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RLC 直列・並列回路の共振

読了時間 7 分 · bitGateLab チーム

インダクタとコンデンサを同じ回路に入れると、とても役に立つ現象が現れます。共振です。ある周波数で両者のリアクタンスが打ち消し合い、回路はほかの周波数とはまったく違う応答を示します。そのおかげで、ラジオ受信機は数百の放送局の中から一つを選び、フィルタは一つの音を選び出し、発振器は安定した周波数を作り出せます。このページでは、RLC 直列・並列回路の共振周波数、Q 値（品質係数）、帯域幅の計算方法を学びます。

RLC 直列回路

R、L、C が直列の場合、合成インピーダンスは三つの和です。

Z = R + j(XL − XC) = R + j(ωL − 1/(ωC))

インダクタのリアクタンスは周波数とともに増加し、コンデンサのリアクタンスは減少します。これにより、三つの領域に分かれます。

ωL = 1/(ωC) とおくと、共振周波数が得られます。

f0 = 1 / (2π√(LC))

f0 は積 LC だけで決まることに注目してください。抵抗は、共振が起こる周波数は変えませんが、共振の鋭さは変えます。

Q 値（品質係数）

Q 値は、共振がどれだけ「鋭い」かを表します。直列回路では、共振時のリアクタンスを抵抗で割った値として定義されます。

Q = XL0 / R = (1/R) · √(L/C)

Q が高いと、初めて見ると驚くようなことが起こります。共振時には、インダクタとコンデンサの電圧が電源電圧の Q 倍になるのです。二つの電圧は大きさが等しく逆向きなので、互いに打ち消し合い、和には現れません。しかし、それぞれの部品には実際にその電圧がかかっています。

Q = 30 の RLC 直列回路に 1 V を加えると、コンデンサには 30 V がかかることがあります。共振回路の部品の定格電圧は、必ず確認しましょう。

帯域幅

帯域幅（BW）は、電流が最大値の 0.707 倍以上を保つ周波数の範囲です。つまり、R に供給される電力が最大値の半分以上になる範囲です。その両端 f1 と f2 は、半電力周波数または −3 dB 周波数です。

BW = f2 − f1 = f0 / Q       （直列の場合：BW = R / (2πL)）

共振周波数は両端の幾何平均です：f0 = √(f1·f2)。Q が 10 より大きいとき、曲線はほぼ対称になり、f1 ≈ f0 − BW/2、f2 ≈ f0 + BW/2 と近似できます。

010.707 0f02 f0 f1f2 — Q = 2- - Q = 5 周波数 I / I max
RLC 直列回路の、周波数に対する正規化電流。Q = 2（実線）では、帯域幅は 0.78·f0 から 1.28·f0 まで、つまり f0/2 です。Q = 5（破線）では、曲線はより狭くなります。

例題 1：RLC 直列回路。L = 10 mH、C = 100 nF、R = 10 Ω に、実効値 1 V を加えます。

  1. LC = 0.01 · 100×10−9 = 1×10−9、√(LC) = 3.162×10−5 s。
  2. f0 = 1/(2π · 3.162×10−5) = 5032.9 Hz。
  3. 共振時のリアクタンス：XL0 = 2π · 5032.9 · 0.01 = 316.2 Ω（XC0 も 316.2 Ω です）。
  4. Q = 316.2/10 = 31.6。
  5. BW = f0/Q = 5032.9/31.6 = 159.2 Hz。検算：R/(2πL) = 10/(0.0628) = 159.2 Hz。
  6. 両端：f1 ≈ 4954 Hz、f2 ≈ 5113 Hz。
  7. 共振時の電流：I = 1 V/10 Ω = 0.1 A（実効値）。R の電力：0.1 W。
  8. インダクタとコンデンサの電圧：それぞれ 0.1 A · 316.2 Ω = 31.6 V（実効値）で、電源電圧の Q 倍です。

RLC 並列回路

R、L、C が並列の場合は、足し合わせることのできるアドミタンス（Y = 1/Z）で計算するのが便利です。

Y = 1/R + j(ωC − 1/(ωL))

共振は同じ周波数 f0 = 1/(2π√(LC)) で起こりますが、ふるまいは直列の場合と逆になります。アドミタンスは最小、インピーダンスは最大で R に等しく、電源が供給する電流は最小になります。しかし内部では、エネルギーが L と C の間を行き来しています。それぞれを流れる電流は、電源電流の Q 倍です。並列回路では次のようになります。

Q = R / X0 = R · √(C/L)        BW = f0/Q = 1/(2πRC)

並列回路では、R が大きいほど Q が大きくなることに注意してください。直列回路とは逆です。この回路はタンク回路と呼ばれ、発振器や同調回路で使われます。

例題 2：RLC 並列回路。同じ L = 10 mH と C = 100 nF を、今度は R = 10 kΩ と並列にして、実効値 1 V を加えます。

  1. f0 = 5032.9 Hz。LC が変わっていないので、先ほどと同じです。
  2. Q = 10 000 · √(100×10−9/0.01) = 10 000 · 3.162×10−3 = 31.6。
  3. BW = 1/(2π · 10 000 · 100×10−9) = 159.2 Hz。
  4. 共振時の電源電流：R の電流だけで、1 V/10 kΩ = 0.1 mA。
  5. インダクタの電流：1 V/316.2 Ω = 3.16 mA で、コンデンサにも同じ電流が流れます。電源電流の 31.6 倍です。

実際の回路では、インダクタには巻線の抵抗が直列に入っているので、理想的な並列回路は近似にすぎません。その抵抗が XL0 に比べて小さければ、共振周波数はほとんど変わりません。

よくある間違い

シミュレータで試してみよう

交流解析を使えば、共振のピークを表示し、グラフ上で帯域幅を直接測ることができます。

  1. 1 V の正弦波電源を配置し、10 Ω の抵抗、10 mH のインダクタ、100 nF のコンデンサを直列に接続します。
  2. 1 kHz から 20 kHz まで、ディケードあたり十分な点数で交流スイープを実行し、電流または抵抗の電圧を観察します。
  3. 5 kHz 付近のピークを見つけ、曲線が 3 dB 下がる二つの周波数を測ります。
  4. 共振時のコンデンサの電圧を観察します。31.6 V 前後になるはずです。
  5. R を 100 Ω に変えて、f0 はそのままで、ピークが広がって低くなる様子を確かめます。
  6. R = 10 kΩ の並列版を組み、今度は f0 でインピーダンスが最大になることを確かめます。

練習問題

  1. L = 1 mH、C = 10 nF のときの f0 を求めてください。

    解答を見る

    LC = 1×10−11、√(LC) = 3.162×10−6 s。f0 = 1/(2π · 3.162×10−6) = 50.33 kHz。

  2. このインダクタとコンデンサが R = 5 Ω とともに RLC 直列回路を構成するとき、Q と帯域幅はいくらでしょうか。

    解答を見る

    √(L/C) = √(105) = 316.2 Ω なので、Q = 316.2/5 = 63.2。BW = f0/Q = 50 329/63.2 = 796 Hz（R/(2πL) = 5/0.006283 = 796 Hz でも求まります）。

  3. 100 mH のインダクタを 1 kHz で共振させるには、どんなコンデンサが必要でしょうか。

    解答を見る

    C = 1/((2πf0)² · L) = 1/((6283)² · 0.1) = 1/(3.948×106) = 253 nF。

  4. f0 より上で動作している RLC 直列回路は、誘導性でしょうか、容量性でしょうか。電流は進むでしょうか、遅れるでしょうか。

    解答を見る

    f0 より上では XL > XC なので、回路は誘導性で、電流は電源電圧より遅れます。