은 같은 주파수 f0 = 1/(2π√(LC))에서 일어나지만 동작은 직렬 회로와 반대입니다. 어드미턴스가 최소이고 임피던스가 최대로 R과 같으며, 전원이 공급하는 전류는 최소입니다. 그러나 내부에서는 에너지가 L과 C 사이를 오갑니다. 각 소자에 흐르는 전류는 전원 전류의 Q배입니다. 병렬 회로에서는 다음과 같습니다.

Q = R / X0 = R · √(C/L)        BW = f0/Q = 1/(2πRC)

병렬 회로에서는 R이 클수록 Q가 커진다는 점에 주목하세요. 직렬 회로와는 반대입니다. 탱크 회로라고 부르는 이 회로는 발진기와 동조 회로에 사용됩니다.

예제 2: 병렬 RLC. 같은 L = 10 mH와 C = 100 nF를 이번에는 R = 10 kΩ과 병렬로 연결하고 1 V RMS로 구동합니다.

  1. f0 = 5032.9 Hz로 앞과 같습니다. LC가 변하지 않았기 때문입니다.
  2. Q = 10 000 · √(100×10−9/0.01) = 10 000 · 3.162×10−3 = 31.6.
  3. BW = 1/(2π · 10 000 · 100×10−9) = 159.2 Hz.
  4. 공진 시 전원 전류: R의 전류뿐이므로 1 V/10 kΩ = 0.1 mA.
  5. 인덕터의 전류: 1 V/316.2 Ω = 3.16 mA이고 커패시터에도 같은 전류가 흐릅니다. 전원 전류의 31.6배입니다.

실제 회로에서는 인덕터에 권선 저항이 직렬로 있으므로 이상적인 병렬 회로는 근사입니다. 이 저항이 XL0에 비해 작다면 공진 주파수는 거의 변하지 않습니다.

흔히 하는 실수

시뮬레이터에서 직접 해 보기

AC 해석으로 공진 피크를 보고 그래프에서 대역폭을 직접 측정할 수 있습니다.

  1. 1 V 정현파 전원을 배치하고 10 Ω 저항, 10 mH 인덕터, 100 nF 커패시터를 직렬로 연결합니다.
  2. 디케이드당 점 개수를 충분히 주고 1 kHz에서 20 kHz까지 AC 스윕을 실행한 뒤, 저항의 전류나 전압을 관찰합니다.
  3. 5 kHz 근처의 피크를 찾고, 곡선이 3 dB 떨어지는 두 주파수를 측정합니다.
  4. 공진 시 커패시터의 전압을 관찰합니다. 약 31.6 V여야 합니다.
  5. R을 100 Ω으로 바꾸고, f0은 그대로인 채 피크가 넓어지고 낮아지는 것을 관찰합니다.
  6. R = 10 kΩ으로 병렬 버전을 만들고, 이번에는 임피던스가 f0에서 최대가 되는 것을 확인합니다.

연습 문제

  1. L = 1 mH, C = 10 nF일 때 f0을 구하세요.

    정답 보기

    LC = 1×10−11, √(LC) = 3.162×10−6 s. f0 = 1/(2π · 3.162×10−6) = 50.33 kHz.

  2. 이 인덕터와 커패시터로 R = 5 Ω인 직렬 RLC 회로를 구성하면 Q와 대역폭은 얼마일까요?

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    √(L/C) = √(105) = 316.2 Ω이므로 Q = 316.2/5 = 63.2입니다. BW = f0/Q = 50 329/63.2 = 796 Hz (R/(2πL) = 5/0.006283 = 796 Hz로도 구할 수 있습니다).

  3. 100 mH 인덕터가 1 kHz에서 공진하게 하려면 어떤 커패시터가 필요할까요?

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    C = 1/((2πf0)² · L) = 1/((6283)² · 0.1) = 1/(3.948×106) = 253 nF.

  4. 직렬 RLC 회로가 f0보다 높은 주파수에서 동작할 때 회로는 유도성일까요, 용량성일까요? 전류는 앞설까요, 뒤질까요?

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    공진 주파수 f0보다 높은 주파수에서는 XL > XC이므로 회로는 유도성이고 전류는 전원 전압보다 뒤집니다.