Résonance dans les circuits RLC série et parallèle

7 min de lecture · Équipe bitGateLab

Lorsque vous réunissez une bobine et un condensateur dans un même circuit, un phénomène très utile apparaît : la résonance. À une certaine fréquence, leurs réactances se compensent et le circuit répond de façon très différente du reste du spectre. C'est grâce à cela qu'un récepteur radio choisit une station parmi des centaines, qu'un filtre sélectionne une note et qu'un oscillateur produit une fréquence stable. Ici, vous apprendrez à calculer la fréquence de résonance, le facteur de qualité Q et la bande passante des circuits RLC série et parallèle.

Le circuit RLC série

Avec R, L et C en série, l'impédance totale est la somme des trois :

Z = R + j(X_L − X_C) = R + j(ωL − 1/(ωC))

La réactance de la bobine croît avec la fréquence et celle du condensateur diminue. Cela définit trois zones :

En dessous de la résonance, X_C > X_L : le circuit est capacitif et le courant est en avance sur la tension.
À la résonance, X_L = X_C : les réactances se compensent, Z = R, l'impédance est minimale, le courant est maximal et en phase avec la tension.
Au-dessus de la résonance, X_L > X_C : le circuit est inductif et le courant est en retard.

En posant ωL = 1/(ωC), on obtient la fréquence de résonance :

f₀ = 1 / (2π√(LC))

Remarquez que f₀ ne dépend que du produit LC. La résistance ne change pas l'endroit où se produit la résonance, mais elle change son acuité.

Facteur de qualité Q

Le facteur Q mesure à quel point la résonance est « pointue ». Pour le circuit série, il est défini comme la réactance à la résonance divisée par la résistance :

Q = X_L0 / R = (1/R) · √(L/C)

Un Q élevé a une conséquence qui surprend la première fois : à la résonance, la tension aux bornes de la bobine et celle aux bornes du condensateur valent Q fois la tension de la source. Les deux tensions sont égales et opposées ; elles se compensent donc et vous ne les voyez pas dans la somme, mais chaque composant les supporte bel et bien.

Dans un RLC série avec Q = 30 alimenté sous 1 V, le condensateur peut voir 30 V. Vérifiez toujours la tension nominale des composants d'un circuit résonant.

Bande passante

La bande passante (BW) est l'intervalle de fréquences dans lequel le courant reste supérieur à 0.707 fois sa valeur maximale, c'est-à-dire là où la puissance fournie à R vaut au moins la moitié de la puissance maximale. Ses limites, f₁ et f₂, sont les fréquences de demi-puissance, ou à −3 dB :

BW = f₂ − f₁ = f₀ / Q       (pour le série : BW = R / (2πL))

La fréquence de résonance est la moyenne géométrique des extrémités, f₀ = √(f₁·f₂). Lorsque Q est supérieur à 10, la courbe est presque symétrique et vous pouvez utiliser les approximations f₁ ≈ f₀ − BW/2 et f₂ ≈ f₀ + BW/2.

Courant normalisé d'un RLC série en fonction de la fréquence. Avec Q = 2 (trait plein), la bande passante va de 0.78·f₀ à 1.28·f₀, soit f₀/2. Avec Q = 5 (trait pointillé), la courbe est plus étroite.

Exemple 1 : RLC série. L = 10 mH, C = 100 nF et R = 10 Ω, alimentés sous 1 V efficace.

LC = 0.01 · 100×10⁻⁹ = 1×10⁻⁹ ; √(LC) = 3.162×10⁻⁵ s.
f₀ = 1/(2π · 3.162×10⁻⁵) = 5032.9 Hz.
Réactance à la résonance : X_L0 = 2π · 5032.9 · 0.01 = 316.2 Ω (et X_C0 vaut aussi 316.2 Ω).
Q = 316.2/10 = 31.6.
BW = f₀/Q = 5032.9/31.6 = 159.2 Hz. Vérification : R/(2πL) = 10/(0.0628) = 159.2 Hz.
Extrémités : f₁ ≈ 4954 Hz et f₂ ≈ 5113 Hz.
Courant à la résonance : I = 1 V/10 Ω = 0.1 A efficace. Puissance dans R : 0.1 W.
Tension aux bornes de la bobine et du condensateur : 0.1 A · 316.2 Ω = 31.6 V efficaces chacune, soit Q fois celle de la source.

Le circuit RLC parallèle

Avec R, L et C en parallèle, il est préférable de travailler avec les admittances (Y = 1/Z), qui s'additionnent :

Y = 1/R + j(ωC − 1/(ωL))

La résonance se produit à la même fréquence, f₀ = 1/(2π√(LC)), mais le comportement est l'inverse de celui du circuit série : l'admittance est minimale, l'impédance est maximale et égale à R, et le courant fourni par la source est minimal. À l'intérieur, cependant, l'énergie va et vient entre L et C : le courant qui circule dans chacun vaut Q fois celui de la source. Pour le circuit parallèle :

Q = R / X₀ = R · √(C/L)        BW = f₀/Q = 1/(2πRC)

Remarquez que, dans le circuit parallèle, une R plus grande donne un Q plus élevé, à l'inverse du circuit série. Ce circuit, appelé circuit bouchon, est celui qu'on utilise dans les oscillateurs et les étages accordés.

Exemple 2 : RLC parallèle. Les mêmes L = 10 mH et C = 100 nF, cette fois en parallèle avec R = 10 kΩ et alimentés sous 1 V efficace.

f₀ = 5032.9 Hz, comme précédemment, car LC n'a pas changé.
Q = 10 000 · √(100×10⁻⁹/0.01) = 10 000 · 3.162×10⁻³ = 31.6.
BW = 1/(2π · 10 000 · 100×10⁻⁹) = 159.2 Hz.
Courant de la source à la résonance : uniquement celui de R, 1 V/10 kΩ = 0.1 mA.
Courant dans la bobine : 1 V/316.2 Ω = 3.16 mA, et le même dans le condensateur : 31.6 fois le courant de la source.

Dans un circuit réel, la bobine présente la résistance série de son fil ; le circuit parallèle idéal n'est donc qu'une approximation. Si cette résistance est faible devant X_L0, la fréquence de résonance change à peine.

Erreurs fréquentes

Oublier la racine carrée dans f₀ = 1/(2π√(LC)), ou le 2π, ce qui donne la pulsation ω₀ au lieu de f₀.
Utiliser la formule du Q série dans un circuit parallèle. En série, Q = X₀/R, et en parallèle, Q = R/X₀.
Croire qu'à la résonance la tension aux bornes de L ou de C ne peut pas dépasser celle de la source. Elle peut être Q fois plus grande.
Penser que la résistance déplace la fréquence de résonance dans le circuit idéal. Elle ne change que Q et la bande passante.
Balayer la fréquence avec des pas trop grands et « sauter » le pic lorsque Q est élevé.

Essayez dans le simulateur

Avec l'analyse CA, vous pouvez voir le pic de résonance et mesurer sa bande passante directement sur la courbe.

Placez une source sinusoïdale de 1 V et branchez en série une résistance de 10 Ω, une bobine de 10 mH et un condensateur de 100 nF.
Lancez un balayage CA de 1 kHz à 20 kHz avec suffisamment de points par décade et observez le courant ou la tension aux bornes de la résistance.
Repérez le pic vers 5 kHz et mesurez les deux fréquences où la courbe a chuté de 3 dB.
Observez la tension aux bornes du condensateur à la résonance : elle doit avoisiner 31.6 V.
Passez R à 100 Ω et observez comment le pic s'élargit et s'abaisse, tandis que f₀ reste à sa place.
Montez la version parallèle avec R = 10 kΩ et vérifiez que l'impédance est maintenant maximale à f₀.

Exercices

Calculez f₀ pour L = 1 mH et C = 10 nF.

Voir la réponse
LC = 1×10⁻¹¹, √(LC) = 3.162×10⁻⁶ s. f₀ = 1/(2π · 3.162×10⁻⁶) = 50.33 kHz.
Si cette bobine et ce condensateur forment un RLC série avec R = 5 Ω, que valent Q et la bande passante ?

Voir la réponse
√(L/C) = √(10⁵) = 316.2 Ω, donc Q = 316.2/5 = 63.2. BW = f₀/Q = 50 329/63.2 = 796 Hz (ou encore R/(2πL) = 5/0.006283 = 796 Hz).
De quel condensateur avez-vous besoin pour qu'une bobine de 100 mH résonne à 1 kHz ?

Voir la réponse
C = 1/((2πf₀)² · L) = 1/((6283)² · 0.1) = 1/(3.948×10⁶) = 253 nF.
Dans un RLC série fonctionnant au-dessus de f₀, le circuit est-il inductif ou capacitif ? Le courant est-il en avance ou en retard ?

Voir la réponse
Au-dessus de f₀, X_L > X_C ; le circuit est donc inductif et le courant est en retard sur la tension de la source.