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RLC 串联与并联电路的谐振

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把电感和电容放在同一个电路里，会出现一种非常有用的现象：谐振。在某个特定频率上，两者的电抗互相抵消，电路的响应与频谱的其他部分截然不同。正因为如此，收音机才能从上百个电台中选出一个，滤波器才能选出某个音调，振荡器才能产生稳定的频率。本课将带你学会计算 RLC 串联和并联电路的谐振频率、品质因数 Q 和带宽。

RLC 串联电路

R、L、C 串联时，总阻抗是三者之和：

Z = R + j(X_L − X_C) = R + j(ωL − 1/(ωC))

电感的电抗随频率增大，电容的电抗随频率减小。由此分出三个区域：

低于谐振频率时，X_C > X_L：电路呈容性，电流超前电压。
谐振时，X_L = X_C：电抗互相抵消，Z = R，阻抗最小，电流最大，并且与电压同相。
高于谐振频率时，X_L > X_C：电路呈感性，电流滞后。

令 ωL = 1/(ωC)，就得到谐振频率：

f₀ = 1 / (2π√(LC))

注意 f₀ 只取决于乘积 LC。电阻不改变谐振发生的位置，但会影响谐振的明显程度。

品质因数 Q

Q 值衡量谐振有多“尖锐”。对于串联电路，它定义为谐振时的电抗除以电阻：

Q = X_L0 / R = (1/R) · √(L/C)

高 Q 值有一个初次见到会让人吃惊的结果：谐振时，电感和电容上的电压是电源电压的 Q 倍。这两个电压大小相等、方向相反，所以互相抵消，在总和中看不到，但每个元件确实要承受这样的电压。

在 Q = 30 的 RLC 串联电路中，用 1 V 供电，电容上可能出现 30 V。对于谐振电路中的元件，一定要核对其额定电压。

带宽

带宽（BW）是电流保持在其最大值的 0.707 倍以上的频率范围，也就是传给 R 的功率至少为最大功率一半的范围。它的两个边界 f₁ 和 f₂ 称为半功率频率或 −3 dB 频率：

BW = f₂ − f₁ = f₀ / Q       （串联时：BW = R / (2πL)）

谐振频率是两个边界频率的几何平均值，f₀ = √(f₁·f₂)。当 Q 大于 10 时，曲线近似对称，可以近似取 f₁ ≈ f₀ − BW/2，f₂ ≈ f₀ + BW/2。

RLC 串联电路的归一化电流随频率的变化。Q = 2（实线）时，带宽从 0.78·f₀ 到 1.28·f₀，即 f₀/2。Q = 5（虚线）时，曲线更窄。

例 1：RLC 串联。L = 10 mH，C = 100 nF，R = 10 Ω，由 1 V（有效值）供电。

LC = 0.01 · 100×10⁻⁹ = 1×10⁻⁹；√(LC) = 3.162×10⁻⁵ s。
f₀ = 1/(2π · 3.162×10⁻⁵) = 5032.9 Hz。
谐振时的电抗：X_L0 = 2π · 5032.9 · 0.01 = 316.2 Ω（X_C0 也等于 316.2 Ω）。
Q = 316.2/10 = 31.6。
BW = f₀/Q = 5032.9/31.6 = 159.2 Hz。验算：R/(2πL) = 10/(0.0628) = 159.2 Hz。
边界频率：f₁ ≈ 4954 Hz，f₂ ≈ 5113 Hz。
谐振时的电流：I = 1 V/10 Ω = 0.1 A（有效值）。R 上的功率：0.1 W。
电感和电容上的电压：0.1 A · 316.2 Ω = 31.6 V（有效值），各自都是电源电压的 Q 倍。

RLC 并联电路

R、L、C 并联时，用导纳（Y = 1/Z）来计算更方便，因为导纳可以直接相加：

Y = 1/R + j(ωC − 1/(ωL))

谐振发生在同一频率，f₀ = 1/(2π√(LC))，但特性与串联电路相反：导纳最小，阻抗最大且等于 R，电源提供的电流最小。然而在内部，能量在 L 和 C 之间来回交换：流过它们各自的电流是电源电流的 Q 倍。对于并联电路：

Q = R / X₀ = R · √(C/L)        BW = f₀/Q = 1/(2πRC)

注意，在并联电路中 R 越大，Q 越大，与串联电路相反。这种电路称为 LC 谐振槽路，用在振荡器和调谐级中。

例 2：RLC 并联。还是 L = 10 mH 和 C = 100 nF，现在与 R = 10 kΩ 并联，由 1 V（有效值）供电。

f₀ = 5032.9 Hz，与前面相同，因为 LC 没有变。
Q = 10 000 · √(100×10⁻⁹/0.01) = 10 000 · 3.162×10⁻³ = 31.6。
BW = 1/(2π · 10 000 · 100×10⁻⁹) = 159.2 Hz。
谐振时电源的电流：只有 R 中的电流，1 V/10 kΩ = 0.1 mA。
电感中的电流：1 V/316.2 Ω = 3.16 mA，电容中的电流也一样：是电源电流的 31.6 倍。

在实际电路中，电感的导线有串联电阻，所以理想并联电路只是一种近似。如果这个电阻比 X_L0 小得多，谐振频率几乎不变。

常见错误

忘记 f₀ = 1/(2π√(LC)) 中的平方根，或者忘了 2π，结果得到的是角频率 ω₀ 而不是 f₀。
在并联电路中用串联电路的 Q 公式。串联时 Q = X₀/R，并联时 Q = R/X₀。
以为谐振时 L 或 C 上的电压不可能超过电源电压。它可以是电源电压的 Q 倍。
以为在理想电路中电阻会移动谐振频率。它只改变 Q 和带宽。
扫频的步长太大，在 Q 很高时“跳过”了谐振峰。

在模拟器中试一试

用交流分析可以看到谐振峰，并直接在曲线图上测量带宽。

放置一个 1 V 的正弦电源，串联接入一个 10 Ω 的电阻、一个 10 mH 的电感和一个 100 nF 的电容。
运行从 1 kHz 到 20 kHz 的交流扫描，每十倍频程取足够多的点，观察电流或电阻上的电压。
找到 5 kHz 附近的峰，测量曲线下降 3 dB 处的两个频率。
观察谐振时电容上的电压：应在 31.6 V 左右。
把 R 改为 100 Ω，观察谐振峰变宽、变低，而 f₀ 保持不动。
搭建并联版本，取 R = 10 kΩ，验证此时阻抗在 f₀ 处最大。

练习题

已知 L = 1 mH、C = 10 nF，求 f₀。

查看答案
LC = 1×10⁻¹¹，√(LC) = 3.162×10⁻⁶ s。f₀ = 1/(2π · 3.162×10⁻⁶) = 50.33 kHz。
如果这个电感和电容与 R = 5 Ω 组成 RLC 串联电路，Q 和带宽各是多少？

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√(L/C) = √(10⁵) = 316.2 Ω，所以 Q = 316.2/5 = 63.2。BW = f₀/Q = 50 329/63.2 = 796 Hz（也可由 R/(2πL) = 5/0.006283 = 796 Hz 得到）。
要让 100 mH 的电感在 1 kHz 谐振，需要多大的电容？

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C = 1/((2πf₀)² · L) = 1/((6283)² · 0.1) = 1/(3.948×10⁶) = 253 nF。
RLC 串联电路工作在 f₀ 以上时，电路呈感性还是容性？电流超前还是滞后？

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在 f₀ 以上，X_L > X_C，所以电路呈感性，电流滞后于电源电压。